[数学]集合 常用逻辑用语 函数与导数

第二部分命题热点大揭秘命题区间一集合常用逻辑用语函数与导数命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四命题热点五命题热点六命题热点七命题热点八命题热点九集合与常用逻辑用语是高中数学的基础知识，在高中数学的各个部分有着广泛的应用，函数与导数是高中数学的主干知识，在高考中处于特殊的地位，这部分内容涉及到的高频考点主要有，集合(集合的基本概念、基本关系和基本运算)、充要条件、全称命题与特称命题、函数的概念及其表示、函数的图像、函数的性质、二次函数与基本初等函数、函数的实际应用、导数的几何意义以及导数在研究函数问题中的应用．——李殿印[例1](2012·兰州模拟)设集合A＝{x|x＝5k＋1，k∈N}，B＝{x|0≤x≤6，x∈Q}，则A∩B＝()A．{1,4}B．{1,6}C．{4,6}D．{1,4,6}[解析]A集合中小于等于6且为有理数的元素有1,4,6，所以A∩B＝{1,4,6}．[答案]D1．已知集合A＝{x|x＝a＋(a2－1)i(a∈R，i是虚数单位)}，若A⊆R，则a＝()A．1B．－1C．±1D．0解析：因为A⊆R，所以A中的元素为实数．所以a2－1＝0.即a＝±1.答案：C2．集合A＝{－1,0,1}，B＝{y|y＝cosx，x∈A}，则A∩B＝()A．{1}B．{0}C．{0,1}D．{－1,0,1}解析：因为B＝{cos(－1)，1，cos1}，所以A∩B＝{1}．答案：A3．设集合A＝{(x，y)|x216－y24＝1}，B＝{(x，y)|y＝3x}，则A∩B的子集的个数是()A．4B．3C．2D．1解析：注意集合元素特征为点集，A∩B表示的是双曲线和指数函数的图像的交点，画出图像，知A∩B中有1个元素，所以A∩B的子集的个数是2个．答案：C[例2](2012·宝鸡模拟)下列有关命题的说法正确的是()A．命题“若x2＝1，则x＝1的否命题为”若“x2＝1，则x≠1”B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0的必要不充分条件”C．命题“∃x∈R，使得x2＋x＋10”的否定是：“∀x∈R均有x2＋x＋10”D．命题“若x＝y，则sinx＝siny”的逆否命题为真命题更多课件海亮学校[答案]D[解析]A项，若x2＝1，则x＝1的否命题为：“x2≠1则x≠1”故A不对；B项，x2－5x－6＝0即x＝－1或6，∴x＝－1是“x2－5x－6＝0”的充分不必要条件．故B不对；C项，命题“∃x∈R，使得x2＋x＋10”的否定是：“∀x∈R均有x2＋x＋1≥0”，故C不对；D项，若x＝y，则sinx＝siny，显然为真命题，其逆否命题也为真命题，正确．4．设集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，则“A∪B＝R”是“a＝1”的________条件．(从如下四个中选一个正确的填写：充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件)解析：若A∪B＝R，则a≤1，故“A∪B＝R”是“a＝1”的必要不充分条件．答案：必要不充分5．下列说法：①“∃x∈R，使2x3”的否定是“∀x∈R，使2x≤3”；②函数y＝sin(2x＋π3)sin(π6－2x)的最小正周期是π；③命题“函数f(x)在x＝x0处有极值，则f′(x0)＝0”的否命题是真命题；④f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)＝0.其中正确的说法是________．答案：①④解析：对于②，y＝sin(2x＋π3)sin(π6－2x)＝sin(2x＋π3)cos[π2－(π6－2x)]＝sin(2x＋π3)cos(π3＋2x)＝12sin(4x＋23π)，∴T＝2π4＝π2.②不对．对于③，原命题的逆命题为若f′(x)＝0，则f(x)在x＝x0处有极值为假，则否命题也为假，③不对．[解析]由已知k＋1＋k＝3，∴k＋k＝2.∴k＝1.∴f(x)＝1]x)＋1＋x(x0)．f(x)显然为增函数，∴f(x)f(0)＝1.∴f(x)∈(1，＋∞)．[例3](2012·宝鸡模拟)规定符号“*”表示一种两个正实数之间的运算，即a*b＝ab＋a＋b，a，b是正实数，已知1*k=3,则函数f(x)=k*x的值域是.[答案](1，＋∞)6．函数f(x)＝11－x＋log2(2x－1)的定义域是________．解析：要使函数有意义，x须满足1－x02x－10，解之得12x1.所以函数f(x)的定义域为(12，1)．答案：(12，1)[例4](2012·沈阳模拟)已知直线y＝mx(m∈R)与函数f(x)＝2－12x，x≤0，12x2＋1，x0的图像恰有3个不同的公共点，则实数m的取值范围是________．[解析]在同一坐标系中作出函数y＝mx(m∈R)与函数y＝f(x)的图像如图所示．可以求得，当m＝2时，直线y＝2x与函数y＝12x2＋1，(x0)的图像相切．观察图像可知，当m2时，直线y＝mx(m∈R)与函数f(x)＝2－12x，x≤012x2＋1，x0的图像恰有3个不同的公共点．[答案](2，＋∞)7．设函数y＝f(x)的图像与y＝log2(1－x)的图像关于直线x＝1对称，则y＝f(x)为()A．y＝log2(1＋x)B．y＝log2(x－1)C．y＝log2(x－2)D．y＝log2(2－x)答案：B解析：设函数y＝f(x)的图像上任意一点P(x，y)，其关于直线x＝1的对称点的坐标为Q(2－x，y)，由题意知Q点在函数y＝log2(1－x)的图像上，故有y＝log2(1－(2－x))＝log2(x－1)．即所求函数的解析式为y＝log2(x－1)．8．设偶函数f(x)＝x－2(x≥0)，则不等式f(x－2)0的解集为()A．{x|x－2或x4}B．{x|x0或x4}C．{x|x0或x6}D．{x|x－2或x2}解析：由题意知f(x)的图像如图f(x－2)0则x－22或x－2－2，∴x4或x0.答案：B[例5](2012·金华模拟)已知函数y＝f(x)是偶函数，当x0时，f(x)＝x＋4x，且当x∈[－3，－2]时，n≤f(x)≤m恒成立，则m－n的最小值是________．[解析]∵y＝f(x)为偶函数∴图像关于y轴对称，当x∈[－3，－2]时，n≤f(x)≤m，则x∈[2,3]时，n≤f(x)≤m.由x0，f(x)＝x＋4x，∴x∈[2,3]，f(x)为增函数．∴n＝f(2)＝4.m＝f(3)＝3＋43＝413.∴m－n＝13.[答案]139．已知f(x)＝ex－e－x2，则下列判断中正确的是()A．奇函数，在R上为增函数B．偶函数，在R上为增函数C．奇函数，在R上为减函数D．偶函数，在R上为减函数解析：由f(－x)＝e－x－ex2＝－ex－e－x2＝－f(x)，得f(x)是奇函数．又由ex与－1ex均为增函数，∴ex＋(－1ex)＝ex－e－x为增函数．ex－e－x2也是增函数．答案：A10．f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意x∈R，总有f(x＋2)＝－f(x)成立，则f(19)＝()A．0B．1C．18D．19解析：依题意得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x)是以4为周期的偶函数，因此f(19)＝f(4×5－1)＝f(－1)＝f(1)，而f(－1＋2)＝－f(－1)，即f(1)＝－f(1)，f(1)＝0，因此f(19)＝0.答案：A11．函数f(x＋1)是R上的偶函数，且函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，则下列各式成立的是()A．f(－1)f(1)f(2)B．f(－1)f(2)f(1)C．f(2)f(－1)f(1)D．f(1)f(2)f(－1)解析：由函数f(x＋1)是R上的偶函数得，函数f(x)的图像关于直线x＝1对称．因此，f(－1)＝f(3)．又因为函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以f(1)f(2)f(3)＝f(－1)．答案：D[例6](2011·杭州二检)已知m2，点(m－1，y1)，(m，y2)，(m＋1，y3)都在二次函数y＝x2－2x的图像上，则()A．y1y2y3B．y3y2y1C．y1y3y2D．y2y1y3[解析]由题意知二次函数y＝x2－2x在[1，＋∞)上单调递增，又1m－1mm＋1，所以y1＝f(m－1)y2＝f(m)y3＝f(m＋1)．[答案]A12．若f(x)＝14x，则不等式f(x)f(8x－16)的解集是()A．(0，＋∞)B．(0,2]C．[2，＋∞)D．[2，167)解析：因f(x)＝14x在[0，＋∞)为增函数，则x≥08x－16≥0x8x－16∴2≤x167.答案：D13．定义运算法则如下：a⊗b＝12a＋13b，a*b＝lga2－lg12b，M＝94⊗8125，N＝2*125.若f(x)＝log3xx0，2xx≤0，则f(f(N－29M))＝________.解析：由题意知，M＝4，N＝1，所以f(f(N－29M))＝f(f(19))＝f(－2)＝14.答案：14[例7](2012·湖北100所重点中学联考)某电视生产企业有A、B两种型号的电视机参加家电下乡活动．若企业投放A、B两种型号电视机的价值分别为a、b万元，则农民购买电视机获得的补贴分别为110a、mln(b＋1)(m0，且m为常数)万元．已知该企业投放总价值为10万元的A、B两种型号的电视机，且A、B两种型号的投放金额都不低于1万元．(1)设投放B型电视机的金额为x万元，将这次活动中农民得到的总补贴表示为它的函数，并求其定义域；(2)当投放B型电视机的金额为多少万元时，农民得到的总补贴最大？[解](1)∵投放B型电视机的金额为x万元，则投放A型电视机的金额为(10－x)万元，农民得到的总补贴f(x)＝110(10－x)＋mln(x＋1)＝mln(x＋1)－x10＋1，(1≤x≤9)．(2)f′(x)＝mx＋1－110＝10m－x＋110x＋1＝－[x－10m－1]10x＋1.令f′(x)＝0，得x＝10m－1.①若10m－1≤1，即0＜m≤15，则f(x)在[1,9]上为减函数，当x＝1时，f(x)有最大值；②若110m－19，即15m1，则f(x)在[1,10m－1]上是增函数，在[10m－1,9]上是减函数，当x＝10m－1时，f(x)有最大值；③若10m－1≥9，即m≥1，则f(x)在[1,9]上为增函数，当x＝9时，f(x)有最大值．因此，当0＜m≤15时，投放B型电视机1万元；当15＜m＜1时，投放B型电视机(10m－1)万元；当m≥`1时，投放B型电视机9万元，农民得到的总补贴最大．14．图中的阴影部分由底为1，高为1的等腰三角形及高为2和3的两个矩形所构成．设函数S＝S(a)(a≥0)是图中阴影部分介于平行线y＝0及y＝a之间的那一部分面积，则S(a)的图像大致为()解析：当a∈[0,1)时，S(a)等于两个矩形和一个等腰梯形的面积之和，随着a的增大而增大，两个矩形面积增大的幅度相同，但梯形的面积增大的速度越来越慢；当a∈[1,2]时，S(a)等于两个矩形和一个三角形的面积之和，其中两个矩形的面积随着a的增大而增大，三角形的面积是定值；当a∈(2,3]时，S(a)等于两个矩形和一个三角形的面积之和，其中右边的矩形的面积随着a的增大而增大，左边的矩形与三角形的面积是定值，故其增大的速度比a∈[1,2]时的增大速度要小．只有C项满足．答案：C15．已知函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋lnx，h(x)＝x－x－1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是()A．x1x2x3B．x2x1x3C．x1x3x2D．x3x2x1解析：令f(x)＝x＋2x＝0，因为2x恒大于零，所以要使得x＋2x＝0，x必须小于零，即x1小于零；令g(x)＝x＋lnx＝0，要使得lnx有意义，则x必须大于零，又x＋lnx＝0，所以lnx0，解得0