[高考数学总复习]第五章平面向量与复数章末大盘点

一、数形结合思想向量的加、减、数乘等线性运算有着丰富的几何背景，同时，向量的坐标表示又为向量运算的代数化提供了可能.因此，向量融数、形于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，自然处于中学数学知识的重要交汇点.显然，形成并自觉运用数形结合的思想方法是解决向量与其他问题的关键.【示例1】已知a，b是两个非零向量，|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为________．[解析]如图所示，设OA＝a，OB＝b，则BA＝a－b，OC＝a＋b.由|a|＝|b|＝|a－b|，得∠OBA＝∠BOA＝∠OAB＝60°.∴△OAB为正三角形．∴∠OAC＝120°，∠COA＝30°.∴a与a＋b的夹角为30°.[答案]30°[领悟]利用向量加法的平行四边形法则转化为平面几何问题，直观形象．二、等价转化的思想等价转化的实质是将难解的问题化为易解的问题，将复杂问题化为简单的问题来处理.在本章中，可利用向量的坐标运算法则，把向量的运算转化为实数的运算，即将向量的加、减、实数与向量的积和数量积的运算，转化为实数的加、减、乘的运算.把一些几何问题的证明转化为向量的代数运算，无不体现了等价转化思想.【示例2】(2009·上海高考)已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2)．(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝，求△ABC的面积．[解](1)证明：∵m∥n，∴asinA＝bsinB，即a·＝b·，其中R是三角形ABC外接圆半径，∴a＝b.∴△ABC为等腰三角形．(2)由题意可知m·p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0.∴a＋b＝ab.由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0，∴ab＝4(舍去ab＝－1)，∴S＝absinC＝·4·sin＝3[领悟]向量的坐标表示就是把向量位置关系及有关运算转化为数的问题．用代数运算研究向量问题就是等价转化思想的体现．三、函数与方程的思想向量作为一种运算工具，与函数和方程是密切相关的.例如，向量a，b的坐标中含有参数t时，计算a·b时，即把a·b视为关于t的函数；解决共线向量时，则常常借助b＝λa来确定λ，求λ的方法即利用向量相等的充要条件列出方程(组)来求解.【示例3】△ABC中，A最大，C最小，且A＝2C，a＋c＝2b，求此三角形三边之比．[解]△ABC中，由正弦定理得∴＝2cosC，即cosC＝由余弦定理得cosC＝∵2b＝a＋c，∴整理得(2a－3c)(a2－c2)＝0，解得a＝c或a＝c.∵AC，∴ac，∴a＝c不合题意．当a＝c时，b＝(a＋c)＝c，∴a∶b∶c＝c∶c∶c＝6∶5∶4.故此三角形三边之比为6∶5∶4.[领悟]在应用正、余弦定理解三角形时，常用到三角函数的有关公式，要注意各公式之间的内在联系，本题中求解a，c主要利用了解方程的思想，体现了余弦定理与方程的联系．答案：1．(2009·辽宁高考改编)已知复数z＝1－2i，那么＝_____.解析：由z＝1－2i知＝1＋2i，于是i.2．(2009·湖北高考改编)投掷两颗骰子，得到其向上的点数分为m和n，则复数(m＋ni)(n－mi)为实数的概率为_____．解析：∵(m＋ni)(n－mi)＝2mn＋(n2－m2)i，它为实数的等价条件是m2＝n2，又m，n均为正整数，∴m＝n.故问题事件所含基本事件有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)六个，试验含有36个基本事件，所以答案：3.(2009·全国卷Ⅰ改编)设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则〈a，b〉＝.解析：∵a＋b＝c，∴|c|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2.又|a|＝|b|＝|c|，∴2a·b＝－b2，即2|a||b|cos〈a，b〉＝－|b|2.∴cos〈a，b〉＝∴〈a，b〉＝120°.答案：120°4.(2009·福建高考)若＝a＋bi(i为虚数单位，a，b∈R)，则a＋b＝.答案：2即1＋i＝a＋bi，∴a＝1，b＝1，∴a＋b＝2.解析：∵＝a＋bi，∴＝a＋bi，5.(2009·湖南高考)如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若则x＝，y＝.解析：设则由题意：又∠BED＝60°，∴显然与的夹角为45°.∴由(1-x)得：×1×cos45°＝(x－1)×12.∴x＝+1.同理，在＝(x－1)两边与取数量积可得y＝答案：1+6．(2010·扬州模拟)已知2a－b＝(－1，)，c＝(1，)，且a·c＝3，|b|＝4，则b与c的夹角为________．解析：∵2a－b＝(－1，)，c＝(1，)，∴(2a－b)·c＝2a·c－b·c＝(－1，)·(1，)＝2.又∵a·c＝3，∴b·c＝4，cos〈b，c〉，所以b与c的夹角为.答案：7．(2010·盐城模拟)已知D为△ABC的边BC上的中点，△ABC所在平面内有一点P，满足PA＋BP＋CP＝0，则等于________．解析：由于D为BC边上的中点，因此由向量加法的平行四边形法则，易知PB＋PC＝2PD，因此结合PA＋BP＋CP＝0即得PA＝2PD，因此易得P、A、D三点共线且D是PA的中点，所以＝1.答案：18.(2009·浙江高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos=3.(1)求△ABC的面积；(2)若c＝1，求a的值.解：(1)因为cos所以cosA=2cos2-1=,sinA=.又由=3,得bccosA＝3，所以bc＝5.因此S△ABC＝bcsinA＝2.(2)由(1)知，bc＝5.又c＝1，所以b＝5，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝20，所以a=2129．(2009·广东高考)已知向量a＝(sinθ，－2)与b＝(1，cosθ)互相垂直，其中θ∈(0，)．(1)求sinθ和cosθ的值；(2)若sin(θ－φ)＝，0＜φ＜，求cosφ的值．解：(1)∵a⊥b，∴sinθ×1＋(－2)×cosθ＝0⇒sinθ＝2cosθ.∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴4cos2θ＋cos2θ＝1⇒cos2θ＝∵θ∈(0，)，∴cosθ＝⇒sinθ＝(2)法一：由sin(θ－φ)＝有，sinθcosφ－cosθsinφ＝⇒sinφ＝2cosφ－，∴sin2φ＋cos2φ＝5cos2φ－2cosφ＋＝1⇒5cos2φ－2cosφ－＝0.解得cosφ＝，cosφ＝－∵0＜φ＜，∴cosφ＝.法二：∵0＜θ，φ＜，∴－＜θ－φ＜.所以cos(θ－φ)＝故cosφ＝cos[θ－(θ－φ)]＝cosθcos(θ－φ)＋sinθsin(θ－φ)＝10．(2010·南通高三调研)△ABC中，角A的对边长等于2，向量m＝(2,2cos2－1)，向量n＝(sin，－1)．(1)当m·n取最大值时，求角A的大小；(2)在(1)的条件下，求△ABC面积的最大值．解：(1)m·n＝2sin－(2cos2－1)＝2sin－cos(B＋C)．因为A＋B＋C＝π，所以B＋C＝π－A，于是m·n＝2sin＋cosA＝－2sin2＋2sin＋1＝－2(sin－)2＋因为∈(0，)，所以当且仅当sin，即A＝时，m·n取得最大值.故m·n取得最大值时角A＝.(2)设角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，由余弦定理，得b2＋c2－a2＝2bccosA，即bc＋4＝b2＋c2≥2bc，所以bc≤4，当且仅当b＝c＝2时取等号．又S△ABC＝bcsinA＝bc≤当且仅当a＝b＝c＝2时，△ABC的面积最大为