《博弈论》期中考试试卷及参考答案

12011级经济学专业（1-2班）《博弈论》期中考试试卷（开卷）班级学号姓名成绩题号一二三四五总得分得分答题要求：1、不能用铅笔答题，违反者按缺考处理；2、开卷考试，给足够时间答题，请认真完成考试；卷面务必保持清楚整洁，每涂改一处扣10分；3、每一道题的解务必写出完整的解题过程，没有过程，只有答案不给分；4、如果发现雷同卷，一律按零分处理。一、下面的支付矩阵表示一个两人的静态博弈。问当a、b、c、d、f、g、h之间满足什么条件时，该博弈存在严格优势策略均衡（20分）参考答案：1、严格优势策略均衡是由各博弈方的严格优势策略组成的策略组合。（2分）2、对于博弈方1，如果a＞e且c＞g，则U是相对于D的严格优势策略；如果a＜e且c＜g，则D是相对于U的严格优势策略；（3分）3、对于博弈方2，如果b＞d且f＞h则L是相对于R的严格优势策略；如果b＜d且f＜h，则R是相对于L的严格优势策略。（3分）4、上述两个博弈方各自有两种严格优势策略的相对支付情况的组合，总共可能构成四种严格优势策略均衡：（12分）1）如果a＞e且c＞g，b＞d且f＞h，严格优势策略均衡是（U，L）2）如果a＞e且c＞g，b＜d且f＜h，严格优势策略均衡是（U，R）3）如果a＜e且c＜g，b＞d且f＞h，严格优势策略均衡是（D，L）4）如果a＜e且c＜g，b＜d且f＜h，严格优势策略均衡是（D，R）（在求解本题时，如果前面三点没有写，但这四条都能写出来，可以按每条5分计算，共20分）二、一个工人给一个老板干活，工资标准是100元。工人可以选择是否偷懒，老板则选择是否克扣工资。假设工人不偷懒有相当于50元的负效用，老板想克扣工资总有借口扣掉60元工资，工人不偷懒老板有150元产出，而工人偷懒时老板只有80元产出，但老板在支付工资之前无法知道实际产出，这些情况是双方都知道的。请问：（1）如果老板完全能够看出工人是否偷懒，博弈属于哪种类型？请用支付矩阵或博弈树表示该博弈（要求按教材给出的格式来表示，并求出博弈的所有Nash均衡及博弈的结果（2）如果老板无法看出工人是否偷懒，博弈属于哪种类型？请用支付矩阵或博弈树表示该博弈（要求按教材给出的格式来表示，并求出博弈的均衡解。（共30分）参考答案g，he，fc，da，bg，he，fc，da，bLRUD博弈方2博弈方12（1）①动态博弈、完全信息的动态博弈、完全且完美信息的动态博弈（2分）②该博弈的博弈树是：（2分）③用以下两种方法可求出该博弈的所有Nash均衡（16分）方法1：该博弈共有2×（2×2）=8个策略组合；用粗线表示法表述8个策略组合；用箭头排除确定法求出该博弈的Nash均衡（偷懒，{克扣，克扣})a偷懒不偷懒bc老板老板克扣克扣（40，40）（100，-20）（-10，110）（50，50）工人不克扣不克扣（40，40）（100，-20）（-10，110）（50，50）（40，40）（100，-20）（-10，110）（50，50）（不偷懒，{克扣，不克扣})对局（不偷懒，{克扣，克扣})对局（40，40）（100，-20）（-10，110）（50，50）（40，40）（100，-20）（-10，110）（50，50）（40，40）（100，-20）（-10，110）（50，50）（40，40）（100，-20）（-10，110）（50，50）（偷懒，{克扣，克扣})对局（偷懒，{克扣，不克扣})对局（偷懒，{不克扣，不克扣})对局（偷懒，{不克扣，克扣})对局3方法2：把用博弈树表示的序贯博弈，转换成矩阵式表示的博弈（正规型表示的博弈），然后用§2介绍的划线法求Nash均衡。该博弈的Nash均衡是（偷懒，{克扣，克扣})④博弈的结果：用倒推法（剪枝法）求得该博弈的结果是（偷懒，克扣）（4分）（2）①静态博弈、完全信息静态博弈（2分）②该博弈的支付矩阵是：（2分）③用划线法可求出该博弈的Nash均衡是（偷懒，克扣）（2分）（本题也可以用反应函数法来做）解：设工人、老板选择纯策略的概率如上图所示1）求期望支付函数50，50-10，110100，-2040，4050，50-10，110100，-2040，40克扣不克扣偷懒P不偷懒1-P老板工人q1-q老板工人{克扣，克扣}偷懒不偷懒{不克扣，克扣}{不克扣，不克扣}{克扣，不克扣}-10，110100，-2050，5050，50-10，110100，-2040，4040，40-10，110100，-2050，5050，50-10，110100，-2040，4040，40a偷懒不偷懒bc老板老板克扣克扣（40，40）（100，-20）（-10，110）（50，50）工人不克扣不克扣∥∥∥50，50-10，110100，-2040，4050，50-10，110100，-2040，40克扣不克扣偷懒不偷懒老板工人（40，40）（100，-20）（-10，110）（50，50）（40，40）（100，-20）（-10，110）（50，50）（不偷懒，{不克扣，克扣})对局（不偷懒，{不克扣，不克扣})对局4U工人=40pq＋100p（1－q）－10（1－p）q＋50（1－p）（1－q）=40pq＋100p－100pq－10q＋10pq＋50－50p－50q＋50pq=50p－60q＋50U老板=40pq－20p（1－q）＋110（1－p）q＋50（1－p）（1－q）=40pq－20p＋20pq＋110q－110pq＋50－50p－50q＋50pq=60q－70p＋502）根据期望支付函数写出反应函数p=1q=[0,1]q=1p=[0,1]3）作图4）图中交点（1,1）即该博弈的混合Nash均衡→（偷懒，克扣）三、在一条狭窄的巷子里，两个年轻人骑着自行车相向而行。每人都有两个策略，即或者选择“冲过去”或者选择“避让”。如果选择“避让”，不管对方采取什么策略，他得到的收益都是0。如果其中一人采取“冲过去”的策略，如果对方采取“避让”，那么他得到的支付是9；如果对方不避让，那么他得到的支付是－36。请用反应函数法求出该博弈的全部纳什均衡。（10分）参考答案1、由所给条件可求得支付矩阵（如下图）；用划线法可求得这个博弈有两个纯策略Nash均衡（避让，冲过去）、（冲过去，避让）（2分）2、根据支付矩阵求期望支付函数；设甲、乙选择纯策略的概率如下图所示（2分）u甲=9（1－p）q－36（1－p）（1－q）=9q－9pq－36＋36p＋36q－36pq=－45pq＋36p＋45q－36-36，-369，00，90，0-36，-369，00，90，0避让冲过去避让冲过去乙甲-36，-369，00，90，0-36，-369，00，90，0避让冲过去避让P冲过去1-P乙甲q1-q0qp011（1，1）0qp011（1，1）5=－9p（5q－4）＋45q－36u乙=9p（1－q）－36（1－p）（1－q）=9p－9pq－36＋36p＋36q－36pq=－45pq＋36q＋45p－36=－9q（5p－4）＋45p－363、根据期望支付函数写出反应函数（2分）甲的反应函数p=0当q＜0.8p=[0，1]当q＝0.8p=1当q＞0.8乙的反应函数q=0当p＜0.8q=[0，1]当p＝0.8q=1当p＞0.84、根据反应函数画反应函数曲线（2分）5、反应曲线的交点（0，0）、（1,1）、（0.8，0.8）→该博弈的混合策略Nash均衡（2分）四、假定甲、乙两寡头垄断的市场需求函数是Q=12－P，生产成本为零。如果两厂商都只能要么生产垄断产量的一半，要么生产古诺产量，证明这是一个囚犯困境型的博弈。（20分）参考答案1）垄断产量和垄断利润的计算（5分）由于假定生产成本为零，所以利润π=TR－TC=TRπ=TR=PQ=（a－Q）Q=aQ－Q2令π′=0；即a－2Q=0→Q=a/2→所以q甲=a/4，q乙=a/4∵Q=12－P∴P=a－Q=a－a/2=a/2π甲=Pq甲=a/2×a/4=a2/8π乙=Pq乙=a/2×a/4=a2/82）古诺产量和利润的计算（5分）根据已知条件P=a－Q=a－q1－q2；c=0所以π甲=Pq1=（a－q1－q2）q1π乙=Pq2=（a－q1－q2）q2令π甲′=a－2q1－q2=0π乙′=a－q1－2q2=0可求得q1=a/3q2=a/3→Q=q1＋q2=2a3→P=a－Q=a3π甲=Pq1=a3×a3=a290qp010.810.80qp010.810.80qp010.810.80qp010.810.80qp010.810.80qp010.810.86π乙=Pq2=a3×a3=a293）如果一厂商生产垄断产量的一半a4，另一方生产古诺产量a3→P=a－Q=a－（a4＋a3）=5a12前者利润=5a12×a4=5a248后者利润=5a12×a3=5a236（5分）4）上述博弈用支付矩阵来表示就是：∵18=0.125，536≈0.139；19≈0.111，548≈0.104→a28＜5a236,5a248＜a29∴两厂商垄断产量的一半a4都是相对于古诺产量a3的严格劣势策略；所以该博弈唯一的Nash均衡，也是严格优势策略均衡，是（a3，a3），这个Nash均衡的双方的支付a29，显然不如双方都采用a4的支付a28，因此这个博弈是一个囚徒困境型的博弈（5分）五、考虑下述两个人玩的称为“力争上游”的卡片游戏：桌子上，面朝下放着3张卡片，分别写着1、2和3，甲先拿一张卡片，然后乙拿一张卡片，他们相互看不到对方写着的数字（但每人都清楚自己手上拿着的卡片上的数字）。现在，甲先动，他可以选择是否和乙交换卡片，如果甲选择交换，乙必须和他交换；然后乙行动，他可以选择是否和桌面上剩余的那张卡片交换。这一切做完之后，手上卡片数字小的人，输给手上卡片数字大的人1根火柴。试把这个游戏表达为序贯博弈，并求出Nash均衡和博弈的结果。（20分）参考答案：该博弈可分为6种情况（1、2各给4分，3、4、5、6各给3分）1、甲取到3，乙取到1⑴该博弈的博弈树是：⑵求该博弈的Nash均衡方法1：该博弈共有2×（2×2）=8个策略组合；用粗线表示法表述8个策略组合；用箭头排除确定法求出该博弈的Nash均衡（1，2）（1，3）（3，2）（3，1）甲乙乙换换换不换不换不换a2/9，a2/95a2/36，5a2/485a2/48，5a2/36a2/8，a2/8a2/9，a2/95a2/36，5a2/485a2/48，5a2/36a2/8，a2/8a/4a/3a/4a/3乙甲垄断产量一半为a/4；古诺产量为a/378张图中没有箭号的只有两张，所以Nash均衡是（不换，{换，换})和（不换，{不换，换})；博弈的结果是（不换，换）方法2：把用博弈树表示的序贯博弈，转换成矩阵式表示的博弈（正规型表示的博弈），然后用§2介绍的划线法求Nash均衡。该博弈的Nash均衡是（不换，{换，换})和（不换，{不换，换})（1，2）（1，3）（3，2）（3，1）（不换，{换，换})对局甲乙乙换换换不换不换不换（1，2）（1，3）（3，2）（3，1）甲乙乙换换换不换不换不换（1，2）（1，3）（3，2）（3，1）甲乙乙换换换不换不换不换（1，2）（1，3）（3，2）（3，1）甲乙乙换换换不换不换不换（不换，{换，不换})对局（不换，{不换，换})对局（不换，{不换，不换})对局乙甲{换，换}换不换{不换，换}{不换，不换}{换，不换}3，21，33，13，13，21，31，21，23，21，33，13，13，21，31，21，2（1，2）（1，3）（3，2）（3，1）（换，{换，换})对局甲乙乙换换换不换不换不换（1，2）（1，3）（3，2）（3，1）甲乙乙换换换不换不换不换（换，{换，不换})对局（1，2）（1，3）（3，2）（3，1）甲乙乙换换换不换不换不换（1，2）（1，3）（3，2）（3，1）甲乙乙换换换不换不换不换（换，{不换，换})对局（换，{不换，不换})对局8⑶该博弈的结果：用倒推法（剪枝法）可求得该博弈的结果是（