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第一章集合与常用逻辑用语第一节集合【知识梳理】1.必会知识教材回扣填一填(1)集合的基本概念:①集合元素的性质:_______、_______、_______.②元素与集合的关系:ⅰ属于,记为___;ⅱ不属于,记为__.确定性无序性互异性∈∉③常见集合的符号:④集合的表示方法:_______、_______、_______.集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集复数集符号________________NN*或N+ZQR列举法描述法图示法C(2)集合间的基本关系:表示关系文字语言符号语言相等集合A与集合B中的所有元素__________且_____⇔A=B子集A中任意一个元素均为B中的元素___________真子集A中任意一个元素均为B中的元素,且B中至少有一个元素不是A中的元素___________空集空集是_________的子集,是______________的真子集∅⊆A∅B(B≠∅)Ü相同A⊆BB⊆AA⊆B或B⊇AAB或BA任何集合任何非空集合(3)集合的基本运算:并集交集补集图形符号A∪B=_______________A∩B=________________∁UA=_______________{x|x∈A或x∈B}{x|x∈A且x∈B}{x|x∈U且x∉A}2.必备结论教材提炼记一记(1)对于有限集合A,若card(A)=n,则集合A的子集个数为2n,真子集个数为____,非空真子集个数为____.(2)A∪B=A⇔B⊆A,A∩B=A⇔A⊆B.(3)一般地,对任意两个有限集合A,B,有card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B).2n-12n-23.必用技法核心总结看一看(1)常用方法:进行集合运算的数轴图示法.(2)数学思想:分类讨论,数形结合.(3)记忆口诀:集合概念不定义,属性相同来相聚.内含子交并补集,高中数学的基础.集合元素三特征,互异无序确定性.集合元素尽相同,两个集合才相等.书写采用符号化,表示列举描述法.元素集合多属于,集合之间谈包含.0和空集不相同,正确区分才成功.运算如果有难处,Venn图儿来相助.【小题快练】1.思考辨析静心思考判一判(1)集合{x2+x,0}中实数x可取任意值.()(2)任何集合都至少有两个子集.()(3)集合{x|y=}与集合{y|y=}是同一个集合.()(4)若A={0,1},B={(x,y)|y=x+1},则A⊆B.()x1x1【解析】(1)错误.由元素的互异性知x2+x≠0,即x≠0且x≠-1.(2)错误.∅只有一个子集.(3)错误.{x|y=}={x|x≥1},{y|y=}={y|y≥0}.(4)错误.集合A是数集,集合B是点集.答案:(1)×(2)×(3)×(4)×x1x12.教材改编链接教材练一练(1)(必修1P12A组T5(2)改编)若集合A={x∈N|x≤},a=,则下面结论中正确的是()A.{a}⊆AB.a⊆AC.{a}∈AD.a∉A【解析】选D.因为不是整数,所以a∉A.102222(2)(必修1P12B组T1改编)已知集合A={0,1,2},集合B满足A∪B={0,1,2},则集合B有个.【解析】由题意知B⊆A,则集合B有8个.答案:83.真题小试感悟考题试一试(1)(2014·新课标全国卷Ⅱ)设集合M={0,1,2},N={x|x2-3x+2≤0},则M∩N=()A.{1}B.{2}C.{0,1}D.{1,2}【解析】选D.由x2-3x+2=(x-1)(x-2)≤0,解得1≤x≤2,故N={x|1≤x≤2},所以M∩N={1,2}.(2)(2014·广东高考)已知集合M={-1,0,1},N={0,1,2},则M∪N=()A.{0,1}B.{-1,0,2}C.{-1,0,1,2}D.{-1,0,1}【解析】选C.结合Venn图,可知M∪N={-1,0,1,2}.(3)(2014·湖北高考)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},集合A={1,3,5,6},则∁UA=()A.{1,3,5,6}B.{2,3,7}C.{2,4,7}D.{2,5,7}【解析】选C.因为全集U={1,2,3,4,5,6,7},集合A={1,3,5,6},所以∁UA={2,4,7}.考点1集合的基本概念【典例1】(1)(2015·青岛模拟)已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是()A.1B.3C.5D.9(2)(2015·银川模拟)若集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只有一个元素,则a=()A.B.C.0D.0或929898【解题提示】(1)用列举法把集合B中的元素列举出来,注意元素的互异性.(2)分a=0和a≠0两种情况讨论.【规范解答】(1)选C.当x=0,y=0,1,2时,x-y=0,-1,-2,当x=1,y=0,1,2时,x-y=1,0,-1,当x=2,y=0,1,2时,x-y=2,1,0.根据集合中元素的互异性知,集合B中的元素为-2,-1,0,1,2.共5个.(2)选D.若集合A中只有一个元素,则方程ax2-3x+2=0只有一个实根或有两个相等实根.当a=0时,x=,符合题意,当a≠0时,由Δ=(-3)2-8a=0得a=,所以a的值为0或.239898【互动探究】本例题(1)中,集合A不变,试确定集合B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A}中元素的个数.【解析】当x=0时,y=0,当x=1时,y=0,1,当x=2时,y=0,1,2.因此集合B中有6个元素.【规律方法】与集合中的元素有关问题的求解策略(1)确定集合的元素是什么,即集合是数集还是点集.(2)看这些元素满足什么限制条件.(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数,但要注意检验集合是否满足元素的互异性.【变式训练】已知集合A={a+2,(a+1)2,a2+3a+3},若1∈A,则实数a的取值集合为.【解析】若a+2=1,则a=-1,此时,a2+3a+3=1,不合题意.若(a+1)2=1,则a=0或a=-2,经验证a=0符合题意,a=-2不合题意.若a2+3a+3=1,则a=-2或a=-1,均不合题意,综上知,实数a的取值集合为{0}.答案:{0}【加固训练】1.已知集合A={x|x2-2x+a0},且1∉A,则实数a的取值范围是()A.(-∞,0]B.(-∞,1]C.[1,+∞)D.[0,+∞)【解析】选B.若1∈A,则1-2+a0,解得a1.因为1∉A,所以a≤1.故选B.2.数集{x2+x,2x}中,x的取值范围是()A.(-∞,+∞)B.(-∞,0)∪(0,+∞)C.(-∞,1)∪(1,+∞)D.(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞)【解析】选D.根据题意,由集合中元素的互异性,可得集合{x2+x,2x}中,x2+x≠2x,即x≠0,x≠1,则x的取值范围是(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞),故选D.考点2集合间的基本关系【典例2】(1)设a,b∈R,集合{1,a+b,a}={0,,b},则b-a=.(2)已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1x2m-1},若B⊆A,则实数m的取值范围是.【解题提示】(1)从a能否为0入手,根据集合相等的性质求解.(2)分B=∅与B≠∅两种情况讨论求解.ba【规范解答】(1)由题意知a≠0,则a+b=0,从而=-1,b=1,a=-1,故b-a=1-(-1)=2.答案:2ba(2)当B=∅时,满足B⊆A,此时有m+1≥2m-1,即m≤2,当B≠∅时,要使B⊆A,则有解得2m≤4.综上知m≤4.答案:(-∞,4]m12,2m17,m2,【易错警示】解答本例题(2)有两点容易出错:(1)忽视B=∅的情况导致解析不完整.(2)当B≠∅列不等式组时忽视等号成立的情况导致错解.【规律方法】1.根据集合的关系求参数的关键点及注意点(1)根据两集合的关系求参数,其关键是将两集合的关系转化为元素间的关系,进而转化为参数满足的关系,解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图帮助分析,而且常要对参数进行讨论.(2)注意点:注意区间端点的取舍.2.解决集合相等问题的一般思路若两个集合相等,首先分析某一集合的已知元素在另一个集合中与哪一个元素相等,有几种情况,然后列方程(组)求解.提醒:解决两个集合的包含关系时,要注意空集的情况.【变式训练】(2015·临沂模拟)已知集合A={x|ax=1},B={x|x2-1=0},若A⊆B,则a的取值构成的集合是()A.{-1}B.{1}C.{-1,1}D.{-1,0,1}【解析】选D.由题意,得B={-1,1},因为A⊆B,所以当A=∅时,a=0;当A={-1}时,a=-1;当A={1}时,a=1.又A中至多有一个元素,所以a的取值构成的集合是{-1,0,1}.【加固训练】1.已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0x5,x∈N},则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()A.1B.2C.3D.4【解析】选D.A={x|x2-3x+2=0,x∈R}={1,2},B={x|0x5,x∈N}={1,2,3,4},由A⊆C⊆B,方法一:C中含有除1,2之外的3,4两元素中的0个、1个、2个,即C的个数可以看作是集合{3,4}的子集的个数,有22=4个.方法二:C可能为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}共4个.2.设集合A={x,y,x+y},B={0,x2,xy},若A=B,则实数对(x,y)的取值集合是.【解析】由A=B,且0∈B,故集合B中的元素x2≠0,xy≠0,故x≠0,y≠0,那么集合A中只能是x+y=0,此时就是在条件x+y=0下,{x,y}={x2,xy},即或解得或答案:{(1,-1),(-1,1)}2xy0,xx,xyy,2xy0,xy,xyx.x1,y1,x1,y1.考点3集合的基本运算知·考情集合的基本运算是历年高考的热点,常与函数、方程、不等式等知识综合,主要以选择题的形式出现.明·角度命题角度1:求交集【典例3】(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知集合A={x|x2-2x-3≥0},B={x|-2≤x2},则A∩B=()A.[-2,-1]B.[-1,2)C.[-1,1]D.[1,2)【解题提示】先简化集合A,再求交集.【规范解答】选A.由已知得A={x|x≤-1或x≥3},故A∩B={x|-2≤x≤-1}.命题角度2:求并集【典例4】(2015·南阳模拟)设全集U=R,集合A={x|2x-x20},B={y|y=ex+1},则A∪B等于()A.{x|x2}B.{x|1x2}C.{x|x1}D.{x|x0}【解题提示】先求出集合A,B,再求并集.【规范解答】选D.由2x-x20得0x2,故A={x|0x2},由y=ex+1得y1,故B={y|y1},所以A∪B={x|x0},故选D.命题角度3:交、并、补的混合运算【典例5】(2014·江西高考)设全集为R,集合A={x|x2-90},B={x|-1x≤5},则A∩(∁RB)=()A.(-3,0)B.(-3,-1)C.(-3,-1]D.(-3,3)【解题提示】先求集合A及∁RB,再求A∩(∁RB).【规范解答】选C.A=(-3,3),∁RB=(-∞,-1]∪(5,+∞),所以A∩(∁RB)=(-3,-1].悟·技法集合基本运算的求解策略(1)求解思路:一般是先化简集合,再由交、并、补的定义求解.(2)求解原则:一般是先算括号里面的,然后再按运算顺序求解.(3)求解思想:注重数形结合思想的运用,利用好数轴、Venn图等.通·一类1.(2014·四川高考)已知集合A={x|x2-x-2≤0},集合B为整数集,则A∩B=()A.{-1,0,1,2}B.{-2,-1,0,1}C.{0,1}D.{-1,0}【解析】选A.由于集合A={x|x2-x-2≤0}={x|-1≤x≤2}
本文标题:2016高三数学一轮复习专题―― 集合与常用逻辑用语
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