阵列天线分析与综合_7

阵列天线分析与综合讲义王建181第四章阵列天线的优化设计前面介绍的阵列天线综合方法，如切比雪夫综合法、泰勒综合法、贝利斯综合法等，都是求出阵列单元的激励幅度和相位分布，使之能产生所要求的方向图。综合的重点在方向图的一致性上，结合抑制栅瓣条件、半功率波瓣宽度的要求就可确定单元数、单元间距，从而设计阵列天线。天线的优化设计问题，一般是根据天线的某一技术指标，如方向性系数、频带宽度等进行优化设计。对八木天线等还可对前后瓣比、副瓣电平进行优化。对阵列天线优化主要有两个方面，一是对方向性系数这一指标进行优化，以得到具有最大方向性系数的阵列激励幅度和相位；一是波束赋形的优化设计，即改变阵列激励幅度和/或相位使辐射方向图为指定的波束形状。例如，一个N单元的任意间距nz、任意激励幅度nI和相位n的直线阵列，其方向性系数可表示为121212(,,,,,,,,,,,)NNNDDzzzIII(4.1a)现在的问题是，改变上式括号中参数为***,,,1,2,,nnnzInN，使D最大，即*********max111212(,,,,,,,,,,,)NNNDDzzzIII(4.1b)如果这个优化过程无任何条件约束，则这个优化过程就称为无约束最优化。如果优化过程加上某种条件约束，如天线的副瓣电平小于某个值*********111212(,,,,,,,,,,,)NNNSLLzzzIIIC(4.2)则这个优化过程就称为有约束条件的最优化。无约束最优化问题的一般形式为**()max()()min()DDFForFFxxxxxx，*nDRx(4.3)式中，12(,,,)nxxxx为n维欧氏空间nR中的一个向量；()Fx为n维欧氏空间nR中区域D上的实值函数，称为目标函数；****12(,,,)nxxxx为目标向量。上式的含义是：在n维欧氏空间nR中寻找一个目标向量*x，使目标函数()Fx取极大值或极小值。有约束最优化问题的一般形式为**()max()()min()DDFForFFxxxxxx，*nDRx阵列天线分析与综合讲义王建182*()00,1,2,,iGorimx(m个()iGx条件)(4.4a)*()0,1,2,,jHjpx(p个()jHx条件)(4.4b)此式的含义是：在满足*()00iGorx及*()0jHx的约束条件下，在n维欧氏空间nR中寻找一个向量*x，使目标函数()Fx取极大值或极小值。阵列天线的优化设计，就是天线参数***,,nnnzI的最优化选择。除求目标函数的极值问题外，还常采用数值分析方法，如间距微扰分析、幅度微扰分析和这里将介绍的矩阵法等。§4.1线阵方向性系数的最优化线阵方向性系数的最优化问题，一般是在已知单元数N，间距d和主瓣指向0时，求最佳激励幅度nI和相位n，使阵列方向性系数D达到最大。这一节不介绍前面式(4.3)和(4.4)描述的无约束和有约束最优化问题的惯常优化方法，而是根据阵列天线的阵因子特点，采用矩阵方法对其方向性系数进行优化分析。4.1.1线阵方向图函数的矩阵表示一个单元数为N，间距和激励为任意的线阵辐射场方向图函数可写作cos1(,)(,)nnNjjkznnEfIee(4.5)式中，(,)f为单元方向图函数，为简化分析，设(,)f＝1，即单元为理想点源，此时上式可写作cos*1()[][][][]nnNjjkzTnnEIeeeIIe(4.6)式中，12[]NIIII，12[][]TNIIII——转置，njnnIIe*1**2*[]Neeee，***12[][]Neeee——共轭转置，cosnjkznee阵列天线分析与综合讲义王建1834.1.2方向性系数D的矩阵表示由公式**00002**0004()()()()1()()sin()()sin2EEEEDdEEdEEd(4.7)式中，0为主瓣指向，且考虑了直线阵列辐射场与无关的旋转对称性质。上式中分子可写作**0000()()()()[][][][][][][]EEEEIeeIIAI(4.8)式中，***11121111211***221222***2122212***1212[][][]NNNNNNNNNNNNNNeeeeeeaaaeeaaaeeeeeeAeeeeeeaaaeeeeee(4.9)其对角元素为：*1nnnnaee(4.10a)其余元素为：coscos()cos*lmmljkzjkzjkzzlmlmaeeeee(4.10b)且有关系：****()lmlmmlmlaeeeea(4.10c)说明矩阵[A]为厄米(Hermite)矩阵。式(4.7)的分母为*01()()sin[][][]2EEdIBI(4.11)式中，111212122212[]NNNNNNbbbbbbBbbb()cos*0011sinsin22mljkzzlmlmbeeded1,sin()0,()mlmllmkzzlmkzz(4.12)lmb为实数，显然满足*lmmlbb，则矩阵[B]也为厄米(Hermite)矩阵。矩阵[A]和矩阵[B]主要取决于单元间相对位置，因此称它们为结构矩阵。把阵列天线分析与综合讲义王建184式(4.8)和(4.11)代入(4.7)得用矩阵表示的方向性系数[][][][][][]IAIDIBI(4.13)4.1.3方向性系数D的最优化方法由于[][][]IBI表示辐射总功率，矩阵[B]是正定矩阵，目标函数D是两个厄米型之比，则由矩阵的本征值定理可得如下结论：(1)本征值方程|[A]-p[B]|=0的本征值(12Nppp)是实数；(2)D的下界为1p，上界为Np，即1NpDp；(3)当[I]满足1[][][][]AIpBI，则min1Dp；(4)当[I]满足[][][][]NAIpBI，则maxNDp。可以证明本征值方程|[A]-p[B]|=0只有一个根Np，其余为0，且1max[][][]0NpDeBe(4.14)对应于Np的最佳激励向量[]optI为1[][][]optIBe(4.15)式中，10200coscoscos[]Njkzjkzjkzeeee(4.16)0为最大指向。式(4.14)和(4.15)解决了直线阵方向性系数的最优化问题。当已知nz和0时，由(4.12)式计算lmb得矩阵[B]及1[]B，由(4.16)得向量[e]，从而可确定式(4.14)表示的Np和式(4.15)表示的[]optI。为简化求逆过程，可用下式确定maxDmax[][][]optoptDIBI(4.17)4.1.3实例【例4.1】已知间距/2d，单元数为N，波束最大指向为侧向，即0/2，单元为无方向性点源(,)1f。要求计算maxD和最佳激励向量[]optI。阵列天线分析与综合讲义王建185解：(1)(1)/2nzndn由式(4.14)[e]中元元素0cos1njkznee，则11[]1e，111111[][][]111Aee，1,sin()sin[()]0,()()mllmmllmkzzmlblmkzzml得本征值方程1(1)1111(1)11[][](1)()0111(1)NNppApBppNp此式的非零解为：maxNpDN另一方面：1max[][][]NpDeBe111001101011[111][111]00011NNN个个1[][][][][111]optIBee此式表明：当/2d时，具有最大方向性系数maxDN的最佳激励为1,0,1,2,,nnInN，即为等幅同相的均匀激励。换句话说，间距为/2d的均匀直线阵的最大方向性系数为maxDN。另一方面，由/222|dLNdDN。注意，上述结论是在间距为/2d时得到的。当/2d且不为/2的整数倍时，矩阵[B]的非对角元素不为零，这时即使0/2的条件不变，maxD与[]optI仍与/2d时的不同。为了说明这一情况，我们编程计算了直线阵不同间距d时对应的maxD和[]optI，列于下表4-1中。表4-1Dmax与[I]opt与d的关系。0/2,5Nd/λDmaxI1I2I3I4I50.23.6927537.855386-19.21203126.406042-19.2120317.855386阵列天线分析与综合讲义王建1860.33.9416902.232211-2.2391843.955635-2.2391842.2322110.44.3509031.1992220.3254401.3015790.3254401.1992220.55.0000001.0000001.0000001.0000001.0000001.0000000.65.9263801.1230701.2819121.1164151.2819121.1230700.76.7374061.2134661.4276191.4552371.4276191.2134660.87.5795511.2859521.6217841.7640791.6217841.2859520.97.3988451.4093861.5141341.5518041.5141341.4093861.05.0000001.0000001.0000001.0000001.0000001.000000另外，还可对差方向图方向性系数、圆环阵和椭圆环阵方向性系数进行最优化。其优化方法本质上与前面介绍的优化方法类似。§4.2线阵辐射方向图的赋形优化设计在现代雷达应用中，如警戒雷达、搜索雷达、微波着陆雷达等大多采用相控阵雷达天线，要求其方位面为泰勒方向图并可在一定范围扫描，而俯仰面形成特殊的波束—如余割平方波束，如下图4-1和4-2所示。(a)极坐标方向图(b)直角坐标方向图图4-1某相控阵天线的俯仰赋形波束阵列天线分析与综合讲义王建187图4-2某相控阵天线的三维方向图，其方位面为泰勒方向图，俯仰面为赋形波束相控阵雷达天线的这种扇形扫描波束可以覆盖很大的一个空间范围。平面阵要在俯仰面形成图4-1所示的赋形波束，只需分析平面阵中的一列直线阵即可。4.2.1赋形波束的优化设计原理设有一个单元数为N，单元间距为d的直线阵列如图4-3所示。其阵因子很容易写出为1oo0(),,cos,0~180nNjjnunnnnSaeaIeukd(4.1)式中，nI和n分别为各单元的激励幅度和相位，是需要确定的量；2/k，为工作波长。设其最大值为maxS，则归一化方向图函数为max()()/SSS(4.2)图4-3直线阵列坐标系现在设直线阵列要实现如下图4-4所示的指定赋形波束0()f，它往往是分贝表示的归一化方向图。阵列天线分析与综合讲义王建188图4-4指定的赋形波束0()f对给定的方向图函数0|()|f进行取样，取样点为0|()|,0,1,2,,ifiM，有180/iiM(4.3)直线阵列的阵因子()S要实现图4-4指定的赋形波束0()f这实际上式一种函数的逼近。在单元数N和单元间距d已知的情况下，只有改变激励幅度nI和/或相位分布n来达到目的。主要分两种情况，一是激励