[数学]-3、连续型随机变量

三、连续型随机变量一、一维连续型随机变量xdttfxXPxF)()()(分布函数性质i)0≤F(x)≤1且F(x)是连续函数；ii)当x1≤x2时，F(x1)≤F(x2)；(单调性）ⅲ)F(-∞)=0,F(+∞)=1密度函数性质1)f(x)≥03)])([)(xFxf2)1)(dxxf连续型随机变量单点值的概率为0即P(X=a)=0因此P(a≤X≤b)=P(aXb)=P(a≤Xb)=P(aX≤b)=F(b)-F(a)一般概率计算公式GdxxfGXP)()(其中：G是由概率括号中的不等式构成的。连续型随机变量的概率的计算问题等价于以概率括号中的不等式构成的区间为底，密度函数为高的曲边梯形面积的计算。例1设随机变量X的分布函数为F(x)=A+Barctanx,-x求（1）系数A，B（2）P(-1X1)；（3）密度函数f(x)分析：主要是应用分布函数的性质。解（1）由F(-∞)=0,F(+∞)=1得1202BABA解之，得121BA（2）由（1）知F（x）=,arctan121x故得P（-1X1）=F(1)-F(-1)=21+))1arctan(121(1arctan1=21)4(141(3)f(x)=[F(x)]/=)1(12xx21)1(1)11(112dxxXP例2设随机变量X的密度函数为12121010)1(620)(xxxxxxxf或求分布函数F(x)解当x0时，00)(xdtxF当0≤x1/2时,20020)(xtdtdtxFx当1/2≤x1时,236)66(20)(22/12/100xxdtttdtdtxFx当x≥1时12/112/10010)66(20)(xdtdtttdtdtxF从而得112/1210012360)(22xxxxxxxxF可见F(x)是一个连续函数。常用的连续型分布1）均匀分布U[a,b]其它01)(bxaabxf2)指数分布e(λ)000)(xxexfx指数分布具有无记忆性，即对任意s,t0)()|(sXPtXtsXP3)正态分布N(μ,σ2)222)(21)(xexf当μ=0,σ2=1时，称标准正态分布N(0,1)。i))()(xxF或)1,0(~NXii))()()(abbXaPiii))(1)(xx标准正态分布N(0,1)的“3σ原则”67.0)()|(|XPXP95.0)22()2|(|XPXP99.0)33()3|(|XPXP可见随机变量X几乎总是落在)3,3(之间。这就是常称的“3σ原则”。例3某重点大学招收研究生800人，按考试成绩从高分至低分依次录取。设报考该大学的考生共3000人，且考试成绩服从正态分布，已知这些考生中成绩在600分以上的有200人，重点线（500分）以下的2075人,问该大学的实录线（即录取最低分）是多少？分析设学生考试成绩X~N(2,)，首先应求出及2之值，然后根据录取人数占总人数的比例，再应用正态分布概率公式算出实录最低分。解设学生成绩X~N(2,)，由题设知应有6917.030002075)500(0667.03000200)600(XPXP从而得667.0)600(1即,6917.0)500(9333.0)600(以及查表得5.05005.1600解之得100450故知，X~N(2100,450)又设该大学实录线为a，由题设知：2667.03000800)(aXP即7333.0)100450(,2667.0)100450(1aa于是可得查表得.3.512,623.0100450aa解之得即是说该大学的实录线约为512分。二、二维连续型随机变量yxdudvvufyYxXPyxF),(),(),(=以G为底f(x,y)为高的曲顶柱体的体积。其中:G={(u,v)u≤x,v≤y}1)f(x,y)≥0,1),(dydxyxf2)0≤F(x)≤1,F(-∞,y)=F(x,-∞)=0F(+∞,+∞)=13)),(),(2yxfyxyxF4)对于任意一条平面曲线L,有P((X,Y)∈L)=05)一般概率计算公式GdxdyyxfGYXP),()),((其中G是由概率括号中的不等式构成的区域。二维连续型随机变量的概率的计算问题等价于以概率括号中的不等式构成的区域G为底，联合密度函数为高的曲顶柱体体积的计算。例4设(X,Y)的联合分布函数为2),(),)((),(RyxdecbeayxFyxee求(1)常数a,b,c,d(2)分布密度f(x,y)(3)P(X≥1,Y≥1)解1)由F(+∞,+∞)=1,得ac=1,由F(-∞,y)=F(x,-∞)=0,得0))((yedecba0))((dcbeaxe由上二式可得：a=b,c=d故a=b=c=d，∵a2=1,∴a=b=c=d=12)2)(2),(),(),(RyxeyxyxFyxfyxeeyx3)P(X≥1,Y≥1)Gyxdxdyeeyx)}(exp{212])exp([edxexx其中G={(x,y):x≥1,y≥1}例5设G={(x,y):y=Sinx,0≤x≤π,y≥0},随机变量(X,Y)在G上均匀分布，求1)(X,Y)的密度函数f(x,y)2)(X,Y)的分布函数F(x,y)3)P(Y2X/π)解1)∵f(x,y)=其它的面积0),(1GyxG=其它0),(21Gyx2)如图：把平面分成五个区域，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴi)当(x,y)∈III)11arcsin(2121),(2arcsin0yyyxydudvyxFxvyii)当(x,y)∈Ⅱ2cos121),(sin00xdvudyxFuxiii)当(x,y)∈IV11arcsin2121),(2arcsinarcsin0yyyyduvdyxFvvyiv)当(x,y)∈V121),(sin00udvudyxFv)当(x,y)∈I,00),(GdxdyyxF∴V),(IV),(III),(II),(I),(111arcsin21)11arcsin(212cos10),(22yxyxyxyxyxyyyyyyyxyxyxF3)P(Y2X/π)=Ddxdyyxf),(Ddxdy84)2211(2121其中D=G∩{(x,y):y2x/π}边沿分布密度:dyyxfxfX),()(dxyxfyfY),()(条件分布密度:)(),()|(|xfyxfxyfXXY)(),()|(|yfyxfyxfYYX如果X与Y独立，则)()|(),()|(||yfxyfxfyxfYXYXYX条件概率dxyxfyYGXPGYX)|()|(|)(),()|(yYPyYGXPyYGXP独立性)()(),(yfxfyxfYX要证明X与Y的独立性只需证明上式成立，若)()(),(yfxfyxfYX，则X与Y不独立。二维正态分布的性质：设(X,Y)~N(μ1,μ2,σ12,σ22,r),则1)X~N(μ1,σ12),Y~N(μ2,σ22)2)X与Y独立的充要条件是r=03)在Y=y的条件下，X的条件分布仍为正态分布)]1(),([2212211ryrN。在X=x的条件下，Y的条件分布仍为正态分布)]1(),([2221122rxrN。4)对任意实数a,b，有aX+bY~N(aμ1+bμ2,δ2)δ2=a2σ21+b2σ22+2abrσ1σ2值得注意的是：当(X,Y)不服从二维正态分布时，aX+bY不一定服从一维正态分布。当X,Y相互独立时(r=0)，则aX+bY必服从正态分布。此性质称为正态分布的可加性。例6设随机变量（X，Y）在园域G={(x,y)|(x-1)2+(y-2)2≤9}上均匀分布。(1)X与Y是否独立？(2)求在X=x条件下Y的条件密度；(3)计算概率P(Y0|X=2)(4)计算概率P(Y0|X1)分析在判断随机变量之间的独立性以及求条件密度时要先求出联合密度及边沿密度。本题应注意的是积分上、下限以及X的取值范围。解（1）显然区域G是以（1，-2）点为圆心，半径为3的一个圆域，其面积为9π从而，（X，Y）的联合密度为其它0),(91),(Gyxyxf又易知X的值域为[-2,4],当x∈(-2,4)时，X的边沿密度9)4)(2(291),()(2)4)(2(2)4)(2(xxdydyyxfxfxxxxX又易知Y的值域为[-5,1],当y∈(-5,1)时，Y的边缘密度9)1)(5(291),()()1)(5(1)1)(5(1yxdxdxyxfyfyyyyY即其它0159)1)(5(2)(yyyyfY∵)()(),(yfxfyxfYX,∴X与Y不独立。2)当-2x4时，在X=x下Y的条件密度)(),()|(|xfyxfxyfXXY其它02)4)(2(2)4)(2()4)(2(21xxyxxxx3)由上式知，当X=2时，Y有条件密度其它0)12(2)12(2241)2|(|yyfXY从而所求概率为)12(200|422241)2|()2|0(dydyyfXYPXY4)BAXPXYPXYP)1()1,0()1|0(其中:101)2(91291)1,0(ydydyXYP102)2(991dyyAdtt322991BdxtdxxXP032122992)1(992)1(例7设随机变量X与Y独立，且X~Г(2,1)，Y有密度其它00)(22yyeyfyY求概率P(X≥Y2)分析:由独立性知两边缘密度之积等于联合密度，然后再计算概率。解易知X的密度函数为其它00)(xxexfxX从而（X，Y）有联合密度其它00,0)()(),(22yxxyeyfxfyxfyxYX于是dydxxyedxdyyxfYXPxyxxy020222),()(=95)2(94)2()1(|)(020022dxexedxexexxxyx例8设Xi~N(1,4),i=1,2,3,4且诸Xi互相独立，令Z=X1+2X2+3X3+4X4，求概率P(5Z15).解令Y1=X1+2X2,Y2=3X3+4X4，由正态分布的可加性，Y1~N(3,20),Y2~N(7,100),因而Z~N(10,120)∴P(5Z15)=F(15)-F(5)=Φ(3021015)-Φ(302105)=0.3544三、随机变量函数的分布1.一维随机变量函数的分布设X是一维连续型的随机变量，f(x)为其密度函数,g(x)为某一连续函数，则随机变量X的函数Y=g(X)就构成一个新的一维连续型的随机变量，它的分布函数和密度函数求法如下：(i)先确定Y的值域R(Y);(