连续型-分布函数-密度函数

随机变量及其分布第二讲连续型随机变量分布函数和密度函数连续型随机变量密度函数（连续型）分布函数（任何类型随机变量）2.4连续型随机变量随机试验的结果取得某一区间上的任何数值例如：车床加工的零件尺寸（cm）与规定尺寸的偏差}:{bXaX00)(xXP对于连续型随机变量，)(某个区间XP才是我们关心的问题。2.5随机变量的分布函数的概率事件xX)()(xXPxF记为的分布函数随机变量X)(xXPxF任何一个实数X1234P5210351101求离散随机变量X的分布函数例1)()(xXPxF52)1()1(XPF分析：10710352)2()2(XPF1095110352)3()3(XPF11015110352)4()4(XPF)()(21xXPxFx时，当)()(32xXPxFx时，当)()(43xXPxFx时，当)()(1xXPxFx时，当)()(4xXPxFx时，当052107103521095110352110151103521109107520)(xF1x21x32x43x4xX1234P52103511011234函数值，右连续的函数间断点处左极限不等于分布函数的性质1)(0:1xF）（)()(:21212xFxFxx，那么如果）（单调非降那么如果）（],,[:baX31)(lim,0)(lim),-(xFxFXxx那么，如果函数是否为分布函数的充要条件)()(xXPxF11000)(,)()(,)(xFbxbFxFaxaF时，且时，且例2设随机变量X的分布函数为求系数a和b。xbeaxFx022,)(02002)(lim)(limxxxbeaxF122)(lim)(limxxxbeaxF：解：根据分布函数性质11ba解得：10aba分布函数的性质)(],(42121xXxPxxX内的概率：落在）（)()(12xFxF例2（续）已知随机变量X的分布函数为xexFx0-122,)(上的概率。落在求：],[10X2110110eFFXP)()()(解：对于离散型随机变量，）（:5xxiixXPxF)(那么。分布函数是完全连续的对于连续型随机变量，）（:6是一个右连续的函数。)()(xFxF)()(xXPxXP)()(xXPxXP分布函数的性质)()(xFxF间断点处：2.6连续随机变量的密度函数)(],(xxXxPxxxX的概率：落在考虑连续随机变量)()()(xFxxFxxXxP)()()(lim'xFxxFxxFx0)(xf的概率密度函数。随机变量X0x其中xxxXxPx)(lim0导函数，密度函数是分布函数的密度函数与分布函数的关系)('xF)(xf导函数，密度函数是分布函数的）（:1)(xFxduuf)(的原函数）分布函数是密度函数（2013xexFX)(的分布函数是：已知例0x0x的密度函数求X0)(xexf0x0x024xxfX)(的密度函数是：已知例01x其他01)(2xxF求分布函数。1x01x0x00)()(0xxduduufxFx时，解：当20020)()(10xudududuufxFxxx时，当1)(1xFx时，当)(xFxduuf)(连续随机变量的密度函数的性质)()()(lim'0xFxxFxxFx)(xf0x其中非负)(:)1(xf].,[:2ba间为如果随机变量的取值区）（时，取值区间为一般情况下，当),(X1)(dxxf1)(为轴之间围成的图形面积与几何意义：曲线xxfy判断一个函数是否为密度函数的充要条件1)(badxxf密度函数大于0时，对应的自变量范围1)(].,[:2badxxfba那么间为如果随机变量的取值区）（0)(52xAexfX的密度函数为：已知随机变量例),0(x]0,-(x。求系数A1202dxAex）得：解：由密度函数性质（12102xeA1)2(0A2A2112213xxdxxfxFxFxXxP)()()()(:)(）内的概率。求随机变量落在区间（5050.,.50502115050..)).,.((dxxXP解：50501..|arcsinx)()()()(21212121xXxPxXxPxXxPxXxP变量：注意：对于连续型随机这四个概率不一定相等对于离散型随机变量，其他的密度函数为：已知随机变量例0111162xxxfX)(连续随机变量的密度函数的性质31661例7的概率密度连续随机变量X0)(xcxcxf1;10;01xxx)(3);5.0(2;1xFXXPc的分布函数）（）概率（）常数求（1)(111-dxxf）解：（1)()(1001-dxxcdxxc12121102012xcxxcx12121cc1c011)(:)2(xxxf1;10;01xxx)5.0(XP5.0005.05.05.011)(dxxdxxdxxf75.0215.0215.05.00205.02xx011)(:)3(xxxf1;10;01xxxxduufxF)()(时当1x0),)(上恒等于在（xuf00-xduxF)(时当01x),1()1,(),xx（xduufduufxF11-)()()(xduu1-)1(021212xx-101xx),(x积分区间总是时当10x),0()0,1()1,(),xx（xduufduufduufxF0011-)()()()(xduuduu001-)1()1(021212xx时当1xxduufxF)()(1)()()(1111-xduufduufduuf-101xx小结)()(xXPxF分布函数)(],(2121xXxPxxX内的概率：落在)()(12xFxF)('xF)(xf概率密度函数1)(].,[badxxfba那么间为如果随机变量的取值区21)()()()(1221xxdxxfxFxFxXxP内的概率落在连续型随机变量),(21xxX)(xFxduuf)(作业2.182.202.21