2018高考数学一轮复习简单的线性规划问题解析

第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1.二元一次不等式(组)的解集满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的________________，叫做二元一次不等式(组)的解，所有这样的________________构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集.有序数对(x，y)有序数对(x，y)2.二元一次不等式所表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式__________在平面直角坐标系中表示__________某一侧所有点组成的_________，把直线画成_____，以表示区域不包括边界.当在坐标系中画不等式Ax+By+C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界，把边界画成_____.Ax+By+C0Ax+By+C=0平面区域虚线实线(2)二元一次不等式所表示的平面区域可用_________进行验证，任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式.若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为所求的平面区域.通常情况下，只要原点不在直线上，就可以选择原点作为特殊点进行检验.特殊点法3.线性规划的有关概念名称意义约束条件由变量x,y组成的___________线性约束条件由x,y的一次不等式(或方程)组成的___________目标函数关于x,y的函数_______，如z=x+2y线性目标函数关于x,y的_____解析式不等式(组)不等式(组)解析式一次名称意义可行解满足线性约束条件的解______可行域所有_______组成的集合最优解使目标函数取得_______________的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的_______或_______问题(x,y)可行解最大值或最小值最大值最小值4.解线性规划问题的一般步骤(1)在平面直角坐标系中画出_______.(2)分析_________的几何意义，将目标函数进行变形.(3)确定_______.(4)求出___________.5.常见的三种目标函数(1)z=ax+by.(2)z=(x-a)2+(y-b)2.(3)可行域目标函数最优解最值或范围ybz.xa1.若点(m,1)在不等式2x+3y-50所表示的平面区域内，则m的取值范围是()(A)m≥1(B)m≤1(C)m1(D)m1【解析】选D.依题意有2m+3-50，解得m1.2.若x,y满足约束条件则z=3x-y的最小值是()(A)-2(B)-3(C)-4(D)-5xy0xy400x4，，，【解析】选C.z=3x-y⇒y=3x-z,作出可行域，由图可知过A点时z取最小值，把点A(0,4)代入，可得z=-4.3.已知点P(x,y)的坐标满足条件则x2+y2的最大值为()(A)(B)(C)8(D)10【解析】选D.画出不等式组对应的可行域如图所示：易得A(1，1)，B(2，2)，C(1，3)，故|OP|的最大值为即x2+y2的最大值等于10，故选D.xy4,yx,x1.1022OA2＝，OB22，OC10，10，4.某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用，每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台，若每辆至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为()(A)2000元(B)2200元(C)2400元(D)2800元【解析】选B.设甲型货车使用x辆，乙型货车使用y辆.则所花运费为z=400x+300y.画出可行域(如图)，由图可知当直线z=400x+300y经过点A(4,2)时，z取最小值，最小值为zmin=2200，故选B.0x40y820x10y100，，，5.不等式组表示的平面区域的面积为______.【解析】该不等式组表示的平面区域是一个直角三角形，其面积等于答案：92xy0,x3,y01369.2考向1平面区域的相关问题【典例1】(1)(2013·宁波模拟)在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是()(A)(B)4(C)(D)2xy20xy20,x2，4222(2)(2012·福建高考)若函数y=2x图象上存在点(x,y)满足约束条件则实数m的最大值为()(A)(B)1(C)(D)2【思路点拨】(1)先画出不等式组所表示的平面区域，判断其形状并求其面积.(2)画出不等式组所表示的平面区域，然后结合指数函数y=2x的单调性及图象特征确定区域边界点的位置，从而求出m的值.xy30x2y30xm，，，1232【规范解答】(1)选B.画出平面可行区域，可知该区域是一个等腰直角三角形，且ABBC221S22224.2，(2)选B．如图，当y=2x经过且只经过x+y-3=0和x=m的交点时，即三条曲线有唯一公共点时，m取到最大值，此时，即(m,2m)在直线x+y-3=0上，由选项知，m的最大值为1．考向2线性规划的相关问题【典例2】(1)(2013·天津高考)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=y-2x的最小值为()(A)-7(B)-4(C)1(D)23xy60xy20y30,,,(2)(2013·厦门模拟)设变量x,y满足约束条件：则的最大值为()(A)(B)(C)1(D)不存在(3)(2013·大纲版全国卷)记不等式组所表示的平面区域为D.若直线y=a(x+1)与D有公共点，则a的取值范围是.yx1yx10y1，，，yzx21412x0x3y43xy4,,【思路点拨】(1)典型的线性规划问题，作出可行域，画出直线y-2x=0，通过截距，观察确定最优解.(2)非线性目标函数，借助斜率模型进行求解.(3)可行域已经确定，由目标函数表示的直线过定点(-1,0)，可以借助于斜率来解决.【规范解答】(1)选A.由z=y-2x，得y=2x+z.作出不等式组对应的平面区域ABC.作直线y=2x，平移直线y=2x+z，由图象知当直线经过点B时，y=2x+z的截距最小，此时z最小.由代入z=y-2x得z=3-2×5=-7.所以最小值为-7.xy20x5y30y3得,,,,(2)选B.画出可行域(如图)，又表示(x,y)与定点P(-2,0)连线的斜率，所以当(x,y)在点A(0,1)时取到最大值yzx2yzx21.2(3)画出可行域如图所示,当直线y=a(x+1)过点A(0,4)时,a取得最大值为4,当直线y=a(x+1)过点B(1,1)时,a取得最小值为.所以a的取值范围为[,4].答案:[,4]121212【加固训练】(2013·浙江高考)设z=kx+y，其中实数x,y满足若z的最大值为12，则实数k=.xy20x2y402xy40，，，【解析】不等式组表示的可行域如图所示，由z=kx+y可得y=-kx+z，知其在y轴上的截距最大时，z最大，由图知当-k＜且直线过点A(4,4)时，z取最大值12，即4k+4=12，所以k=2.答案：212考向3线性规划的实际应用【典例3】某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外,该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物,42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元,那么要满足上述的营养要求,并且花费最少,应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？【思路点拨】设出午餐和晚餐的单位个数，列出不等式组和费用关系式，利用线性规划求解.【规范解答】设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位,所花的费用为z元,则依题意得z=2.5x+4y,且x,y满足即x0xNy0,yN12x8y64,6x6y42,6x10y54,，，，x0,xN,y0,yN,3x2y16,xy7,3x5y27.作出线性约束条件所表示的可行域,如图中阴影部分的整数点,让目标函数表示的直线2.5x+4y=z在可行域上平移,由此可知z=2.5x+4y在B(4,3)处取得最小值.因此,应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐,就可满足要求.【规律方法】求解线性规划应用题的注意点(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件中是否能够取到等号.(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x,y的取值范围，特别注意分析x,y是否是整数、是否是非负数等.(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式.【变式训练】(2012·南昌模拟)某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨．甲产品每吨利润为5万元，乙产品每吨利润为3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该企业的最大利润为_______．【解析】设生产甲产品x吨，乙产品y吨，利润为z万元，由题意可得目标函数为z＝5x＋3y，3xy132x3y18x0y0＋，＋，，，作出如图所示的可行域(阴影部分)．当直线5x＋3y＝z经过A(3,4)时，z取得最大值，∴zmax＝5×3＋3×4＝27(万元).答案：27万元2.(2013·杭州模拟)如果不等式组表示的平面区域是一个直角三角形，则该三角形的面积为()(A)或(B)或(C)或(D)或x0,y2x,kxy101215121315141412【解析】选C.有两种情形：(1)直角由y=2x与kx-y+1=0形成，则三角形的三个顶点为(0，0)，(0，1)，面积为(2)直角由x=0与kx-y+1=0形成，则k=0，三角形的三个顶点为(0，0)，(0，1)，面积为1k2，24(,)55，15；1(,1)2，1.44.(2013·嘉兴模拟)设x,y满足约束条件则的最大值为()(A)5(B)6(C)8(D)10x0,yx,4x3y12，2y2x1