2016届高考数学(理)二轮复习专题课件：专题9 解析几何 第3讲 圆锥曲线的几何性质(全国通用)

第3讲圆锥曲线的几何性质专题九解析几何2016考向导航历届高考考什么？三年真题统计201520142013圆锥曲线的几何性质卷Ⅰ，T14卷Ⅱ，T11卷Ⅰ，T16卷Ⅰ，T4、T10卷Ⅱ，T10卷Ⅱ，T20(1)卷Ⅰ，T4专题九解析几何2016会怎样考？(1)圆锥曲线的定义与几何性质结合是命题的出发点(2)直线与圆锥曲线有机结合与定性关系构建问题，椭圆与抛物线的综合问题将是考试的重点专题九解析几何名称椭圆双曲线抛物线几何性质轴离心率长轴长2a，短轴长2b实轴长2a，虚轴长2be＝ca＝1－b2a2(0e1)e＝ca＝1＋b2a2(e1)e＝1名称椭圆双曲线抛物线几何性质通径渐近线|AB|＝2b2a|AB|＝2py＝±bax考点一圆锥曲线的几何性质(2015·高考全国卷Ⅰ，5分)一个圆经过椭圆x216＋y24＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________________________．(x－32)2＋y2＝254[名师点评]利用圆心位置确定圆过椭圆的哪些顶点，体现了数形结合思想．[解析]由题意知a＝4，b＝2，上、下顶点的坐标分别为(0，2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4，0)．由圆心在x轴的正半轴上知圆过点(0，2)，(0，－2)，(4，0)三点．设圆的标准方程为(x－m)2＋y2＝r2(0＜m＜4，r＞0)，则m2＋4＝r2，（4－m）2＝r2，解得m＝32，r2＝254.所以圆的标准方程为(x－32)2＋y2＝254.椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)，其顶点恰为圆M：(x－1)2＋y2＝4与坐标轴的交点．若过椭圆C与圆M的公共点B的圆的切线l与椭圆的另一个交点为A，则|AB|＝________．解析：圆M：(x－1)2＋y2＝4与x轴的交点为(－1，0)与(3，0)．与y轴的交点为(0，±3)，由椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)知a＝3，b＝3，椭圆方程为x29＋y23＝1.23如图，圆的切线过圆M与y轴的交点(即椭圆的短轴上端点)不妨取上顶点B(0，3)，由kBM＝0－31－0＝－3，得kl＝33，∴l的方程为y＝33x＋3.代入椭圆C：x29＋y23＝1，得x2＋3x＝0.∴x＝0或x＝－3.当x＝0时，即为B的横坐标，当x＝－3时，y＝0.即得另一个交点A(－3，0)，过椭圆C的左顶点．∴|AB|＝（－3）2＋（3）2＝23.(2015·高考全国卷Ⅰ，5分)已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为12，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝()A．3B．6C．9D．12B[解析]抛物线y2＝8x的焦点为(2，0)，∴椭圆中c＝2，又ca＝12，∴a＝4，b2＝a2－c2＝12，从而椭圆方程为x216＋y212＝1.∵抛物线y2＝8x的准线为x＝－2，∴xA＝xB＝－2，将xA＝－2代入椭圆方程可得|yA|＝3，由图象可知|AB|＝2|yA|＝6.故选B.[名师点评]根据圆锥曲线的对称性知，当两圆锥曲线相交时，公共弦所在的直线与它们的对称轴平行或垂直．双曲线x2－y2＝4与抛物线C：y2＝2px(p0)的准线相交于A，B两点，若|AB|＝43，则抛物线C的方程为()A．y2＝2xB．y2＝4xC．y2＝8xD．y2＝16xD解析：抛物线的准线方程为x＝－p2代入x2－y2＝4，得y＝±p24－4，所以p24－4＝23，解得p＝8，则抛物线C的方程为y2＝16x，故选D.(2015·高考全国卷Ⅱ，5分)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为()A.5B．2C.3D．2[解析]不妨取点M在第一象限，如图所示，D[名师点评]根据圆锥曲线的几何性质和相关的代数条件和几何关系建立圆锥曲线元素之间的关系．设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，则|BM|＝|AB|＝2a，∠MBx＝180°－120°＝60°，∴M点的坐标为(2a，3a)．∵M点在双曲线上，∴4a2a2－3a2b2＝1，a＝b，∴c＝2a，e＝ca＝2.故选D.双曲线E：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左顶点A关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线E的离心率为()A.2B．3C．2D．5C解析：.如图，A关于渐近线y＝－bax的对称点B在渐近线y＝bax上．∴∠AOM＝∠BOM.设A′为双曲线的右顶点，∵∠AOM＝∠A′OB，∴∠AOM＝∠BOM＝∠A′OB＝π3，则渐近线y＝bax的倾斜角为π3，∴ba＝3，即c2－a2a2＝3，∴c＝2a，e＝ca＝2，所以离心率e＝2.1．已知双曲线x2a2－y2b2＝1的一个焦点与圆x2＋y2－10x＝0的圆心重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的标准方程为()A.x25－y220＝1B．x225－y220＝1C.x220－y25＝1D．x220－y225＝1A解析：由已知圆心坐标为(5，0)，即c＝5，又ca＝5，∴a2＝5，b2＝20，∴双曲线的标准方程为x25－y220＝1.2．以椭圆的四个顶点为顶点的四边形中的其中一个内角为60°，则椭圆的离心率为()A.22B．32C.33D．63D解析：设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)．则有ba＝tan30°＝33.即a2－c2a2＝13.∴e＝ca＝63.3．如果以原点为圆心的圆经过双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的焦点，且被直线l：x＝a2c分成弧长为2∶1的两段圆弧，那么该双曲线的离心率e等于()A.5B．52C.3D．2D解析：该圆经过双曲线的焦点(±c，0)点，∴R＝c.设直线l与圆交于A点，与x轴交于B点，由题知Rt△OAB中∠AOB＝60°，OB＝a2c，OA＝R＝c.∴cos60°＝a2c2＝1e2＝12，故e＝2.4．拋物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，已知点A、B为拋物线上的两个动点，且满足∠AFB＝120°.过弦AB的中点M作拋物线准线的垂线MN，垂足为N，则|MN||AB|的最大值为()A.33B．1C.233D．2A解析：设|AF|＝a，|BF|＝b，分别过A、B作准线的垂线，垂足分别为Q、P，由拋物线的定义知，|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|，在梯形ABPQ中，2|MN|＝|AQ|＋|BP|＝a＋b.|AB|2＝a2＋b2－2abcos120°＝a2＋b2＋ab＝(a＋b)2－ab.又因为ab≤(a＋b2)2，所以(a＋b)2－ab≥(a＋b)2－14(a＋b)2＝34(a＋b)2，得到|AB|≥32(a＋b)，所以|MN||AB|≤12（a＋b）32（a＋b）＝33，即|MN||AB|的最大值为33，故选A.5．椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左焦点为F，若F关于直线3x＋y＝0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为________．解析：设A(m，n)，则nm＋c×（－3）＝－13×m－c2＋n2＝0，解得Ac2，32c，代入椭圆方程中，有c24a2＋3c24b2＝1，3－1∴b2c2＋3a2c2＝4a2b2，∴(a2－c2)c2＋3a2c2＝4a2(a2－c2)，∴c4－8a2c2＋4a4＝0，∴e4－8e2＋4＝0，∴e2＝4±23，∴e＝3－1.6．在平面直角坐标系中，点P是直线l：x＝－12上一动点，定点F12，0，点Q为PF的中点，动点M满足MQ→·PF→＝0，MP→＝λOF→(λ∈R)，过点M作圆(x－3)2＋y2＝2的切线，切点分别为S，T，则MS→·MT→的最小值是________．35解析：如图所示，连接MF，由题知|MP|＝|MF|，从而可知M点的轨迹方程为y2＝2x，设∠SMN＝∠TMN＝θ，而MS→·MT→＝|MS→||MT→|cos2θ＝2tanθ2cos2θ＝22sin2θ＋1sin2θ－3，设My22，y，则sin2θ＝2|MN|2＝2y22－32＋y2＝214（y2－4）2＋5≤25，∴当sin2θ＝25时，MS→·MT→＝22sin2θ＋1sin2θ－3取得最小值35.考点二圆锥曲线定义与几何性质的综合运用(2015·高考全国卷Ⅰ，5分)已知F是双曲线C：x2－y28＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0，66)．当△APF周长最小时，该三角形的面积为________．126[解析]由双曲线方程x2－y28＝1可知，a＝1，c＝3，故F(3，0)，F1(－3，0)．当点P在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF|－|PF1|＝2，所以|PF|＝|PF1|＋2，从而△APF的周长＝|AP|＋|PF|＋|AF|＝|AP|＋|PF1|＋2＋|AF|.因为|AF|＝32＋（66）2＝15为定值，[名师点评]在圆锥曲线中，利用定义将几何问题的最值进行转化是问题解决的关键．所以当(|AP|＋|PF1|)最小时，△APF的周长最小，由图知，当A，P，F1三点共线时，(|AP|＋|PF1|)最小，AF1的方程为x－3＋y66＝1，①双曲线C：x2－y28＝1，②由①、②知P的纵坐标为y＝26.所以S△APF＝S△AF1F－S△PF1F＝12×6×66－12×6×26＝126.解析：如图，连接PQ与圆Q的交点之一为A，连接PT与圆T的交点之一为B.已知P是双曲线C：x2－y28＝1的右支上一点，M，N分别是圆Q：(x＋3)2＋y2＝4与圆T：(x－3)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为________．5则|PM|≤|PA|，|PN|≥|PB|.∴|PM|－|PN|≤|PA|－|PB|＝|PQ|＋|QA|－|PT|＋|TB|.＝|PQ|－|PT|＋|QA|＋|TB|.由C：x2－y28＝1与圆Q：(x＋3)2＋y2＝4与圆T：(x－3)2＋y2＝1知点Q(－3，0)与点T(3，0)是双曲线C的左、右焦点．由双曲线定义得|PM|－|PN|≤2＋2＋1＝5.∴|PM|－|PN|的最大值为5.1．已知点P为双曲线x216－y29＝1右支上一点，点F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，M为△PF1F2的内心，若S△PMF1＝S△PMF2＋8，则△MF1F2的面积为()A．27B．10C．8D．6B解析：设内切圆的半径为R，由题意知a＝4，b＝3，c＝5，∵S△PMF1＝S△PMF2＋8，∴12(|PF1|－|PF2|)R＝8，即aR＝8，∴R＝2，∴S△MF1F2＝12·2c·R＝10，故选B.解析：依题意，由点M向抛物线x2＝4y的准线l：y＝－1引垂线，垂足为M1，则有|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MM1|，结合图形可知|MA|＋|MM1|的最小值等于圆心C(－1，5)到y＝－1的距离再减去圆C的半径，即等于6－1＝5，因此|MA|＋|MF|的最小值是5.2．已知M是抛物线x2＝4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：(x＋1)2＋(y－5)2＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值是________．5(2014·高考课标全国卷Ⅰ，12分)已知点A(0，－2)，椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为32，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为233，O为坐标原点．(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．考点三圆锥曲线性质的综合应用[解](1)设F(c，0)，由条件知，2c＝233，得c＝3.又ca＝32，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.故E的方程为x24＋y2＝1.(2)当l⊥x轴时不合题意，故设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将y＝kx－2代入x24＋y2＝1得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.当Δ＝16(4k2－3)0，即k234时，x1，2＝8k±24k2－34k2＋1.从而|PQ|＝k2＋1|x1－x2|＝4k2＋1·4k2－34k2