2013届高考理科数学总复习(第1轮)广东专版课件：第48讲 空间中的垂直关系

以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理；能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的垂直关系的简单命题．1_____.2__________.3___.1llllllbabla定义定义：如果直线与平面内的每一条直线都垂直，就说直线与平面互相垂直，记作①特别提醒：若已知，则垂直于平面内的所有直线，即“线面线线”．判定定理：一条直线与一个平面内的②直线都垂直，则该直线与此平面垂直．用符号表示为：，，，③性质定理：垂直于同一平面的两条直线④用符号．直线与平面表示：垂直__________.b，⑤1_______2.2定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是⑥，就说这两个平面互相垂直．画法：记作．平面与平面垂直______.__________._____34_____.alaall若一个平面过另一个平面的⑦，则这两个平面垂直．符号表示：⑧两个平面垂直，则一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面⑨用符号表示为：，，，⑩归纳拓展：两个平面、都垂直于平面，则与可能平行也面面垂直的判定定理面面垂直的性质可定理能相交，若：，则.l//lAaa①；②两条相交；③；④互相平行【；⑤要点指南】；⑥直角；⑦垂线；⑧；⑨垂直；⑩1.直线l与平面α内两条直线a，b都垂直，则l与α的关系是()A．平行B．垂直C．l⊂αD．不能确定【解析】注意直线与平面垂直判定的条件，缺少a，b相交，则l与α的位置关系不确定，故选D.2.如图，在三棱锥D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是()A.平面ABC⊥平面ABDB.平面ABD⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED.平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE【解析】由题知，AC⊥ED，AC⊥EB，故AC⊥平面BED，由面面垂直判定定理知面ABC⊥平面BED，平面ACD⊥平面BDE，故选C.3.(2011·北京海淀区期末)已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中不正确的是()A．若m∥α，α∩β＝n，则m∥nB．若m∥n，m⊥α，则n⊥αC．若m⊥α，m⊥β，则α∥βD．若m⊥α，m⊂β，则α⊥β【解析】由线面垂直判定定理和性质定理知B、C正确，由面面垂直判定定理知D正确，故选A.4.将正方形ABCD沿AC折成直二面角后，∠DAB＝60°.【解析】设正方形的边长为2a，在折叠后的图形中，取AC的中点E，连接BE、DE、BD，则BE⊥DE，且BE＝DE＝2a，所以BD＝2a，从而∠DAB＝60°.5.两个平面垂直的判定定理是：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.一直线和平面垂直的判定和性质【例1】如图，已知四棱锥P－ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝60°，E是BC的中点，证明：AE⊥PD.【证明】由四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，可得△ABC为正三角形．因为E为BC的中点，所以AE⊥BC.又BC∥AD，因此AE⊥AD.因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以PA⊥AE，而PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，且PA∩AD＝A，所以AE⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，所以AE⊥PD.【点评】证明线面垂直的常用方法：①判定定理；②a∥b，a⊥α⇒b⊥α；③α∥β，a⊥α⇒a⊥β；④面面垂直性质定理．如图，已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.素材1所以四边形AMNE为平行四边形，所以MN∥AE.因为PA⊥平面ABCD，∠PDA＝45°，所以△PAD为等腰直角三角形，所以AE⊥PD.又因为CD⊥AD，CD⊥PA，AD∩PA＝A，所以CD⊥平面PAD，而AE⊂平面PAD，所以CD⊥AE.又CD∩PD＝D，所以AE⊥平面PCD，所以MN⊥平面PCD.二平面与平面垂直的判定和性质【例2】如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，F为棱AB的中点，AB＝4，BC＝CD＝AA1＝2.证明：平面D1AC⊥平面BB1C1C.【证明】在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，CC1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以CC1⊥AC.因为底面ABCD为等腰梯形，AB＝4，BC＝CD＝2，F为棱AB的中点，故AF綊DC.则AFCD为平行四边形，所以FC＝AD＝BC＝2，所以CF＝CB＝BF，△BCF为正三角形，∠BCF＝60°.则△ACF为等腰三角形，且∠ACF＝30°，所以AC⊥BC.又因为BC与CC1都在平面BB1C1C内且相交于点C，所以AC⊥平面BB1C1C，而AC⊂平面D1AC.所以平面D1AC⊥平面BB1C1C.【点评】面面垂直一般转化为线面垂直问题解决．(2012·东莞模拟)如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，求证：(1)DE＝DA；(2)平面BDM⊥平面ECA.素材2【证明】(1)如图，取EC的中点F，连接DF.因为EC⊥平面ABC，所以EC⊥BC.又BD∥CE，所以DB⊥平面ABC，所以DB⊥AB.因为BD∥CE，BD＝12CE＝FC，则四边形FCBD是矩形，所以DF⊥EC.又BA＝BC＝DF，所以Rt△DEF≌Rt△ADB，所以DE＝DA.三垂直的综合应用【例3】在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD＝PD＝2MA.(1)求证：平面EFG⊥平面PDC；(2)求三棱锥P－MAB与四棱锥P－ABCD的体积之比．【解析】(1)证明：由已知MA⊥平面ABCD，PD∥MA，所以PD⊥平面ABCD.又BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC.因为四边形ABCD为正方形，所以BC⊥DC.又PD∩DC＝D，因此BC⊥平面PDC.在△PBC中，因为G、F分别为PB、PC的中点，所以GF∥BC，因此，GF⊥平面PDC.又GF⊂平面EFG，所以平面EFG⊥平面PDC.(2)因为PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，不妨设MA＝1，则PD＝AD＝2，所以VP－ABCD＝13S正方形ABCD·PD＝83.因为MA⊥平面ABCD，又DA⊥AB，所以DA⊥平面MAB，又PD∥MA，所以DA即为点P到平面MAB的距离，三棱锥VP－MAB＝13×12×1×2×2＝23，所以VP－MAB∶VP－ABCD＝1∶4.【点评】在立体几何中，证垂直关系、平行关系、求角、求距离往往都需要用到线面垂直，因此学好线面垂直对学好立体几何有着重要作用．如图，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC、AD上的动点，且AEAC＝AFAD＝λ(0λ1)．素材3(1)判断EF与平面ABC的位置关系并证明；(2)是否存在λ，使得平面BEF⊥平面ACD？如果存在，求出λ的值；如果不存在，说明理由．【解析】(1)EF⊥平面ABC.证明：因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD.又在△BCD中，∠BCD＝90°，所以BC⊥CD.又AB∩BC＝B，所以CD⊥平面ABC.又在△ACD中，E、F分别是AC、AD上的动点，且AEAC＝AFAD＝λ(0λ1)，所以EF∥CD，所以EF⊥平面ABC.(2)由(1)知CD⊥平面ABC，又BE⊂平面ABC，所以BE⊥CD.易知要使平面BEF⊥平面ACD，只要BE⊥AC即可．在Rt△ABD中，∠ADB＝60°，所以AB＝BDtan60°＝6，则在Rt△ABC中，AC＝AB2＋BC2＝7，当BE⊥AC时，BE＝AB·BCAC＝67，AE＝AB2－BE2＝367＝67，则AEAC＝677＝67，即λ＝67时，BE⊥AC.又BE⊥CD，AC∩CD＝C，所以BE⊥平面ACD.因为BE⊂平面BEF，所以平面BEF⊥平面ACD.所以存在λ，且当λ＝67时，平面BEF⊥平面ACD.备选例题如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形．已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝45.(1)设M是PC上一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；(2)求四棱锥P－ABCD的体积．【分析】(1)因为两平面垂直与M点位置无关，所以在平面MBD内一定有一条直线垂直于平面PAD，当M运动时，BD不动，考虑证明BD⊥平面PAD.(2)四棱锥底面为一梯形，高为P到平面ABCD的距离．【解析】(1)证明：在△ABD中，因为AD＝4，BD＝8，AB＝45，所以AD2＋BD2＝AB2，故AD⊥BD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面PAD.又BD⊂平面MBD，故平面MBD⊥平面PAD.(2)过点P作PO⊥AD交AD于O，由于平面PAD⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD.因此PO为四棱锥P－ABCD的高．又△PAD是边长为4的等边三角形，因此PO＝32×4＝23.在底面四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝2DC，所以四边形ABCD是梯形．在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为4×845＝855，此即为梯形ABCD的高，所以四边形ABCD的面积为S＝25＋452×855＝24.故VP－ABCD＝13×24×23＝163.【点评】当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线，把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直，构造二面角的平面角或得到点到面的距离等．1213251..4aamnmnAllmlnaalaala线面垂直的定义：与内任何直线都垂直；、，判定定理：；，判定定理：，；面面平行的性质：，；证明线面垂直的方法面面垂直的性质：，，，12233//..ababababaa平面几何中证明线线垂直的方法；线面垂直的性质：，；线面垂直的性质：，判定定理：．证明线线垂直的方法．证明面面垂直，的方法在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直，故熟练掌握“线线垂直”、“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键．4．垂直关系的转化5面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据，我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂．线即可．