(导学教程)2012届高三数学二轮复习课件：专题八第一讲

第一讲函数与方程思想函数与方程都是中学数学中最为重要的内容．而函数与方程思想更是中学数学的一种基本思想，几乎渗透到中学数学的各个领域，在解题中有着广泛的应用，是历年来高考考查的重点．1．函数的思想函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题．经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等．2．方程的思想方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．方程的思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题．方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系．3．函数思想与方程思想的联系函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来解决；方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f(x)＝0，就是求函数y＝f(x)的零点，解不等式f(x)＞0(或f(x)＜0)，就是求函数y＝f(x)的正负区间，再如方程f(x)＝g(x)的解的问题可以转化为函数y＝f(x)与y＝g(x)的交点问题，也可以转化为函数y＝f(x)－g(x)与x轴的交点问题，方程f(x)＝a有解，当且仅当a属于函数f(x)的值域，函数与方程的这种相互转化关系十分重要．4．函数与方程思想解决的相关问题(1)函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：①借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；②在问题研究中通过建立函数关系式或构造中间函数；把研究的问题化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的．(2)方程思想在解题中的应用主要表现在四个方面：①解方程或解不等式；②带参变数的方程或不等式的讨论，常涉及一元二次方程的判别式、根与系数的关系、区间根、区间上恒成立等知识应用；③需要转化为方程的讨论，如曲线的位置关系等；④构造方程或不等式求解问题.若a、b是正数，且满足ab＝a＋b＋3，求ab的取值范围．运用函数与方程思想解决求值（或最值、范围）的问题【解析】解法一(看成函数的值域)∵ab＝a＋b＋3，∴a≠1，∴b＝a＋3a－1，而b0，∴a＋3a－10，即a1或a－3，又a0，∴a1，故a－10.∴ab＝a·a＋3a－1＝a－12＋5a－1＋4a－1＝(a－1)＋4a－1＋5≥9.当且仅当a－1＝4a－1，即a＝3时取等号．又a3时，(a－1)＋4a－1＋5是关于a的单调增函数．∴ab的取值范围是[9，＋∞)．解法二(看成不等式的解集)∵a，b为正数，∴a＋b≥2ab，又ab＝a＋b＋3，∴ab≥2ab＋3.即(ab)2－2ab－3≥0，解得ab≥3或ab≤－1(舍去)，∴ab≥9.函数与方程思想方法解决范围问题的技巧1．此类题型在高考题中占较大的比重，且考查的知识范围广，通常是某一个条件等式或某一个公式中含有未知量，列出函数、不等式或方程(组)，求解即可．2．在解决此类型的问题时，一般会用到代数式的变形，消元、换元、解方程、解不等式等基础知识和基本方法．3．此类问题通常可以转化为函数的值域问题，方程的解的问题或不等式的解集问题．1．已知a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，a＋bc－1＝0，求a的取值范围．解析解法一(函数思想)由已知a＋b＋c＝0a＋bc－1＝0，得b＋c－bc＋1＝0，如果c＝1，则b＋1－b＋1＝0，即2＝0，不成立，因此c≠1，所以b＝c＋1c－1，a＝1＋c1－c－c.令f(c)＝1＋c1－c－c＝－2＋(1－c)＋21－c，当1－c＞0时，f(c)≥－2＋21－c21－c＝－2＋22；当1－c＜0时，f(c)≤－2－2c－12c－1＝－2－22.所以a的范围是a≥－2＋22或a≤－2－22.解法二(方程思想)因为b＋c＝－a，bc＝1－a.所以b，c是方程x2＋ax＋1－a＝0的两根，所以Δ＝a2－4(1－a)≥0，即Δ＝a2＋4a－4≥0，解得a≥－2＋22或a≤－2－22.对于满足0≤p≤4的实数p，使x2＋px＞4x＋p－3恒成立的x的取值范围是________．构造函数解决函数、不等式、方程问题【解析】x2＋px＞4x＋p－3对于0≤p≤4恒成立可以变形为x2－4x＋3＋p(x－1)＞0对于0≤p≤4恒成立，所以一次函数f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3在区间[0,4]上的最小值大于0，即x2－4x＋3＞0x2－1＞0，所以x的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．【答案】(－∞，－1)∪(3，＋∞)首先明确本题是求x的取值范围，这里注意另一个变量p，不等式的左边恰是关于p的一次函数，因此依据一次函数的特性得到解决．在含有多个字母变量的问题中，选准“主元”往往是解题的关键．2．(2011·苏州模拟)若关于x的方程cos2x－2cosx＋m＝0有实数根，则实数m的取值范围是________．解析原方程可化为m＝－cos2x＋2cosx.令f(x)＝－cos2x＋2cosx，则f(x)＝－2cos2x＋1＋2cosx＝－2cosx－122＋32，由于－1≤cosx≤1，所以当cosx＝12时，f(x)取得最大值32，当cosx＝－1时，f(x)取得最小值－3，故函数f(x)的值域为－3，32，即m∈－3，32.答案－3，32(5分)设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知(a2－1)3＋2009(a2－1)＝1，(a2008－1)3＋2009(a2008－1)＝－1，则下列结论正确的是A．S2009＝2009，a2008＜a2B．S2009＝2009，a2008＞a2C．S2009＝2008，a2008≤a2D．S2009＝2008，a2008≥a2运用函数与方程思想解决数列问题【解题切点】依据两个条件等式的结构特点→构造函数f(x)＝x3＋2009x→依据f(x)的性质→知an与a2008的关系【答案】A【标准解答】令f(x)＝x3＋2009x，则f′(x)＝3x2＋2009＞0，故f(x)在R上单调递增，且为奇函数．由条件，知f(a2－1)＝1，f(a2008－1)＝－1，即f(1－a2008)＝1，∴a2－1＝1－a2008，从而a2＋a2008＝2.又a2008－1＜a2－1，∴a2008＜a2.且S2009＝2009a2＋a20082＝2009.故选A.(5分)由于数列是一类特殊的函数，因此数列问题常借助于函数知识来处理．根据数列的有关公式列出方程，不等式，这是常见题型，进而转化为函数问题解决．3．已知数列{an}中，an＝n－97n－98，若数列的前30项中最大项是am，最小项是an，则m＝________，n＝________.解析令f(n)＝an＝n－97n－98＝1＋98－97n－98，∴当n∈[1,9]且n∈N＋时，f(n)递减且f(n)＜1，当n∈[10,30]时，f(n)递减且f(n)＞1，∴a9最小，a10最大．∴m＝10，n＝9.答案10；9