高中数学选修2-1第章《圆锥曲线与方程》2.3.2.1抛物线的几何性质

问题1：抛物线的定义是？平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的焦点;定直线l叫做抛物线准线.一、温故知新yox)0,2(pFPl准线方程焦点坐标标准方程图形xFOylxFOylxFOylxFOyly2=-2px(p0)x2=2py(p0)y2=2px(p0))0,2p(2px)0,2p(2px)2p0(，2pyx2=-2py(p0))2p0(，2py问题2：抛物线的标准方程有哪几种形式？范围1、yox)0,2(pF由抛物线y2=2px（p0）220pxy有0p0x所以抛物线的范围为0x二、探索新知:抛物线的几何性质抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，︱y︱也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。对称性2、yox)0,2(pF(,)xy关于x轴对称(,)xy即点(x,-y)也在抛物线上,故抛物线y2=2px(p0)关于x轴对称.则(-y)2=2px若点(x,y)在抛物线上,即满足y2=2px，顶点3、yox)0,2(pF定义：抛物线与它的对轴的交点叫做抛物线的顶点。y2=2px(p0)中，令y=0,则x=0.即：抛物线y2=2px(p0)的顶点（0，0）.注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同。离心率4、yox)0,2(pFP(x,y)抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做抛物线的离心率。由定义知，抛物线y2=2px(p0)的离心率为e=1.下面请大家得出其余三种标准方程抛物线的几何性质。图形标准方程焦点坐标准线方程范围对称轴顶点坐标离心率yxoyxoyxoyxo（0，0）x轴e=1（0，0）（0，0）（0，0）x轴y轴y轴e=1e=1e=1x≥0x≤0y≥0y≤0归纳：抛物线的几何性质特点：1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;4.抛物线的离心率是确定的,为1;思考：抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.yox)0,2(pFP(x,y)4321-1-2-3-4-5-2246810y2=xy2=xy2=2xy2=4x21P越大,开口越开阔补充（1）通径：通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。|PF|=x0+p/2xOyFP通径的长度：2PP越大,开口越开阔（2）焦半径：连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。焦半径公式：),(00yx（标准方程中2p的几何意义）利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图。因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（２，），22解:所以设方程为：)0(22ppxy又因为点M在抛物线上：所以：2(22)22p2p因此所求抛物线标准方程为：24yx三、典例精析坐标轴当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为y2=2mx(m≠0)(x2=2my(m≠0)),可避免讨论.22例１：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（２，），求它的标准方程.02-5,y6例已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上一点到焦点的距离是，求抛物线的方程.222,-,0,225+=62=24pxpppx解：依题意可设抛物线的方程为y焦点F准线方程为x=则所以p所以抛物线的方程为y例3探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分（如图），光源位于抛物线的焦点处．已知灯口圆的直径为60cm，灯深40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置．解：如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点（抛物线的顶点）与原点重合，x轴垂直于灯口直径。845445245设抛物线的标准方程为y2=2px(p0).由已知可得点A的坐标为（40，30）,代入方程得302=2p×40，解得p=所以所求抛物线的标准方程为y2=x，焦点坐标为（，0）1已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那么抛物线通径长是.162已知点A（-2，3）与抛物线的焦点的距离是5，则p=————22(0)ypxp43.抛物线的弦AB垂直x轴，若|AB|=，则焦点到AB的距离————4324yx2四、课堂练习1、知识小结：抛物线的性质和椭圆与双曲线比较起来，差别较大:它的离心率等于1；它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线；没有对称中心；没有渐近线。抛物线的通径为2P,2p越大，抛物线的张口越大.2、方法小结：利用类比的方法学习了抛物线的几何性质；注意数形结合的应用。五、归纳总结六、作业布置书67页第6题，第8题练习册36-38页