高中数学选修2-3 第二章 随机变量及其分布列 2.1.2 离散型随机变量的分布列..

2．1.2离散型随机变量的分布列1．理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念．认识分布列对于刻画随机现象的重要性．2．掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质．3．通过实例(如彩票抽奖)，理解两点分布和超几何分布及其导出过程，并能进行简单应用．1．离散型随机变量的分布列(1)定义：若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下：Xx1x2…xi…xnP……p1p2pIpn此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的．分布列思考1如何求离散型随机变量在某一范围内的概率．离散型随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．2．两个特殊分布(1)两点分布若随机变量X的分布列具有上表的形式，就称X服从两点分布，并称p＝为成功概率．X01PP(X＝1)1－pp思考2分布列中，随机变量X是服从两点分布的吗？不是．因为X的取值不是0或1.X25P0.30.7(2)超几何分布在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝CkMCn－kN－MCnN，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．X01…mPC0MCn－0N－MCnNC1MCn－1N－MCnN…CmMCn－mN－MCnN思考3从含有5件次品的10件产品中，任取6件，其中恰有X件次品，则事件{X＝0}发生的概率是多少？因为有5件次品，5件正品，所以任取6件产品至少有一件次品，事件{X＝0}是不可能事件，P(X＝0)＝0.1.离散型随机变量的分布列完全描述了由这个随机变量所刻画的随机现象．和产函数的表示法一样，离散型随机变量的分布列也可以用表格、等式P(X＝xi)＝pi和图象表示．2．随机变量的分布列不仅能清楚地反映随机变量的所有可能取值，而且能清楚地看到取每一个值的概率的大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况．3．由于随机变量的各个可能取值之间彼此互斥，因此，随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.1.适用范围(1)研究只有两个结果的随机试验的概率分布规律．(2)研究某一随机事件是否发生的概率分布规律．2．说明(1)两点分布又称0－1分布或伯努利分布．(2)两点分布反映随机试验的结果只有两种可能且其概率之和为1.1.超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆．2．超几何分布中，求概率时需要求组合数，同学们要熟练掌握组合数的性质及计算方法，以便简化计算．3．超几何分布中，各对应项的概率和为1.设随机变量X的分布列PX＝k5＝ka(k＝1,2,3,4,5)．(1)求常数a的值；(2)求PX≥35；(3)求P110＜X＜710.【分析】先求出X的分布列，再根据分布列的性质确定a.【解】由题意所给分布列为：X1525354555Pa2a3a4a5a(1)由分布列的性质得a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，解得a＝115.(2)PX≥35＝PX＝35＋PX＝45＋PX＝55＝315＋415＋515＝45，或PX≥35＝1－PX≤25＝1－115＋215＝45.(3)∵110＜X＜710，∴X＝15，25，35.∴P110＜X＜710＝PX＝15＋PX＝25＋PX＝35＝115＋215＋315＝25.1．离散型随机变量的特征是能一一列出，且每一个值各代表一个试验结果，所以研究随机变量时，关键是随机变量能取哪些值．2．在求概率pi时，要充分运用分布列的性质，一是可减少运算量，二是可验证所求的分布列是否正确．3．一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．若离散型随机变量X的分布列为：试求出常数c并写出分布列．X01P9c2－c3－8c解：由离散型随机变量分布列的性质可知：9c2－c＋3－8c＝1，0≤9c2－c≤1，0≤3－8c≤1，解得c＝13，即X的分布列为：X01P2313袋中有5个白球，6个红球，从中摸出两球，记X＝0，两球全红，1，两球非全红，求随机变量X的分布列．【分析】X只有两个可能取值，属于两点分布，应用概率知识求出X＝0的概率，然后根据两点分布的特点求出X＝1的概率．最后列成表格的形式即可．【解】由题可知，X服从两点分布，P(X＝0)＝C26C211＝311，所以P(X＝1)＝1－311＝811.所以随机变量X的分布列为：X01P311811在两点分布中，只有两个对立的结果，知道一个结果的概率便可以求出另一个结果的概率．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)＝________.解析：根据两点分布的概念及分布列的性质可得P(X＝1)＋P(X＝0)＝2P(X＝0)＋P(X＝0)＝3P(X＝0)＝1，所以P(X＝0)＝13.答案：13从5名男生和3名女生中任选3人参加奥运会火炬接力活动，若随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，求ξ的分布列及P(ξ＜2)．【分析】可以将8人看做8件“产品”，3名女生看做3件“次品”，任选3人中女生的人数可看做是任取3件“产品”中所含的“次品”数．【解】由题意分析可知，随机变量ξ服从超几何分布．其中N＝8，M＝3，n＝3，所以P(ξ＝0)＝C35C03C38＝528，P(ξ＝1)＝C25C13C38＝1528，P(ξ＝2)＝C15C23C38＝1556，P(ξ＝3)＝C05C33C38＝156.从而随机变量ξ的分布列为ξ0123P52815281556156所以P(ξ＜2)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝528＋1528＝57.解此类问题，先分析随机变量是否满足超几何分布，若满足超几何分布，则建立超几何分布列的组合关系式，求出随机变量取相应值的概率；否则直接利用概率公式和计数原理求随机变量取相应值的概率．在解题中不应拘泥于某一特定的类型．袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球．现采取不放回抽样方法，从中依次摸出两个球，记ξ为摸出的两球中白球的个数，求ξ的分布列，并求至少有一个白球的概率．解：由题可知，ξ服从超几何分布，其中N＝5，M＝2，n＝2.则有P(ξ＝0)＝C02C23C25＝310，P(ξ＝1)＝C12C13C25＝35，P(ξ＝2)＝C22C03C25＝110.所以ξ的分布列为：ξ012P31035110至少有一个白球的概率为P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝1－310＝710.袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求：(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；(2)随机变量X的概率分布列；(3)计算介于20分到40分之间的概率．【分析】解答本题(1)利用古典概型公式求解即可；解答本题(2)的关键在于确定X的所有可能取值；解答本题(3)由题意知计算介于20分到40分之间的概率等于X＝3与X＝4的概率之和，由(2)易得其概率．【解】(1)解法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，则P(A)＝C35C12C12C12C310＝23.解法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为B，则事件A和事件B是对立事件，因为P(B)＝C15C22C18C310＝13，所以P(A)＝1－P(B)＝1－13＝23.(2)由题意，X所有可能的取值为2,3,4,5.P(X＝2)＝C22C12＋C12C22C310＝130；P(X＝3)＝C24C12＋C14C22C310＝215；P(X＝4)＝C26C12＋C16C22C310＝310；P(X＝5)＝C28C12＋C18C22C310＝815.所以随机变量X的概率分布列为：X2345P130215310815(3)“一次取球得分介于20分到40分之间”的事件记为C，则P(C)＝P(X＝3或X＝4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝215＋310＝1330.1．求离散型随机变量分布列的步骤2．在求解过程中注重知识间的融合，如在本例中用到了排列组合，古典概型及互斥事件、对立事件的概率等知识．从装有6个白球、4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出2个球，规定每取出1个黑球赢2元，每取出1个白球输1元，取出黄球无输赢，以X表示赢得的钱数，则随机变量X的可能取值是什么？并求X的分布列．解：从箱中取2个球的情形有以下6种：{2白}，{1白1黄}，{1白1黑}，{2黄}，{1黑1黄}，{2黑}，当取到2白时，X＝－2；当取到1白1黄时，X＝－1；当取到1白1黑时，X＝1；当取到2黄时，X＝0；当取到1黑1黄时，X＝2；当取到2黑时，X＝4，则X的可能取值为－2，－1,0,1,2,4.因为P(X＝－2)＝C26C212＝522，P(X＝－1)＝C16C12C212＝211，P(X＝0)＝C22C212＝166，P(X＝1)＝C16C14C212＝411，P(X＝2)＝C14C12C212＝433，P(X＝4)＝C24C212＝111.所以X的分布列为X－2－10124P5222111664114331111.随机变量X的分布列如下，则m等于()X1234P14m1316A.13B.12C.16D.14答案：D2．下列4个表格中，可以作为离散型随机变量分布列的一个是()A.X012P0.30.40.5B.X012P0.3－0.10.8C.X1234P0.20.50.30D.X012P172737解析：利用离散型随机变量的分布列的性质检验即可．答案：C3．在掷一枚图钉的随机试验中，令X＝1，针尖向上，0，针尖向下，如果针尖向上的概率为0.8，试写出随机变量X的分布列为________．X01P0.20.8答案：4．(2012·浙江温州模拟)从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有x个红球，则随机变量X的分布列为________．解析：当有0个红球时C22C25＝0.1；当有1个红球时C13C12C25＝0.6；当有2个红球时C23C25＝0.3.答案：X012P0.10.60.35．将一颗骰子投掷两次．设两次掷出点数的最大值为X，求X的分布列．解：由题意知X可能取的值为1,2,3,4,5,6，则P(X＝1)＝1C16C16＝136，P(X＝2)＝3C16C16＝112，P(X＝3)＝5C16C16＝536，P(X＝4)＝7C16C16＝736，P(X＝5)＝9C16C16＝14，P(X＝6)＝11C16C16＝1136.所以抛掷两次最大点数的分布列为：X123456P136112536736141136