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§12.6离散型随机变量的均值与方差、正态分布数学北(理)第十二章概率、随机变量及其分布基础知识·自主学习知识回顾理清教材要点梳理1.离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为P(X=ai)=pi(i=1,2,…).(1)均值EX=,EX刻画的是.(2)方差DX=为随机变量X的方差,它刻画了随机变量X与其均值EX的.a1p1+a2p2+…+xrprX取值的“中心位置”E(X-EX)2平均偏离程度基础知识·自主学习知识回顾理清教材要点梳理2.二项分布的均值、方差若X~B(n,p),则EX=,DX=.3.正态分布(1)X~N(μ,σ2),表示X服从参数为的正态分布.(2)正态分布密度函数的性质①函数图像关于对称;②决定图像的“胖”“瘦”;③P(μ-σXμ+σ)=;P(μ-2σXμ+2σ)=;P(μ-3σXμ+3σ)=.npnp(1-p)μ和σ2直线x=μσ(σ0)的大小68.3%95.4%99.7%题号答案解析12345B基础知识·自主学习B0.7(1)√(2)√(3)√(4)√夯实基础突破疑难夯基释疑916题型一离散型随机变量的均值、方差题型分类·深度剖析【例1】(2013·浙江)设袋子中装有a个红球,b个黄球,c个蓝球,且规定:取出一个红球得1分,取出一个黄球得2分,取出一个蓝球得3分.(1)当a=3,b=2,c=1时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2个球,记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和,求ξ的分布列;(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球,记随机变量η为取出此球所得分数.若Eη=53,Dη=59,求a∶b∶c.【例1】(2013·浙江)设袋子中装有a个红球,b个黄球,c个蓝球,且规定:取出一个红球得1分,取出一个黄球得2分,取出一个蓝球得3分.(1)当a=3,b=2,c=1时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2个球,记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和,求ξ的分布列;(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球,记随机变量η为取出此球所得分数.若Eη=53,Dη=59,求a∶b∶c.题型一离散型随机变量的均值、方差题型分类·深度剖析思维启迪首先列出随机变量ξ的所有可能的取值,然后计算ξ的每个取值的概率.【例1】(2013·浙江)设袋子中装有a个红球,b个黄球,c个蓝球,且规定:取出一个红球得1分,取出一个黄球得2分,取出一个蓝球得3分.(1)当a=3,b=2,c=1时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2个球,记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和,求ξ的分布列;(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球,记随机变量η为取出此球所得分数.若Eη=53,Dη=59,求a∶b∶c.题型一离散型随机变量的均值、方差题型分类·深度剖析解(1)由题意得ξ=2,3,4,5,6.故P(ξ=2)=3×36×6=14,P(ξ=3)=2×3×26×6=13,P(ξ=4)=2×3×1+2×26×6=518,P(ξ=5)=2×2×16×6=19,P(ξ=6)=1×16×6=136.所以ξ的分布列为ξ23456P141351819136【例1】(2013·浙江)设袋子中装有a个红球,b个黄球,c个蓝球,且规定:取出一个红球得1分,取出一个黄球得2分,取出一个蓝球得3分.(1)当a=3,b=2,c=1时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2个球,记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和,求ξ的分布列;(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球,记随机变量η为取出此球所得分数.若Eη=53,Dη=59,求a∶b∶c.题型一离散型随机变量的均值、方差题型分类·深度剖析(2)由题意知η的分布列为η123Paa+b+cba+b+cca+b+c所以Eη=aa+b+c+2ba+b+c+3ca+b+c=53,Dη=1-532·aa+b+c+2-532·ba+b+c+3-532·ca+b+c=59.化简得2a-b-4c=0,a+4b-11c=0.解得a=3c,b=2c,故a∶b∶c=3∶2∶1.【例1】(2013·浙江)设袋子中装有a个红球,b个黄球,c个蓝球,且规定:取出一个红球得1分,取出一个黄球得2分,取出一个蓝球得3分.(1)当a=3,b=2,c=1时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2个球,记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和,求ξ的分布列;(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球,记随机变量η为取出此球所得分数.若Eη=53,Dη=59,求a∶b∶c.题型分类·深度剖析题型一离散型随机变量的均值、方差思维升华(1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值,写出随机变量的分布列,正确运用均值、方差公式进行计算.(2)注意性质的应用:若随机变量X的期望为EX,则对应随机变量aX+b的期望是aEX+b,方差为a2DX.题型分类·深度剖析跟踪训练1袋中有20个大小相同的球,其中记上0号的有10个,记上n号的有n个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球,ξ表示所取球的标号.(1)求ξ的分布列、期望和方差;(2)若η=aξ+b,Eη=1,Dη=11,试求a,b的值.解(1)ξ的分布列为ξ01234P1212011032015∴Eξ=0×12+1×120+2×110+3×320+4×15=1.5.Dξ=(0-1.5)2×12+(1-1.5)2×120+(2-1.5)2×110+(3-1.5)2×320+(4-1.5)2×15=2.75.跟踪训练1袋中有20个大小相同的球,其中记上0号的有10个,记上n号的有n个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球,ξ表示所取球的标号.(1)求ξ的分布列、期望和方差;(2)若η=aξ+b,Eη=1,Dη=11,试求a,b的值.题型分类·深度剖析(2)由Dη=a2Dξ,得a2×2.75=11,即a=±2.又Eη=aEξ+b,所以当a=2时,由1=2×1.5+b,得b=-2.当a=-2时,由1=-2×1.5+b,得b=4.∴a=2,b=-2,或a=-2,b=4.题型分类·深度剖析题型二二项分布的均值、方差【例2】(2012·四川)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B,系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为110和p.(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950,求p的值;(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ,求ξ的分布列及数学期望Eξ.思维启迪解析思维升华【例2】(2012·四川)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B,系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为110和p.(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950,求p的值;(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ,求ξ的分布列及数学期望Eξ.题型分类·深度剖析题型二二项分布的均值、方差思维启迪解析思维升华利用对立事件的概率公式表示(1)中概率可求p.【例2】(2012·四川)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B,系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为110和p.(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950,求p的值;(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ,求ξ的分布列及数学期望Eξ.题型分类·深度剖析题型二二项分布的均值、方差思维启迪解析思维升华解(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C,那么1-P(C)=1-110·p=4950,解得p=15.(2)由题意,得P(ξ=0)=C031103=11000,【例2】(2012·四川)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B,系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为110和p.(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950,求p的值;(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ,求ξ的分布列及数学期望Eξ.题型分类·深度剖析题型二二项分布的均值、方差思维启迪解析思维升华P(ξ=1)=C131102×1-110=271000,P(ξ=2)=C23×110×1-1102=2431000,P(ξ=3)=C331-1103=7291000.【例2】(2012·四川)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B,系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为110和p.(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950,求p的值;(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ,求ξ的分布列及数学期望Eξ.题型分类·深度剖析题型二二项分布的均值、方差思维启迪解析思维升华所以,随机变量ξ的分布列为ξ0123P1100027100024310007291000故随机变量ξ的数学期望Eξ=0×11000+1×271000+2×2431000+3×7291000=2710.【例2】(2012·四川)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B,系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为110和p.(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950,求p的值;(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ,求ξ的分布列及数学期望Eξ.题型分类·深度剖析题型二二项分布的均值、方差思维启迪解析思维升华(或∵ξ~B(3,910),∴Eξ=3×910=2710.)【例2】(2012·四川)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B,系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为110和p.(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950,求p的值;(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ,求ξ的分布列及数学期望Eξ.题型分类·深度剖析题型二二项分布的均值、方差思维启迪解析思维升华求随机变量X的期望与方差时,可首先分析X是否服从二项分布,如果X~B(n,p),则用公式EX=np;DX=np(1-p)求解,可大大减少计算量.题型分类·深度剖析跟踪训练2假设某班级教室共有4扇窗户,在每天上午第三节课上课预备铃声响起时,每扇窗户或被敞开或被关闭,且概率均为0.5.记此时教室里敞开的窗户个数为X.(1)求X的分布列;(2)若此时教室里有两扇或两扇以上的窗户被关闭,班长就会将关闭的窗户全部敞开,否则维持原状不变.记每天上午第三节课上课时该教室里敞开的窗户个数为Y,求Y的数学期望.解(1)∵X的所有可能取值为0,1,2,3,4,X~B(4,0.5),∴P(X=0)=C04(12)4=116,P(X=1)=C14(12)4=14,P(X=2)=C24(12)4=38,P(X=3)=C34(12)4=14,P(X=4)=C44(12)4=116,跟踪训练2假设某班级教室共有4扇窗户,在每天上午第三节课上课预备铃声响起时,每扇窗户或被敞开或被关闭,且概率均为0.5.记此时教室里敞开的窗户个数为X.(1)求X的分布列;(2)若此时教室里有两扇或两扇以上的窗户被关闭,班长就会将关闭的窗户全部敞开,否则维持原状不变.记每天上午第三节课上课时该教室里敞开的窗户个数为Y,求Y的数学期望.题型分类·深度剖析∴X的分布列为X01234P116143814116(2)Y的所有可能取值为3,4,则P(Y=3)=P(X=3)=14,P(Y=4)=1-P(Y=3)=34,∴Y的期望值EY=3×14+4×34=154.题型分类·深度剖析题型三正态分布的应用【例3】在某次大型考试中,某班同学的成绩服从正态分布N(80,52),现已知该班同学中成绩在80~85分的有17人.试计算该班成绩在90分以上的同学有多少人.思维启迪解析思维升华【例3】在某次大型考试中,某班同学
本文标题:【步步高】2015届高考数学总复习 第十二章 12.6离散型随机变量的均值与方差、正态分布课件 理
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