等差数列第一课时习题(有答案)-数学高一必修5第二章数列2.2人教A版

人教A版数学习题必修5第二章2.4第一课时第1页共7页第二章数列2.4等差数列测试题知识点一：等差数列的定义与通项公式1．数列{an}的通项公式an＝2n＋5，则此数列是()A．公差为2的等差数列B．公差为5的等差数列C．首项为5的等差数列D．公差为n的等差数列2．已知等差数列{an}的首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an＝()A．4－2nB．2n－4C．6－2nD．2n－63．已知数列{an}，c为常数，以下说法中正确的是()A．{an}是等差数列时，{can}不一定是等差数列B．{an}不是等差数列时，{can}一定不是等差数列C．{can}是等差数列时，{an}一定是等差数列D．{can}不是等差数列时，{an}一定不是等差数列4．已知等差数列{an}中，a1＝2，且有a5＋a7＝2a4＋4，则a3＝()A．2B．4C．6D．85．在首项为81，公差为－7的等差数列中，值最接近零的项是()A．第11项B．第12项C．第13项D．第14项6．(2013·重庆高考)若2，a，b，c,9成等差数列，则c－a＝________.7．等差数列{an}的公差d0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8，则此数列的通项公式为________．8．若x≠y，两个数列：x，a1，a2，a3，y和x，b1，b2，b3，b4，y都是等差数列，则a2－a1b3－b2＝________.9．已知等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？10．假设某市2012年新建住房400万平方米，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增加50万平方米．那么从哪一年年底开始，该市每年新建住房的面积开始大于820万平方米？人教A版数学习题必修5第二章2.4第一课时第2页共7页11．已知函数f(x)＝3xx＋3，数列{xn}的通项由xn＝f(xn－1)(n≥2且n∈N*)确定．(1)求证：1xn是等差数列；(2)当x1＝12时，求x100.12.已知两个等差数列：①3,7,11，…，139；②2,9,16，…，142，求它们的所有公共项．知识点二:等差中项与等差数列的性质13．lg(3＋2)与lg(3－2)的等差中项是________．14．(2014·威海高二检测)已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是()A．2B．3C．6D．915．等差数列{an}中，前3项依次是1x＋1，56x，1x，则a101＝()A．5013B．1323C．24D．82316．已知数列{an}为等差数列，公差d≠0，若a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝0，则()A．a5＝6B．a6＝0C．a7＝0D．a9＝017．若{an}是等差数列，且a1＋a4＋a7＝45，a2＋a5＋a8＝39，则a3＋a6＋a9＝()A．39B．20C．19.5D．3318．(2014·青岛高二检测)在a和b之间插入n个数构成一个等差数列，则其公差为()A.b－anB.a－bn＋1C.b－an＋1D.b－an－119．设数列{an}、{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37等于()A．0B．37C．100D．－3720．等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程：x2＋(a4＋a6)x＋10＝0()人教A版数学习题必修5第二章2.4第一课时第3页共7页A．无实根B．有两个相等实根C．有两个不等实根D．不能确定有无实根21．等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝________.22．已知{an}为等差数列，a5＋a7＝4，a6＋a8＝－2，则该数列的正数项共有________项．【参考答案】1【解析】由{an}的通项公式an＝2n＋5得，首项a1＝7，公差d＝2.【答案】A2【解析】an＝a1＋(n－1)d＝4＋(n－1)×(－2)＝－2n＋6.【答案】C3.【解析】{an}是等差数列，公差为d时，{can}的公差为dc，也一定是等差数列，故A不对；{an}不是等差数列时，若c＝0，则{can}是等差数列，故B不正确；{can}是等差数列，c＝0时，{an}不一定是等差数列，故C不正确；从而选D.【答案】D4【解析】由a5＋a7＝2a4＋4得2a1＋10d＝2a1＋6d＋4，∴d＝1，由a1＝2得an＝2＋(n－1)×1＝n＋1，∴a3＝4.【答案】B5【解析】由an＝a1＋(n－1)d得an＝－7n＋88，令an≥0，解得n≤887＝1247.而a12＝4，a13＝－3，故a13的值最接近零．【答案】C6【解析】由题意得该等差数列的公差d＝9－25－1＝74，所以c－a＝2d＝72.【答案】72人教A版数学习题必修5第二章2.4第一课时第4页共7页7【解析】由a2·a4＝12，a2＋a4＝8，得a2＝2，a4＝6，或a2＝6，a4＝2，∵d0，∴a2＝6，a4＝2，∴d＝－2，∴an＝10－2n.【答案】an＝10－2n8.【解析】设两个数列的公差分别为d1，d2，则a2－a1＝d1＝y－x4，b3－b2＝d2＝y－x5，故a2－a1b3－b2＝54.【答案】549.【解】设首项为a1，公差为d，因为a15＝33，a61＝217，则a1＋14d＝33，a1＋60d＝217，解得a1＝－23，d＝4，所以an＝－23＋4(n－1)＝4n－27，令an＝4n－27＝153，得n＝45，故153是此数列的第45项．10【解】设从2011年年底开始，n年后该市每年新建的住房面积为an万平方米．由题意，得{an}是等差数列，首项a1＝400，公差d＝50.则an＝a1＋(n－1)d＝350＋50n.令350＋50n820，解得n475.由于n∈N*，则n≥10.即从2021年年底开始，该市每年新建住房的面积大于820万平方米．11【解】(1)证明：xn＝f(xn－1)＝3xn－1xn－1＋3(n≥2且n∈N*)，∴1xn＝xn－1＋33xn－1＝13＋1xn－1，即1xn－1xn－1＝13(n≥2且n∈N*)．∴1xn是等差数列．(2)1xn＝1x1＋(n－1)×13＝2＋n－13＝n＋53，人教A版数学习题必修5第二章2.4第一课时第5页共7页∴1x100＝100＋53＝35，∴x100＝135.两个等差数列5,8,11，…和3,7,11，…都有100项，则它们有多少个共同的项？法一设两个数列分别为{an}与{bk}．则a1＝5，d1＝8－5＝3，通项公式an＝5＋(n－1)·3＝3n＋2；b1＝3，d2＝7－3＝4，通项公式bk＝3＋(k－1)·4＝4k－1.设数列{an}的第n项与{bk}的第k项相同，则an＝bk，即3n＋2＝4k－1，∴n＝43k－1.而n∈N*，k∈N*，∴k必须为3的倍数．设k＝3r(r∈N*)，得n＝4r－1，由条件知1≤3r≤100，1≤4r－1≤100，解得12≤r≤1014.又∵r∈N*，∴1≤r≤25，∴共有25个共同的项．法二由法一知两数列的通项公式分别为an＝3n＋2，bk＝4k－1.设共同项构成新数列{cn}，则c1＝11.由于数列{an}，{bk}为等差数列，∴数列{cn}仍为等差数列，且公差为{an}，{bk}公差的最小公倍数，即d＝12.∴cn＝11＋(n－1)·12＝12n－1.又∵a100＝302，b100＝399，∴cn＝12n－1≤302，∴n≤25.25，∴知两数列有25个共同项．12【解】数列①的通项公式为an＝4n－1(n≤35，且n∈N*)．数列②的通项公式为bm＝7m－5(m≤21，且m∈N*)．依题意，令an＝bm，即4n－1＝7m－5，∴4(n＋1)＝7m.∵4与7互质，∴m是4的倍数．令m＝4k(k≤5，且k∈N*)，∴n＋1＝7k，n＝7k－1.这样当k＝1,2,3,4,5时相应的n＝6,13,20,27,34，m＝4,8,12,16,20.故两数列的公共项是23,51,79,107,135.13【解析】lg(3＋2)＋lg(3－2)＝lg(3－2)＝0，所以lg(3＋2)与lg(3－人教A版数学习题必修5第二章2.4第一课时第6页共7页2)的等差中项是0.【答案】014【解析】由题意2m＋n＝10,2n＋m＝8，两式相加得3m＋3n＝18，∴m＋n＝6，∴m＋n2＝3.【答案】B15【解析】∵2×56x＝1x＋1＋1x，∴x＝2，∴a1＝13，a2＝512，∴d＝112，∴a101＝823.【答案】D16【解析】∵{an}为等差数列，∴a5＋a9＝a6＋a8＝2a7，∴a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝5a7＝0，∴a7＝0.【答案】C17【解析】∵a1＋a4＋a7＝3a4＝45，∴a4＝15.∵a2＋a5＋a8＝39，∴3a5＝39，∴a5＝13.∴d＝a5－a4＝－2，∴a6＝a5＋d＝11，a3＋a6＋a9＝3a6＝3×11＝33.【答案】D18【解析】∵a1＝a，an＋2＝b，∴b＝a＋(n＋1)d，∴d＝b－an＋1.【答案】C19【解析】∵{an}与{bn}为等差数列，∴{an＋bn}为等差数列．又a1＋b1＝100，a2＋b2＝100，∴{an＋bn}的首项为a1＋b1，公差为100－100＝0，∴a37＋b37＝(a1＋b1)＋(37－1)d＝100.【答案】C20【解析】由于a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，即3a5＝9，∴a5＝3，方程为x2＋6x＋10＝0，无实数解．人教A版数学习题必修5第二章2.4第一课时第7页共7页【答案】A21【解析】∵a5＝a2＋3d，∴3d＝6，∴a6＝a3＋3d＝7＋6＝13，或∵a3＋a5＝a2＋a6，∴7＋a2＋6＝a2＋a6，∴a6＝13.【答案】1322【解析】∵a5＋a7＝2a6＝4，a6＋a8＝2a7＝－2，∴a6＝2，a7＝－1，∴d＝a7－a6＝－3，∴an＝a6＋(n－6)d＝2＋(n－6)×(－3)＝－3n＋20.令an≥0，解得n≤203，即n＝1,2,3，…，6，该数列的正整数项共有6项．【答案】6