2013届高考理科数学总复习(第1轮)广西专版课件：3.1数列的概念

第三章数列第讲考点搜索●数列的概念●数列通项公式的求解方法●用函数的观点理解数列高考猜想以递推数列、新情境下的数列为载体，重点考查数列的通项及性质，是近年来高考的热点，也是考题难点之所在.一、数列的定义1.按①排成的一列数叫做数列，其一般形式为a1,a2,…,an,…,简记为{an}.2.数列是一种特殊的函数，其特殊性表现在它的定义域是正整数集或正整数集的子集，因此它的图象是②.一定顺序一群孤立的点二、数列的通项公式一个数列{an}的第n项an与项数n之间的函数关系，如果可以用一个公式an=f(n)来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式.三、数列的分类1.按照项数是有限还是无限来分：有穷数列、无穷数列.2.按照项与项之间的大小关系来分：递增数列、递减数列、摆动数列和常数列.递增数列与递减数列统称为单调数列.3.按照任何一项的绝对值是否都不大于某一正数来分：有界数列、无界数列.四、数列前n项和Sn与an的关系：1.Sn=③(用an表示).2.an=④(用Sn表示).Sn(n=1)Sn-Sn-1(n≥2)a1+a2+a3+…+an1.已知数列{an}、{bn}的通项公式分别是：an=an+2,bn=bn+1(a,b是常数)，且ab.那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数是()A.0个B.1个C.2个D.无穷多个an=bnan+2=bn+1(a-b)n=-1.由于ab，n∈N*.所以(a-b)n=-1无解.故选A.A2.已知数列{an}中，a1=1，a2=3，则a5等于()A.B.C.4D.5a1=1，a2=3，an=an-1+(n≥3)()nnnaana1213，5512133na21aaaaaa324312111343.aaa54315512A3.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n，第k项满足5ak8，则k等于()A.9B.8C.7D.6因为数列{an}的前n项和Sn=n2-9n,所以，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-10;当n=1时，a1=S1=-8,满足上式，故an=2n-10(n∈N*).故选B..kann15585210892题型1：根据数列前几项写出数列的一个通项公式1.求下列数列的一个通项公式：(1)1，－1,1，－1，…；(2)3,5,9,17,33，…；(3)12，2，92，8，252，…；(4)1,0，－1,0,1,0，－1,0，….解：(1)an＝(－1)n＋1或an＝cos(n＋1)π.(2)an＝2n＋1.(3)an＝n22.(4)an＝sinnπ2.点评：已知数列的前n项，写出数列的通项公式，主要从以下几个方面来考虑：(1)符号用(－1)n与(－1)n＋1(或(－1)n－1)来调节，这是因为n和n＋1奇偶交错．(2)分式形式的数列，分子找通项，分母找通项，要充分借助分子、分母的关系．(3)对于比较复杂的通项公式，要借助等差数列、等比数列(后面将学到)和其他方法来解决．(4)此类问题虽无固定模式，但也有其规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知的数列)、归纳、转化(转化为等差或等比数列)等方法．有一数列{an}，a1＝a，由递推公式an＋1＝2an1＋an，写出这个数列的前4项，并根据前4项观察规律，写出该数列的一个通项公式．分析：可根据递推公式写出数列的前4项，然后分析每一项与该项的序号之间的关系，归纳概括出an与n之间的一般规律，从而做出猜想，写出满足前4项的该数列的一个通项公式．解：因为a1＝a，an＋1＝2an1＋an，所以a2＝2a1＋a，a3＝2a21＋a2＝4a1＋a1＋2a1＋a＝4a1＋3a，a4＝2a31＋a3＝8a1＋3a1＋4a1＋3a＝8a1＋7a.观察规律：an＝xa1＋ya形式，其中x与n的关系可由n＝1,2,3,4得出x＝2n－1.而y比x小1，所以an＝2n－1a1＋2n－1－1a.题型2：运用an与Sn的关系解题2.(原创)设数列{an}的前n项和为Sn，分别在下列条件下求数列{an}的通项公式.(1)an+Sn=2；(2)·().nnnnaSSnSa121209，，(1)当n=1时，a1+a1=2，解得a1=1.当n≥2时，由an+Sn=2，得an-1+Sn-1=2.此两式相减得2an-an-1=0，即所以{an}是首项为1，公比为的等比数列，即由于n=1时，也符合上式，所以数列{an}的通项公式是(n∈N*).nnaa112，12().nan112()nan112(2)当n≥2时，an=Sn-Sn-1，所以Sn-Sn-1=Sn·Sn-1，所以所以数列为等差数列.所以，所以()nnnSS11112，{}nS1()nnnSS111112112，.nSn2112当n≥2时，an=Sn-Sn-1所以an=nn22112132.()()nn4112132(n∈N*，且n≥2).()n219()()?nn4112132【点评】：由数列的前n项和Sn得an的关系是：an=S1(n=1)Sn-Sn-1(n∈N*，且n≥2).一般分n=1与n≥2进行讨论，如果n=1时的通项公式也符合n≥2的式子，则可以合并成一个通项公式，如果不能合并，则按分段形式写结论.设数列{an}的前n项和为Sn，分别在下列条件下求数列{an}的通项公式.(1)Sn=3n-2;(2)Sn=n2+2n.(1)当n=1时，a1=S1=1;当n≥2时，an=Sn-Sn-1=3n-2-(3n-1-2)=2·3n-1.由于a1=1不适合上式，因此数列{an}的通项公式为an=1(n=1)2·3n-1(n∈N*，且n≥2).(2)当n=1时，a1=S1=3;当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2+2n-(n-1)2-2(n-1)=2n+1.因为a1=3满足上式，所以数列{an}的通项公式为an=2n+1(n∈N*).题型3：由递推关系式求通项公式3.设数列{an}满足a1+3a2+32a3+…+3n-1an=，n∈N*，求数列{an}的通项公式.依题意得a1+3a2+32a3+…+3n-1an=n3，①a1+3a2+32a3+…+3n-2an-1=(n≥2)，②n3n13由①-②得所以验证n=1时也满足上式，故数列{an}的通项公式为(n∈N*).().nnnnan11132333().nnan1231nna3【点评】：数列是特殊的函数，数列的递推关系式反映的就是函数的一个对应关系.如果已知的是n=k时的命题，则n=k-1(k≥2)时的命题，或n=1时的命题的相应形式我们应该能准确的写出来，然后由这些式子经过加减等运算得到我们所需要的递推关系式或通项公式.数列{an}满足a1+a2+…+an=n2·an，则数列{an}的通项公式an=.设数列{an}的前n项和为Sn，则Sn=n2·an.所以当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2an-(n-1)2an-1，a112，所以所以.nnanan111····nnnaaaaaaaa231121····nn11212341.()nn111.根据数列的前面几项，写出它的一个通项公式，关键在于找出这些项(a1，a2，a3，…)与项数(1，2，3，…)之间的关系，常用方法有观察法、逐项法、转化为特殊数列法等.2.利用Sn与an的关系求通项是一个重要内容，应注意Sn与an间关系的灵活运用，同时要注意a1并不一定能统一到an中去.3.已知数列的递推关系式求数列的通项公式，解此类题型的方法一般是将已知的递推关系，用代数法、迭代法、换元法，或转化为基本数列(等差或等比数列)的方法求通项公式.4.数列中有两个重要变形，在适当条件下，注意使用：(1)an=a1+(a2-a1)+…+(an-an-1);(2)····().nnnnaaaaaaaaa2311210