【步步高】2015届高考数学总复习 第十二章 12.3几何概型课件 理 北师大版

§12.3几何概型第十二章概率、随机变量及其分布数学北（理）基础知识·自主学习知识回顾理清教材要点梳理1．几何概型向平面上有限区域(集合)G内随机地投掷点M，若点M落在子区域G1G的概率与G1的面积成正比，而与G的形状、位置无关，即P(点M落在G1)＝，则称这种模型为几何概型．2．几何概型中的G也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是之比或之比．3．借助可以估计随机事件发生的概率．G1的面积G的面积体积长度模拟方法题号答案解析12345B基础知识·自主学习25(1)√(2)√(3)√(4)√夯实基础突破疑难夯基释疑1323题型分类·深度剖析题型一与长度、角度有关的几何概型【例1】(1)在区间[－1,1]上随机取一个数x，求cosπ2x的值介于0到12之间的概率．(2)如图所示，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD＝3，在∠BAC内作射线AM交BC于点M，求BM1的概率．思维启迪解析思维升华【例1】(1)在区间[－1,1]上随机取一个数x，求cosπ2x的值介于0到12之间的概率．(2)如图所示，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD＝3，在∠BAC内作射线AM交BC于点M，求BM1的概率．题型分类·深度剖析题型一与长度、角度有关的几何概型寻找所考查对象活动的范围．思维启迪解析思维升华【例1】(1)在区间[－1,1]上随机取一个数x，求cosπ2x的值介于0到12之间的概率．(2)如图所示，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD＝3，在∠BAC内作射线AM交BC于点M，求BM1的概率．题型分类·深度剖析题型一解(1)由函数y＝cosπ2x的图像知，思维启迪解析思维升华与长度、角度有关的几何概型当－1x－23或23x1时，0cosπ2x12.由概率的几何概型知：cosπ2x的值介于0到12之间的概率为232＝13.【例1】(1)在区间[－1,1]上随机取一个数x，求cosπ2x的值介于0到12之间的概率．(2)如图所示，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD＝3，在∠BAC内作射线AM交BC于点M，求BM1的概率．题型分类·深度剖析题型一思维启迪解析思维升华与长度、角度有关的几何概型(2)因为∠B＝60°，∠C＝45°，所以∠BAC＝75°，在Rt△ABD中，AD＝3，∠B＝60°，所以BD＝ADtan60°＝1，∠BAD＝30°.记事件N为“在∠BAC内作射线AM交BC于点M，使BM1”，则可得∠BAM∠BAD时事件N发生．由几何概型的概率公式，得P(N)＝30°75°＝25.【例1】(1)在区间[－1,1]上随机取一个数x，求cosπ2x的值介于0到12之间的概率．(2)如图所示，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD＝3，在∠BAC内作射线AM交BC于点M，求BM1的概率．题型分类·深度剖析题型一解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考查对象和对象的活动范围．当考查对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考查对象为线时，一般用角度比计算．事实上，当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比．思维启迪解析思维升华与长度、角度有关的几何概型跟踪训练1(1)若在例1(2)中“在∠BAC内作射线AM交BC于点M”改为“在线段BC上找一点M”则结果为________．(2)在半径为1的圆内一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是________．题型分类·深度剖析解析(1)由∠B＝60°，∠C＝45°，AD＝3得，BD＝ADtanB＝1，DC＝AD＝3，则BM1的概率为P＝13＋1＝3－12.(2)记事件A为“弦长超过圆内接等边三角形的边长”，3－12跟踪训练1(1)若在例1(2)中“在∠BAC内作射线AM交BC于点M”改为“在线段BC上找一点M”则结果为________．(2)在半径为1的圆内一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是________．题型分类·深度剖析如图，不妨在过等边三角形BCD的顶点B的直径BE上任取一点F作垂直于直径的弦，当弦为CD时，就是等边三角形的边长(此时F为OE中点)，弦长大于CD的充要条件是圆心O到弦的距离小于OF，由几何概型公式得：P(A)＝12×22＝12.3－1212题型分类·深度剖析题型二与面积、体积有关的几何概型思维启迪解析答案思维升华【例2】(1)(2012·北京)设不等式组0≤x≤2，0≤y≤2表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是()A.π4B.π－22C.π6D.4－π4(2)有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．【例2】(1)(2012·北京)设不等式组0≤x≤2，0≤y≤2表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是()A.π4B.π－22C.π6D.4－π4(2)有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．题型分类·深度剖析题型二平面区域内的几何概型，一般用面积求概率，空间区域内的几何概型，一般用体积求概率．思维启迪解析思维升华与面积、体积有关的几何概型答案【例2】(1)(2012·北京)设不等式组0≤x≤2，0≤y≤2表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是()A.π4B.π－22C.π6D.4－π4(2)有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．题型分类·深度剖析题型二(1)根据题意作出满足条件的几何图形求解．思维启迪解析思维升华如图所示，与面积、体积有关的几何概型答案正方形OABC及其内部为不等式组表示的区域D，【例2】(1)(2012·北京)设不等式组0≤x≤2，0≤y≤2表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是()A.π4B.π－22C.π6D.4－π4(2)有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．题型分类·深度剖析题型二思维启迪解析思维升华与面积、体积有关的几何概型且区域D的面积为4，而阴影部分表示的是区域D内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积为4－π.因此满足条件的概率是4－π4，所以选D.(2)先求点P到点O的距离小于或等于1的概率，圆柱的体积V圆柱＝π×12×2＝2π，答案【例2】(1)(2012·北京)设不等式组0≤x≤2，0≤y≤2表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是()A.π4B.π－22C.π6D.4－π4(2)有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．题型分类·深度剖析题型二思维启迪解析思维升华与面积、体积有关的几何概型以O为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V半球＝12×43π×13＝23π.则点P到点O的距离小于或等于1的概率为23π2π＝13，故点P到点O的距离大于1的概率为1－13＝23.答案【例2】(1)(2012·北京)设不等式组0≤x≤2，0≤y≤2表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是()A.π4B.π－22C.π6D.4－π4(2)有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．题型分类·深度剖析题型二思维启迪解析思维升华与面积、体积有关的几何概型答案D23以O为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V半球＝12×43π×13＝23π.则点P到点O的距离小于或等于1的概率为23π2π＝13，故点P到点O的距离大于1的概率为1－13＝23.【例2】(1)(2012·北京)设不等式组0≤x≤2，0≤y≤2表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是()A.π4B.π－22C.π6D.4－π4(2)有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．题型分类·深度剖析题型二思维启迪解析思维升华求解几何概型的概率问题，一定要正确确定试验的全部结果构成的区域，从而正确选择合理的测度，进而利用概率公式求解．与面积、体积有关的几何概型答案23D跟踪训练2(1)在区间[－π，π]内随机取出两个数分别记为a，b，则函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π2有零点的概率为()A．1－π8B．1－π4C．1－π2D．1－3π4(2)在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD－A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．题型分类·深度剖析解析(1)由函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π2有零点，可得Δ＝(2a)2－4(－b2＋π2)≥0，整理得a2＋b2≥π2，如图所示，(a，b)可看成坐标平面上的点，试验的全部结果构成的区域为Ω＝{(a，b)|－π≤a≤π，－π≤b≤π}，其面积SΩ＝(2π)2＝4π2.跟踪训练2(1)在区间[－π，π]内随机取出两个数分别记为a，b，则函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π2有零点的概率为()A．1－π8B．1－π4C．1－π2D．1－3π4(2)在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD－A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．题型分类·深度剖析事件A表示函数f(x)有零点，所构成的区域为M＝{(a，b)|a2＋b2≥π2}，即图中阴影部分，其面积为SM＝4π2－π3，故P(A)＝SMSΩ＝4π2－π34π2＝1－π4，所以选B.(2)V正＝23＝8，V半球＝12×43π×13＝23π，V半球V正＝2π8×3＝π12，∴P＝1－π12.B1－π12题型分类·深度剖析题型三生活中的几何概型问题【例3】甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1h，乙船停泊时间为2h,求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．思维启迪解析思维升华【例3】甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1h，乙船停泊时间为2h,求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．题型分类·深度剖析题型三当基本事件受两个连续变量控制时，一般是把两个连续变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决．思维启迪解析思维升华生活中的几何概型问题【例3】甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1h，乙船停泊时间为2h,求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．题型分类·深度剖析题型三解这是一个几何概型问题．设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x与y，思维启迪解析思维升华生活中的几何概型问题A为“两船都不需要等待码头空出”，则0≤x≤24,0≤y≤24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1h以上或乙比甲早到达2h以上，即y－x≥1或x－y≥2.【例