抽屉原理讲义

1鸽巢原理讲义教学重难点重点：掌握抽屉原理的两种基本形式。难点：能够将实际问题转化成抽屉原理所反映的典型形式。掌握抽屉的设计，苹果的设计以及苹果的放法。教学内容知识纵横：“抽屉原理”又称“鸽笼原理”，最先是由19世纪的德国数学家狄利克雷提出来的，所以又称“狄里克雷原理”，这一原理在解决实际问题中有着广泛的应用。“抽屉原理”的应用是千变万化的，用它可以解决许多有趣的问题，并且常常能得到一些令人惊异的结果。下面我们应用这一原理解决问题。三个苹果放进两个抽屉，总有某个抽屉的苹果数不止一个，这个结论是很明显的，但这当中蕴含着一个有趣的数学现象被称为抽屉原理。抽屉原理一般有两种基本形式：一、将n+1个苹果放入n个抽屉中，则必有一个抽屉中至少有2个苹果；二、将m×n+1个苹果放入n个抽屉中，则必须有一个抽屉中至少有（m+1）个苹果2应用抽屉原理解题的一般步骤是：1.分析题意，将实际问题转化成抽屉原理所反映的典型形式，即指出“抽屉”和“苹果”；2.设计“抽屉”的具体形式，构造“苹果”；3.运用原理，得出在某个抽屉中“苹果”的个数，最终回归到原理的结论上。其中，抽屉的设计，苹果的设计及苹果的放法是应用抽屉原理解决问题的关键。例题讲解例1：某班有42名同学，至少有多少名同学在同一个月出生？［分析］把42名同学的出生月份看做42个元素，把一年12个月看成12个抽屉，因为42=12×3+6。所以依据抽屉原理二，至少在一个月里有3+1=4（名）同学出生。【举一反三】五年级有128名同学，其中至少有多少个同学在同一周过生日？例2：一副扑克牌有4种花色，每种花色有13张，从中任意抽牌，问最少要抽多少张牌才能保证是同一花色的？3【举一反三】一个口袋里分别有红、黄、黑球4,7,8个，为使取出的球中保证能有六个同色，则至少要去小球多少个？例3：学校组织2006名同学去春游，现有解放公园、野生动物园、水族公园三个景点，规定每人至少去一处，最多去两处游览，那么至少有多少个同学游览的地方相同？【分析】先分类求出每人去一处或两处的种数，再根据抽屉原理，把种数设为“抽屉”，把2006名学生作为“苹果”。因为规定每人最少去一处，最多去两处游览，所以去一处的有：解放公园，野生动物园，水族公园。去另一处的有：解放公园-野生动物园，解放公园-水族公园，野生动物园-水族公园。总共有6种，即6个抽屉，而2006=334×6+2，根据抽屉原理至少有334+1=335（人）。【举一反三】“六一”儿童节老师买来一些铅笔、橡皮和直尺，奖给全班40名同学，每人都得到其中的一、二或三种，那么，他们当中至少有几个同学得到的学习用具相同？4例4：黑色、白色、黄色的筷子各有8根，混杂地放在一起，黑暗里想从这些筷子中取出颜色不同的两双筷子，问至少要取多少根才能保证达到要求？【分析】从最不巧的情况想，摸出的8根筷子全是相同颜色，这就有一双筷子颜色相同。另外还剩下两种颜色的筷子，再从最坏的情况看，从余下的两种颜色的筷子中摸出两根颜色不同的筷子，再摸一根筷子，无论是什么颜色，都能保证得到一双颜色相同的筷子。所以至少要取8+2+1=11根筷子才能保证达到要求。【举一反三】五（1）班的同学要从10名候选人中投票选举班干部，如果每个同学只能投票选举两名候选人，那么，这个班至少应有多少个同学，才能保证必有两个以上的同学投相同的两名候选人的票？例5：任意5个整数，说明其中一定能选出3个数，使它们的和能被3整除。【分析】我们从这5个被3整除的余数考虑起。三个数的和能被3整除，这三个数只有以下两种情况：1.这三个数被3除的余数都相同；2.这三个数被3除的余数都不相同。从这两种情况加以说明：（1）若这5个余数中，有三个余数互不相同，则取出这三个数的和一定能被3整除。（2）若这5个余数中，找不到互不相同的3个余数，则3个余数中至多出现2个，则这5个余数中至少有3个余数为0,1或2。此时只要取出这3个被3除余数相同的和，则这3个数的和就能被3整除。5【举一反三】从2,4,6，…，30这15个偶数中任取9个数，试说明其中一定有两个数之和是34。例6：在1,3,5,7，…，97,99这50个奇数中，最多能取出多少个数，使其中任何一个都不是另一个的倍数？【分析】这50个数都是奇数，如果其中某两个数，一个是另一个的倍数，则一定是奇数倍并至少为3倍，所以这些数中超过33的数，他们的倍数都不在这50个数中。即从35到99这33个数中，任何一个都不是另一个的倍数。但这33个数是否是最多的选法呢？我们把一个数是另一个数的倍数的情况进行分类整理：（1,3,9,27,81）；（5,15,45）；（7,21,63）；（11,33,99）；（13,39）；（17,51）；（19,57）；（23,69）；（25,75）；（29,87）；（31,93）。这11个括号内，每个括号最多取一个数，从而这11个括号中的数至少有17个取不到。从而所有50个数中，至多能取出50-17=33个数。【举一反三】从整数1,2,3，…，100中任选51个数，请说明在选出的数中，至少有两个数，其中的一个数是另一个数的倍数？6课后作业设计1.三个小朋友一起做游戏，试说明其中必有两个小朋友的性别相同。2.实验小学有850名同学，从这些同学中任意选出27名同学，其中至少有几个学生的属相是相同的？3.袋子里有红、黄、蓝、白四种颜色的珠子各15粒，闭上眼睛想要摸出颜色相同的6粒珠子，至少要摸出几粒珠子，才能保证达到目的？4.从1到20这20个数中，任取11个数必有两个数，其中一个数是另一个数的倍数？5.在1,4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,34中任选出7个不同的数，其中必有两个数的和为35。6.停车场上有40辆客车。各种客车座位数不同，最少的有27座。那么，在这些客车中，至少有几辆的座位数量是相同的？7.一次北京夏令营组织200名同学游览故宫、景山、北海三个地方，规定每个同学至少去一个地方，问：至少有多少个同学游览了完全相同的地方？8.“华杯”赛获奖的87名学生来自12所小学。试说明，至少有8名学生来自同一所学校。