【步步高】2015届高考数学总复习_4.3和角公式、倍角公式与半角公式课件_理_新人教B版

§4.3和角公式、倍角公式与半角公式数学RB（理）第四章三角函数、解三角形1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ(Cα－β)cos(α＋β)＝(Cα＋β)sin(α－β)＝(Sα－β)sin(α＋β)＝(Sα＋β)tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ(Tα－β)tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ(Tα＋β)知识回顾理清教材要点梳理基础知识·自主学习cosαcosβ－sinαsinβsinαcosβ－cosαsinβsinαcosβ＋cosαsinβ2．二倍角公式sin2α＝；cos2α＝＝＝；tan2α＝.知识回顾理清教材要点梳理基础知识·自主学习2sinαcosαcos2α－sin2α2cos2α－11－2sin2α2tanα1－tan2α知识回顾理清教材要点梳理基础知识·自主学习3．半角公式sinα2＝；cosα2＝；tanα2＝＝sinα1＋cosα＝1－cosαsinα.根号前的正负号，由角α2所在象限确定．±1－cosα2±1＋cosα2±1－cosα1＋cosα4．函数f(x)＝asinα＋bcosα(a，b为常数)，可以化为f(α)＝a2＋b2sin(α＋φ)(其中tanφ＝ba)或f(α)＝a2＋b2cos(α－φ)(其中tanφ＝ab)．知识回顾理清教材要点梳理基础知识·自主学习题号答案解析12345C基础知识·自主学习－105(1)√(2)√(3)×(4)×(5)√(6)√夯实基础突破疑难夯基释疑B17250题型分类·深度剖析题型一三角函数式的化简与给角求值【例1】(1)化简：1＋sinθ＋cosθsinθ2－cosθ22＋2cosθ(0θπ)．(2)求值：1＋cos20°2sin20°－sin10°(1tan5°－tan5°)．思维启迪解析思维升华题型分类·深度剖析(1)分母为根式，可以利用二倍角公式去根号，然后寻求分子分母的共同点进行约分；(2)切化弦、通分．题型一三角函数式的化简与给角求值思维启迪解析思维升华【例1】(1)化简：1＋sinθ＋cosθsinθ2－cosθ22＋2cosθ(0θπ)．(2)求值：1＋cos20°2sin20°－sin10°(1tan5°－tan5°)．题型分类·深度剖析(1)由θ∈(0，π)，得0θ2π2，∴cosθ20.因此2＋2cosθ＝4cos2θ2＝2cosθ2.题型一三角函数式的化简与给角求值思维启迪解析思维升华【例1】(1)化简：1＋sinθ＋cosθsinθ2－cosθ22＋2cosθ(0θπ)．(2)求值：1＋cos20°2sin20°－sin10°(1tan5°－tan5°)．题型分类·深度剖析又(1＋sinθ＋cosθ)(sinθ2－cosθ2)＝(2sinθ2cosθ2＋2cos2θ2)·(sinθ2－cosθ2)＝2cosθ2(sin2θ2－cos2θ2)＝－2cosθ2cosθ.题型一三角函数式的化简与给角求值思维启迪解析思维升华【例1】(1)化简：1＋sinθ＋cosθsinθ2－cosθ22＋2cosθ(0θπ)．(2)求值：1＋cos20°2sin20°－sin10°(1tan5°－tan5°)．题型分类·深度剖析故原式＝－2cosθ2cosθ2cosθ2＝－cosθ.题型一三角函数式的化简与给角求值思维启迪解析思维升华【例1】(1)化简：1＋sinθ＋cosθsinθ2－cosθ22＋2cosθ(0θπ)．(2)求值：1＋cos20°2sin20°－sin10°(1tan5°－tan5°)．题型分类·深度剖析(2)原式＝2cos210°2×2sin10°cos10°－sin10°(cos5°sin5°－sin5°cos5°)＝cos10°2sin10°－sin10°·cos25°－sin25°sin5°cos5°＝cos10°2sin10°－sin10°·cos10°12sin10°＝cos10°2sin10°－2cos10°题型一三角函数式的化简与给角求值思维启迪解析思维升华【例1】(1)化简：1＋sinθ＋cosθsinθ2－cosθ22＋2cosθ(0θπ)．(2)求值：1＋cos20°2sin20°－sin10°(1tan5°－tan5°)．题型分类·深度剖析＝cos10°－2sin20°2sin10°＝cos10°－2sin30°－10°2sin10°＝cos10°－212cos10°－32sin10°2sin10°＝3sin10°2sin10°＝32.题型一三角函数式的化简与给角求值思维启迪解析思维升华【例1】(1)化简：1＋sinθ＋cosθsinθ2－cosθ22＋2cosθ(0θπ)．(2)求值：1＋cos20°2sin20°－sin10°(1tan5°－tan5°)．题型分类·深度剖析(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征．题型一三角函数式的化简与给角求值思维启迪解析思维升华(2)对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有：①化为特殊角的三角函数值；【例1】(1)化简：1＋sinθ＋cosθsinθ2－cosθ22＋2cosθ(0θπ)．(2)求值：1＋cos20°2sin20°－sin10°(1tan5°－tan5°)．题型分类·深度剖析②化为正、负相消的项，消去求值；③化分子、分母出现公约数进行约分求值．题型一三角函数式的化简与给角求值思维启迪解析思维升华【例1】(1)化简：1＋sinθ＋cosθsinθ2－cosθ22＋2cosθ(0θπ)．(2)求值：1＋cos20°2sin20°－sin10°(1tan5°－tan5°)．跟踪训练1(1)在△ABC中，已知三个内角A，B，C成等差数列，则tanA2＋tanC2＋3tanA2tanC2的值为________．(2)2cos10°－sin20°sin70°的值是()A.12B.32C.3D.2解析(1)因为三个内角A，B，C成等差数列，且A＋B＋C＝π，所以A＋C＝2π3，A＋C2＝π3，tanA＋C2＝3，题型分类·深度剖析所以tanA2＋tanC2＋3tanA2tanC2＝tanA2＋C21－tanA2tanC2＋3tanA2tanC2＝31－tanA2tanC2＋3tanA2tanC2＝3.3跟踪训练1(1)在△ABC中，已知三个内角A，B，C成等差数列，则tanA2＋tanC2＋3tanA2tanC2的值为________．(2)2cos10°－sin20°sin70°的值是()A.12B.32C.3D.2(2)原式＝2cos30°－20°－sin20°sin70°＝2cos30°·cos20°＋sin30°·sin20°－sin20°sin70°＝3cos20°cos20°＝3.题型分类·深度剖析3C题型分类·深度剖析题型二三角函数的给值求值、给值求角【例2】(1)已知0βπ2απ，且cosα－β2＝－19，sinα2－β＝23，求cos(α＋β)的值；(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，求2α－β的值．思维启迪解析思维升华题型分类·深度剖析(1)拆分角：α＋β2＝α－β2－α2－β，利用平方关系分别求各角的正弦、余弦．(2)2α－β＝α＋(α－β)；α＝(α－β)＋β.思维启迪解析思维升华题型二三角函数的给值求值、给值求角【例2】(1)已知0βπ2απ，且cosα－β2＝－19，sinα2－β＝23，求cos(α＋β)的值；(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，求2α－β的值．题型分类·深度剖析(1)∵0βπ2απ，∴－π4α2－βπ2，π4α－β2π，∴cosα2－β＝1－sin2α2－β＝53，sinα－β2＝1－cos2α－β2＝459，思维启迪解析思维升华题型二三角函数的给值求值、给值求角【例2】(1)已知0βπ2απ，且cosα－β2＝－19，sinα2－β＝23，求cos(α＋β)的值；(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，求2α－β的值．题型分类·深度剖析∴cosα＋β2＝cosα－β2－α2－β＝cosα－β2cosα2－β＋sinα－β2·sinα2－β＝－19×53＋459×23＝7527，∴cos(α＋β)＝2cos2α＋β2－1＝2×49×5729－1＝－239729.思维启迪解析思维升华题型二三角函数的给值求值、给值求角【例2】(1)已知0βπ2απ，且cosα－β2＝－19，sinα2－β＝23，求cos(α＋β)的值；(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，求2α－β的值．题型分类·深度剖析(2)∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝tanα－β＋tanβ1－tanα－βtanβ＝12－171＋12×17＝130，∴0απ2，思维启迪解析思维升华题型二三角函数的给值求值、给值求角又∵tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×131－132＝340，【例2】(1)已知0βπ2απ，且cosα－β2＝－19，sinα2－β＝23，求cos(α＋β)的值；(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，求2α－β的值．题型分类·深度剖析∴tan(2α－β)＝tan2α－tanβ1＋tan2αtanβ＝34＋171－34×17＝1.思维启迪解析思维升华题型二三角函数的给值求值、给值求角∵tanβ＝－170，∴π2βπ，－π2α－β0，【例2】(1)已知0βπ2απ，且cosα－β2＝－19，sinα2－β＝23，求cos(α＋β)的值；(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，求2α－β的值．∴02απ2，∴2α－β＝－3π4.题型分类·深度剖析(1)解题中注意变角，如本题中α＋β2＝(α－β2)－(α2－β)；思维启迪解析思维升华题型二三角函数的给值求值、给值求角(2)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；【例2】(1)已知0βπ2απ，且cosα－β2＝－19，sinα2－β＝23，求cos(α＋β)的值；(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，求2α－β的值．题型分类·深度剖析思维启迪解析思维升华题型二三角函数的给值求值、给值求角若角的范围是0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为－π2，π2，选正弦较好．【例2】(1)已知0βπ2απ，且cosα－β2＝－19，sinα2－β＝23，求cos(α＋β)的值；(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，求2α－β的值．解析(1)cos(α＋β2)＝cos[(π4＋α)－(π4－β2)]＝cos(π4＋α)cos(π4－β2)＋sin(