2013-2014学年高一数学同步课件：函数与方程方程的根与函数的零点(新人教A版必修1)

•3．1函数与方程•3．1.1方程的根与函数的零点•【课标要求】•1．结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及个数；体会数形结合思想与函数与方程思想的应用．•2．理解函数零点的概念，掌握函数零点的存在性定理．•【核心扫描】•1．求函数的零点．(重点)•2．零点存在性及零点个数的判定．(难点)•3．函数的零点与方程根的关系．(易混点)•新知导学•1．函数的零点•对于函数y＝f(x)，把使的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．•2．方程、函数、图象之间的关系•方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与有交点⇔函数y＝f(x)．f(x)＝0有零点x轴•3．函数零点存在的判定方法•如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是的一条曲线，并且有.那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得.•温馨提示：判定函数零点的两个条件缺一不可，否则不一定存在零点；反过来，若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)＜0不一定成立．f(a)·f(b)＜0连续不断f(c)＝0•互动探究•探究点1函数的零点是函数y＝f(x)与x轴的交点吗？•提示函数的零点不是函数y＝f(x)与x轴的交点，而是y＝f(x)与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数．•探究点2若连续不断的曲线y＝f(x)，在区间[a，b]上有f(a)·f(b)＜0，那么y＝f(x)在(a，b)内一定有零点，但能确定零点的个数吗？•提示不能，仅能确定一定有零点，但究竟有多少个零点无法确定．•探究点3如果函数y＝f(x)在[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＞0，则y＝f(x)在(a，b)内一定没有零点吗？•提示不一定，如y＝f(x)＝x2在[－1,1]上，虽有f(－1)·f(1)＝1＞0，但其有零点x＝0.•类型一求函数的零点•【例1】判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．•(1)f(x)＝－x2＋2x－1；(2)f(x)＝x4－x2；•(3)f(x)＝4x＋5；(4)f(x)＝log3(x＋1)．•[思路探索]求函数的零点，就是求相应方程的根．•解(1)令－x2＋2x－1＝0，解得x＝1，•所以函数f(x)＝－x2＋2x－1的零点为1.•(2)∵f(x)＝x2(x－1)(x＋1)＝0，•∴x＝0或x＝1或x＝－1，•故函数f(x)＝x4－x2的零点为0，－1和1.•(3)令4x＋5＝0，则4x＝－5＜0，方程4x＋5＝0无解．•所以函数f(x)＝4x＋5不存在零点．•(4)令log3(x＋1)＝0，解得x＝0，•所以函数f(x)＝log3(x＋1)的零点为0.•[规律方法]1.本题通过求方程f(x)＝0的根得出函数的零点，准确进行因式分解与变形是求方程根的关键．•2．求函数y＝f(x)的零点通常有两种方法：其一是令f(x)＝0，根据解方程f(x)＝0的根求得函数的零点；其二是画出函数y＝f(x)的图象，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．【活学活用1】求下列函数的零点：(1)y＝x－1；(2)y＝1＋log3x；(3)y＝x2－x－6.解(1)令x－1＝0，得x＝1，故函数的零点是1.(2)令1＋log3x＝0，∴log3x＝－1，解得x＝13，故函数的零点是13.(3)令x2－x－6＝0，得(x－3)(x＋2)＝0，解得x＝3或x＝－2，∴函数的零点为－2和3.•类型二判断函数零点的个数•【例2】判断函数f(x)＝lnx＋x2－3的零点的个数．•[思路探索]可以运用数形结合法或零点存在的判定方法解决．•解法一函数对应的方程为lnx＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝lnx与y＝3－x2•的图象交点个数．•在同一坐标系下，作出两函数的图象•(如图)．•由图象知，函数y＝3－x2与y＝lnx的图象只有一个交点．•从而lnx＋x2－3＝0有一个根，即函数y＝lnx＋x2－3有一个零点．•法二由于f(1)＝ln1＋12－3＝－2＜0，•f(2)＝ln2＋22－3＝ln2＋1＞0，•∴f(1)·f(2)＜0，•又f(x)＝lnx＋x2－3的图象在(1,2)上是不间断的，所以f(x)在(1,2)上必有零点，•又f(x)在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个．•[规律方法]判断函数零点个数的方法主要有：•(1)对于一般函数的零点个数的判断问题，可以先确定零点存在，然后借助于函数的单调性判断零点的个数；•(2)由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐标系下作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象，利用图象判定方程根的个数；•(3)解方程，解得方程根的个数即为函数零点的个数．【活学活用2】(1)函数f(x)＝lnx－2x的零点所在的大致区间是()．A．(1,2)B．(2,3)C．(3,4)D．(e,3)(2)判断函数f(x)＝x2－1x的零点的个数．(1)解析∵f(2)＝ln2－1＜0，f(3)＝ln3－23＞0，∴f(2)·f(3)＜0.∴f(x)在(2,3)内有零点．答案B(2)解法一由x2－1x＝0，得x2＝1x.令h(x)＝x2(x≠0)，g(x)＝1x，在同一坐标系中画出h(x)和g(x)的图象，由图可知两函数图象只有一个交点，故函数f(x)＝x2－1x只有一个零点．法二令f(x)＝x2－1x＝0，得x2＝1x(x≠0),即x3＝1，∴x＝1，即函数f(x)＝x2－1x只有一个零点．•类型三函数零点的应用•【例3】已知关于x的二次方程ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0有两根，且一根大于2，另一根小于2，试求实数a的取值范围．•[思路探索]根据二次方程根的分布画出相应的函数图象，数形结合建立关于a的不等式．•解令f(x)＝ax2－2(a＋1)x＋a－1，依题意知，函数f(x)有两个零点，且一零点大于2，一零点小于2.•∴f(x)的图象大致如图所示：•当a＞0时，应有f(2)＝4a－4(a＋1)＋a－1＜0，•∴0＜a＜5.•当a＜0时，应有f(2)＝4a－4(a＋1)＋a－1＞0，无解．•综上可知，a的取值范围是(0,5)．•[规律方法](1)解决此类问题可设出方程对应的函数，根据函数的零点所在的区间分析区间端点函数值的符号，建立不等式，使问题得解．当函数解析式中含有参数时，要注意分类讨论．•(2)二次函数的零点分布抓住：对称轴、判别式Δ，图象开口方向与区间端点函数值的符号，利用数形结合直观求解．【活学活用3】若函数f(x)＝ax2－x－1仅有一个零点，求实数a的取值范围．解(1)若a＝0，则f(x)＝－x－1为一次函数，易知函数只有一个零点．(2)若a≠0，则函数f(x)为二次函数，若其只有一个零点，则方程ax2－x－1＝0有两个相等的实数根，故判别式Δ＝1＋4a＝0，得a＝－14.综上，当a＝0或－14时，函数仅有一个零点．•易错辨析忽视零点存在性定理的使用条件致误【示例】函数f(x)＝x＋1x的零点个数为()．A．0B．1C．2D．3[错解]因为f(－1)＝－2＜0，f(1)＝2＞0，所以函数f(x)有一个零点，故选B.[错因分析]函数的定义域决定了函数的一切性质，分析函数的有关问题时必须先求出定义域．通过作图(图略)，可知函数f(x)＝x＋1x的图象不是连续不断的，而零点存在性定理不能在包含间断点的区间内使用．•[正解]函数f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}．•当x＞0时，f(x)＞0，∴f(x)＝0无实根．•当x＜0时，f(x)＜0，∴f(x)＝0无实根．•综上，函数f(x)没有零点．•答案A•[防范措施](1)零点存在性定理成立的条件有两个：一是函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；二是f(a)·f(b)＜0.这两个条件缺一不可，如果其中一个条件不成立，那么就不能使用该定理．•(2)零点存在定理只能用来判定函数y＝f(x)在区间(a，b)上零点的存在性，但不能确定其零点的个数．•课堂达标•1．函数y＝4x－2的零点是•()．A．2B．(－2,0)C.12，0D.12解析令y＝4x－2＝0，得x＝2.∴函数y＝4x－2的零点为2.答案A2．函数f(x)＝－12x的零点个数为()．A．0B．1C．2D．3解析令f(x)＝0，得＝12x，在同一坐标系中，作出y＝与y＝12x的图象(略)，数形结合，两图象有一个交点，∴函数f(x)＝－12x有一个零点．答案B•3．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c＜0，则函数零点的个数是________．•解析∵a·c＜0，∴Δ＝b2－4ac＞0，∴二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有两个交点，则函数有2个零点．•答案2•4．函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是________(填序号)．•①(－2，－1)；②(－1,0)；③(0,1)；④(1,2)．•解析∵f(x)＝ex＋x－2.•∴f(0)＝－1＜0，f(1)＝e－1＞0.•∴函数f(x)的零点所在的一个区间是(0,1)．•答案③•5．若函数f(x)＝|x2－2x|－a没有零点，求实数a的取值范围．•解令g(x)＝|x2－2x|＝|(x－1)2－1|.•由于(x－1)2≥0，知(x－1)2－1≥－1，从而g(x)≥0.•令f(x)＝0，则a＝|x2－2x|.•当直线y＝a与g(x)的图象没有交点时，函数f(x)无零点，∴a＜0.故实数a的取值范围是(－∞，0)．•课堂小结•1．在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点．•2．方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标．•3．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础．