3.3等差数列前n项和公式

等差数列的前n项和复习数列的有关概念如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。nana叫做数列的前n项和。nannnaaaaaS1321)2()1(11nSSnSannn复习等差数列的有关概念定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数（指与n无关的数），这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。dnaan)1(1当d≠0时，这是关于n的一个一次函数。等差数列的通项公式为na如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。2baAan+1－an=d(常数)｛an｝是等差数列高斯求和的故事等差数列1,2,…50,51,…100的和Sn=1+2+…+1001+100=2+99=3+98=…=50+51=101Sn=1012100=5050等差数列的前n项和公式的推导,1a,2a,3a,na…，…，等差数列的前n项和个（（（nnnnnaaaaaaS)))2111)1naan（2)1nnaanS（Sn=a1+a2+a3+…+an-1+anSn=an+an-1+an-2+…+a2+a1等差数列的前n项和公式的其它形式2)1nnaanS（dnaan)1(1dnnnaSn2)11（dnaan)1(1dnnnaSnn2)1（等差数列的前n项和例题1例1一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支.这个V形架上共放着多少支铅笔？解：由题意可知，这个V形架上共放着120层铅笔，且自下而上各层的铅笔数组成等差数列，记为na120,120,11201naa.72602)1201(120120S2)1nnaanS（答：V形架上共放着7260支铅笔.例2求集合的元素个数，并求这些元素的和.100,,7|mNnnmmM且解：1007n72147100n所以集合M中的元素共有14个.将它们从小到大列出，得,7,72,73,74,,714即7，14，21，28，…，98这个数列是成等差数列，记为na14,98,7141naa.7352)987(1414S2)1nnaanS（答：集合M共有14个元素，它们的和等于735.等差数列的前n项和练习11.根据下列条件，求相应的等差数列的nanS;10,95,5)1(1naan;50,2,100)2(1nda2)1nnaanS（.5002)955(1010SdnnnaSn2)11（2550)2(2)150501005050（S等差数列的前n项和练习11.根据下列条件，求相应的等差数列的nanS;14,23,32)3(1naan.32,7.0,5.14)4(1nada2)1nnaanS（.6352)]2/3(3/2[1414Sdnaan)1(1,2617.05.1432n.5.6042)325.14(2626S等差数列的作业祝同学们学习愉快，人人成绩优异！作业P1221(1),(2),2,3等差数列的前n项和练习1.求自然数中前n个数的和.2)1nnaanS（.2)1(2)1(nnnnSn2.求自然数中前n个偶数的和.2)1nnaanS（).1(2)22(nnnnSn3已知一个直角三角形的三条边的长成等差数列，求证它们的比是3：4：5.证明：将成等差数列的三条边的长从小到大排列，它们可以表示为a-d,a,a+d(这里a-d0,d0)由勾股定理，得到222)()(daada解得da4从而这三边的长是3d,4d,5d,因此，这三条边的长的比是3：4：5等差数列的前n项和练习4.在等差数列中,已知a6+a9+a12+a15=34,求前20项的和.5.在等差数列{an}中:(1)若a1=1,an=-512,Sn=-1022,求公差d及项数n;(2)若Sn–a1=48,Sn–an=36,Sn–a1–a2–an-1–an=21,求这个数列的所有项.例4.已知一个等差数列的前10项的和是310,前20项的和是1220,求前n项和公式.以及前30项的和.10.已知数列{an}是等差数列,Sn是其前n项的和,求证:S6,S12-S6,S18-S12成等差数列.设k∈N*,求证:Sk,S2k-Sk,S3k-S2k成等差数列.C组:在等列前多少项和最大?数列{an}的前n项和Sn=100n-n2(n∈N*)(1)判断数列{an}是什么数列?(2)设bn=│an│,求数列{bn}的前n项和.