基于PID控制方法的动态投资组合模型

基于PID控制方法的动态投资组合模型屠新曙谢晓闻华南师范大学经济管理学院投资组合理论是Markowitz于1952年首次提出的，他以均值和标准差分别度量投资组合的期望收益和风险，并建立了均值--方差证券投资组合模型。目前，有关投资组合的研究成果很多，但大多数成果都是静态的或多阶段的，而且只有在已知个股下一期的收益时才能发挥作用，从而在一定程度上无法满足投资者对资产进行保值增值的需要。1、引言虽然，Li和Ng利用嵌入的方法把多阶段均值-方差投资组合选择问题变成一个能用动态规划处理的问题，并得到了有效策略及有效前沿的解析表达式。Zhou和Li利用嵌入方法和不定二次最优控制的理论解决了连续时间均值-方差问题。王秀国、邱菀华在均值方差框架下，研究了下方风险控制下的动态投资组合问题，并建立了一个动态投资组合决策模型。史宇峰、张世英基于时变相关系数并结合GARCH模型，在协同持续框架下建立了一个动态投资组合模型。EthemÇanakoğlu和SüleymanÖzekici在随机市场中用指数效用函数研究了投资组合选择问题，并建立了相关模型。但这些成果都是建立在随机过程模型基础之上，而现实并不完全符合随机过程假设，因而与现实依然存在一定的差距。为力求给投资者提供一定的现实指导，本文建立了一个动态投资组合模型，该模型首先预测出个股在下一期的收益率，然后在该收益率下，通过PID控制器动态调整投资组合中的个股权重，从而达到投资组合下一期的实际收益率与人们的预期收益相等的目标。2、PID控制方法PID控制器由比例单元、积分单元、微分单元三部分组成，它结构简单、稳定性好、适应性强、鲁棒性突出、调整方便，且对模型依赖少。当我们不完全了解一个系统和被控对象，或者不能通过有效的测量手段来获得系统参数时，其他控制理论就难以采用，这时应用PID控制理论就显得最为有效。PID控制器根据系统的偏差，利用偏差的比例、积分、微分三个环节的线性组合计算出控制输出u(t)。PID控制系统的原理框图如图2-1所示：图2-1PID控制系统原理框图在图2-1中，R(t)为给定值，r(t)为实际值，u(t)为PID控制器输出值，e(t)为控制偏差，其数学表达式如式（1）所示：(1)将式(1)中的控制偏差e(t)与比例环节P，积分环节I和微分环节D通过线性组合构成PID控制器，从而对被控对象进行控制，其控制规律为:（2）在式（2）中，Kp、Ti、Td分别是比例环节、积分环节和微分环节。将式（2）两边同时进行拉氏变换，则PID控制器的传递函数为：（3）在式（3）中，G(s)为PID控制器的传递函数；U(s)是PID控制器输出的拉氏变换；E(s)是控制偏差e(t)的拉氏变换。3、动态投资组合模型本文提出的动态投资组合模型主要为投资者构建一个合适的投资组合，并使其下一期的实际收益大于或等于人们的预期收益。基本思路：初始期，按照Markowitz均值-方差理论配置个股，由于收益具有波动性，按初始权重配置的投资组合在下一期的收益可能不再大于或等于人们的预期收益。针对这种情况，该模型首先对个股下一期的收益率进行预测。若在该收益率下按照初始权重配置的投资组合收益大于或等于人们的预期收益，则控制系统不工作。若其收益小于人们的预期收益，即两者之间存在一个差值e(t)，这时差值e(t)通过PID控制器产生一个控制输出u(t)，控制输出u(t)通过动态调整个股在投资组合中的权重，从而使下一期投资组合实际收益等于人们的预期收益。只要某一期中的实际收益小于人们的预期收益，就可利用该模型先求出被控对象的传递函数，然后控制系统就会产生一个新的控制变量u(t)，新的控制变量u(t)就会重新调整个股在投资组合中所占权重，直到满足人们的需求为止。当然，在证券投资过程中，风险和收益是并存的，要获得一定的收益必须承担一定的风险。在该模型中，投资组合的风险其实就是投资组合的实际收益小于预期收益的风险，即下半风险。换句话说，投资组合的实际收益小于预期收益就是投资者不得不面对的风险。由于本文提出的动态投资组合模型能够保证每一期的投资组合实际收益大于或等于投资组合的预期收益，因而，从一定程度上说，本投资组合的目标就是将其控制为零，即一旦出现风险，该投资组合能通过PID控制器动态调整投资组合中的个股权重，以使投资组合的实际收益等于预期收益。动态投资组合模型原理框图如图3-1所示：图3-1动态投资组合模型原理框图如图3-1所示，Rpt为第t期人们的预期收益率，rpt表示第t期投资组合的实际收益率，e(t)等于第t期预期收益率和实际收益率的差值，即：（4）在式（4）中，rpt等于第t期个股实际收益率乘以个股所占投资组合权重之和。在该模型中，本文用个股第t期的预期收益率Rit作为其第t期的实际收益率，之所以这样做，是因为必须在第t期实际收益发生之前调整投资组合个股权重，这样才能保证第t期投资组合的实际收益与人们的预期收益相等。否则，调整投资组合就失去了原来的意义，或者说，事后调整投资组合对于实现投资者的投资目标是没有任何作用的。同时本文利用指数平滑模型预测出个股在第t期的预期收益率Rit。指数平滑模型既不需要存储很多历史数据，又考虑了各期数据的重要性，且使用了全部历史资料，因而能较准确地预测出下一期的实际收益率，模型如式（5）和（6）所示：（5）在式（5）中，α表示加权系数，介于0与1之间。（6）偏差e(t)经过PID控制器之后，产生一个控制输出u(t)，其大小如式（7）所示：（7）控制输出u(t)被用来动态调整个股在投资组合中所占权重，从而使投资组合的实际收益率与人们的预期收益率相等，其控制原理如式（8）所示：（8）在式（8）中，xit表示第i支股票在第t期所占投资组合权重，且它们之和等于1，具体如式（9）所示：（9）wit表示第i支股票在第t期所占投资组合权重，kit为调整系数，其大小为：（10）在式（10）中，n表示投资组合中股票的数量。当个股下一期的预期收益Rit和调整后的个股权重xit被确定后，投资组合的实际收益则如式（11）所示：（11）综上所述，动态投资组合模型下：4、动态投资组合模型仿真分析本文样本数据来自于CCER中国经济金融数据库。为保证该模型的准确性，本文选取2004年1月到2009年10月的个股月收益率作为样本数据，所选股票样本分别是中石化、武钢股份和中核科技，它们分别来自不同的行业，因而在一定程度上能够规避非系统风险，其初期月收益率分别为2.61%、4.82%和4.93%。投资组合中人们的预期收益率Rpt选取4.20%，按该预期月收益率计算的复利年收益率为63.84%。文中PID参数的整定方法采用Ziegler-Nichols经验整定方法，该方法由Ziegler（齐格勒）和Nichols（尼科尔斯）于1942年提出，且适用对象为带纯延迟的一阶惯性环节，而文中的被控对象的传递函数是一个具体数值，所以本文在被控对象的传递函数后添加了一个惯性环节和延迟环节，惯性环节和延迟环节的引入对本系统的控制效果没有任何影响。同时，由于本系统为过程控制系统，不同投资者可以根据实际情况和具体需要选择不同惯性环节和延迟环节对系统进行调节。本文选用的惯性环节和延迟环节分别如（12）式和（13）式所示：（12）（13）动态投资组合模型实证检验具体步骤如下：Step1：利用MATLAB软件求出投资组合的协方差矩阵，然后根据均值-方差投资组合模型求出该投资组合在月预期收益率为4.20%时的最小方差集合，最后求得中石化、武钢股份和中核科技等三支股票比例大小分别为31.49%、22.37%和46.14%，即按该比例配置的投资组合风险是最小的。Step2：利用指数平滑模型分别求出中石化、武钢股份和中核科技等三支股票在下一期的预期月收益率，并作为调整时第t期的实际收益率，其大小分别为2.71%、3.49%和3.99%。在这个过程中，对于不同的个股，其加权系数ɑ是不同的，具体大小由投资者根据收益率序列的具体性质决定。在本例中，中石化的加权系数ɑ1是0.35，武钢股份的加权系数ɑ2是0.72，中核科技的加权系数ɑ3等于0.63。Step3：计算出投资组合在原投资比例和新月收益率下的总收益，其大小为3.47%。与人们的预期收益比较可知，该收益明显少于预期收益，且波动幅度超过17.38%，则需要调整个股在投资组合中的权重，以使实际收益等于人们的预期收益。当然，在此过程中，若该收益大于或等于投资组合的预期收益，则不需要调整投资组合的个股权重。Step4：根据动态投资组合模型求出被控对象的传递函数，并求得该系统的整体传递函数。Step5：在MATLAB软件中，利用SIMULINK工具箱搭建控制系统的Simulink框图。动态投资组合模型整定前其Simulink框图如图4-1所示：图4-1PID参数整定前控制系统Simulink框图在图4-1中，Display模块用来显示PID控制输出u(t)，Scope模块则用来显示控制系统的输出波形。图4-2PID参数整定后控制系统Simulink框图在图4-2中，PID控制输出u(t)大小为249.90。Step6：利用Ziegler-Nichols整定法整定出PID控制器的三个参数Kp、Ki和Kd，整定后其大小分别为245.00、188.00和79.00，Simulink框图和仿真图分别如图4-2和4-3所示：图4-3PID参数整定仿真图如图4-3所示，该系统的响应曲线过渡过程时间大约13.25s，超调量约21.12%，进入稳态后，控制比较平稳，波动较小，控制品质较好。Step7：设定投资组合的预期收益率为4.20%，亦即给系统输入一个单位阶跃信号。动态投资组合控制系统Simulink框图和仿真图分别如图4-4和4-5所示：图4-4动态投资组合控制系统Simulink框图如图4-4所示，该PID控制器输出u(t)为10.50，将其代入式（8）中可得调整后中石化、武钢股份和中核科技所占投资组合比例分别为12.61%、-92.10%和180.49%。也就是说，通过卖空武钢股份来达到投资组合4.20%的月收益率，同时通过计算可以验证，按该比例配置的投资组合实际收益率约等于人们的预期收益率，这充分说明按该系统配置的比例能够满足人们的需求。图4-5动态投资组合控制系统仿真图如图4-5所示，该系统的响应曲线过渡过程时间大约为16.61s，超调量大约为21.43%，这些指标对于没有特殊要求的过程控制系统而言，已经能够满足人们的需求。同时从图中可以看出，系统进入稳态后，非常平稳，进而说明该系统控制效果非常好。5、结论本文提出的动态投资组合模型主要以均值-方差证券投资组合模型和PID经典控制理论为基础，通过PID控制器对投资组合中个股权重的动态调整，实现了投资组合下一期的实际收益率与人们的预期收益率相等的目标。同时也体现了投资者做决策时，先确定具体的收益目标，然后根据具体目标和实际情况采取相应的投资策略的思想。该模型不但原理简单、方便实用，而且基于Matlab/Simulink环境对结果进行仿真，可视化好、框图搭建非常方便，仿真参数也容易修改，省去了编程的繁琐。但由于本系统是过程控制系统，所以调整动态投资组合模型时，对应于不同的惯性环节和延迟环节，PID控制输出u(t)就会产生不同的值满足要求，但这并不影响动态投资组合模型的效果。本文的创新之处是首次将证券投资组合理论与PID经典控制理论相结合，把PID控制器能对被控对象进行实时准确控制的思想应用在投资组合中，并为投资者构建了一个合适的投资组合，且充分实现了人们的预期目标，为投资者做出正确的投资决策提供了一个参考，因而具有较强的现实意义。特别是对于那些信息流通、拥有较多专业分析人员的机构投资者来说，它们预测个股下一期的实际收益率更加准确，因而应用该模型对其具有更重要的意义。