环的同态与同构

Inourclasses,allthemobilephonesshouldbeswitchedoff!上课啦！Theclassisbegin!第三章环与域第19讲§4环的同态与同构本讲的教学目的和要求：本讲的内容出发点都是跟循群认的思略，环——子环的定义——子环的实例——环同态（尤其是环同态满射）——同态映射（满射）所能传递的代数性质和不能传递的代数性质。本讲中，要求能弄略和领会。（1）环同态与群同态的区别所在。（2）扩环与子环之间在单位元变换性，零因子和环的特殊性方面都具有“转变”的特点，这是与群截然不同的地方。（3）环同态映射（既使是环同态满射）也有一些性质不能传递过去。（4）环同构的应用——挖补定理。本讲的难点和重点：本讲涉及的内容较多，变化性较大，有一些困难之处。（1）环与子环之间的性质“变异”问题。（2）环同态的保性质问题。（3）挖补定理中“S视为R的子环”的不同意义。他们同态吗？一环同态定义定义1设是环,,R到环,,R的映射.如果.,Rba满足:,abababab则称是一个环同态映射.如果是满射(单射、双射),则称为环同态满射(环同态单射,环同构).特别是环同态满射时,则称R与R同态,记为R～R.说明：环同态是环之间保持运算的映射.如果为单映射,则称为单同态.如果为满映射,则称为满同态,记作,:'RR,并称R与'R同态.如果既是单映射又是满映射,则称为同构.同构是环之间的一个等价关系,且同构的环之间有完全相同的代数性质.定理3.4.1设,,R和,,R都是代数体系,如果是R到R的满射且有,,abR.由上定义可知,一个环同态映射就是分别对环的加法和乘法都满足“保运算”的性质.利用这一点,可以自然地得到:二、环同态的性质,abababab，则当,,R是环时,,,R也必是环.例1设1,,0abRabcZc,20,0aRacZc,则12,RR关于矩阵的加法和乘法都构成环.令12RR0:00abacc易证是由1R到2R的一个满同态，从而12~RR.例2若R是一个环，S为R的一个子环，则S到R的映射.:().sssSSR是由环到环的一个单同态定理3.4.2设R~R是环同态满射,那么①若RO是R中的零元，则RO必是R的零元.即.RROO②若1R是R的单位元，则1R必是R的单位元.即11RR.③负元的象必是象的负元,即.aa④若R可交换，则R也可交换.证明①,aR因是满射，所以aR使.aa于是因此RO是R中的零元.②,aRaR使.aaRRRROaOaOaO11,RRaaaa111.RRRaa而同理,③RRaaaaOO,④,abR,,abR使,aabb.同理,RaaO,所以aa.则abababbababa因此abba，故R是交换环.说明（1）设为环R到'R的同态,则()(()).nnaa证明由群同态的定义知,()()()()(()).nnaaaaaa（2）设为环R到'R的同态,称集合(){()0}keraRa为同态的核.例3一些常见的同态.(1)零同态::'RR,()0,a()kerR.(2)自然同态:设I是环R的理想,:RRaa自然同态为满同态,且().kerI(3)恒等同构::RRaa(){0}.ker例4设6:ZZ是环同态满射,其中:nn.在例3中，显然Z是整环.所以Z中没有零因子,但在6Z中,2和3、4都是零因子.即2显然不是Z中的零因子,但22却是6Z中的零因子.这告诉我们:非零因子的象可能会是零因子.例5设(,),RababZ.在R中定义运算11221212,,,.ababaabb11221212,,,.ababaabb可以验证:R是一个环.现作一个对应::RZ,其中,,aba.则是一个环同态满射.由于0,0是R中的零元,当0a且0b时.有,00,0,0abR中有零因子.但显然Z中没有零因子.这表明:零因子的象可能不是零因子.由上可知,环同态满射不能保证传递全部的代数性质，但我们有定理3.4.3若R和R都是环,且RR,那么不仅能传递所有的代数性质,而且R是整环(除环,域)当且仅当R是整环(除环,域).利用环同构的性质,可以得到下面一个有趣的事实.引理设,,R是一个环,而:RA是一个双射,其中A仅是一个集合.那么,可以给集合A定义加法和乘法,使得成为R到A的同构映射(即环同构).证明任取12,aaA.定义:12aaxy，12,aaxy其中12,xaya所以12xyaaxy12xyaaxy又已知是双射，由12,aa的任意性，得.RA.因R为环,所以A也是环.故为同构映射.利用上面的引理,我们来讨论环论中的“挖补定理”.定理3.4.4(挖补定理)设S是环R的一个子环,设BRS.又设S也是环且SS,而BS.那么必存在另一个环R,满足①,RR②S是R的子环.证明为了方便,令,,SSSSabc，为S与S间的同构映射.而,,.SSSSabc因SS,则设SSxx.又令,,,,,,,SSSBabcRabcabc现作一个新集合,,,,SSSRabcabc,显然RR.作:fRR,其中SSxx,xx显然,f是满射.另一方面,,xyR,可分为三种情形逐一考虑(其中,xy).(ⅰ)若,xyB，那么fxxyfy；(ⅱ)若,,xyS则,fxxfyy。因为是同构映射，所以当xy时必有xy.(ⅲ)若xB，而yS时，fxx.但fyy,而,BS,xByS，故xy，故fxfy.总之,当xy时,有fxfy,所以f是单射.综上知，fRR为到的双射.由引理,因为R为环,则必可为R定义加法和乘法,使R为环且fRR.所以①成立.下面证②也成立(即S是R的子环).现设R中加法和乘法分别记为“”和“”,又S设与S中的加法和乘法分别记为“+”和“·”.以下将证明若局限在S内,“”与“+”,与·是一致的.,SSxyS于是SSSxyZS，所以.SS则有,SSxy和SZ使SSxx，SySy，SSzz于是，SSSSSSSSxyxyfxfyfxySSSfzzz所以SSSxyz.这表明在S中，加法“”与“+”是一致的.同理可证在S中“”与“·”也是一致的.所以S是R的子环，②成立.定理3.3.5(环同态基本定理)设:为环的满同态,则有环同构且.其中,为自然同态:.三、环同态基本定理证明令::,.(1)将看成加法群的同态,则它是满同态.因此由群的同态基本定理,这样定义的是一个映射.且由于也是加群同态的核,所以这样定义的是单映射,且由于是满射,故也是满映射.(2)所以,要证是环同构,只要证明保持乘法运算.所以,为到的同构.(3)任给,.所以,.例6设:,,则是满同态,且.从而由同态基本定理得:又因为为自然同态,所以此同构实际上是恒等同构,即.例7设:,.证明:证明(1)如果的系数都是有理数,则中的都是有理数.所以是到的映射.(2)任给,(3)任给,,令,则,所以,为到的满同态.(4)设，由多项式的带余除法知,存在及,使如果,则,所以.于是.如果,则有,而(())()fxfi，所以.由此得从而由同态基本定理,有同构.定理3.3.6(环的扩张定理)设:为环的单同态,且.则存在环,使得为环的子环,且.证明(1)构作集合.四、环的扩张定理（挖补定理）(2)作映射::,，则为一一对应.(3)定义的运算:任给,规定,(4)则为环,且为的子环,并且:.环的扩张定理使我们将一个较小的环扩张为一个较大的环.定理3.3.6告诉我们,的扩张环是按下述方式构造的:(1)作为集合,是在中将挖去,然后再将补上而得到的.(2)中的运算按下法进行:(i)如果,则就按中的运算进行;(ii)如果有一个,或两个都不属于,则将换成中的对应元素,在中做加发与乘法,然后再把结果换成中相应的元素.例8设是一个没有单位元的环.则存在一个有单位元的环,使为的子环.证明令.(1)规定:任给,,,则关于所给的运算构成环,且(1,0)为的单位元.(2)令:,,则为环的单同态.于是由定理3.3.6的证明,环为的扩环,且.(3)如果,则易知,:,,也是环单同态,于是知,环所以,也是有单位元的环,且的单位元为.显然是的子环.由于在中,,所以且中的运算为:任给,,,习题十九1.试证明整数环Z不能与偶数环同构.2.试证明体的加法群与其非零元素乘法群不能同构.3.证明有理数域Q的自同构只有恒等自同构.4.证明：每个无单位元的环R都可嵌入（即在同构意义下包含在）一个有单位元的环中.5.设R是一个环，Ru.证明：R对以下二元运算uuubauabbaubaba2作成一个环且与原来的环R同构.6．求Klein四元群的自同态环的所有元素。习题十九解答1.试证明整数环Z不能与偶数环同构.证明整数环中有乘法单位元1，而偶数环中无乘法单位元，所以不能同构.2.试证明体的加法群与其非零元素乘法群不能同构.证明设;;F是体.假设;;:FF.则1)0(.设1)(a.当a=0,则1=-1,21=0;当0a,则1)1)(1()()()2(aaa,于是2a=0.这两种情况都说明F的特征数为2.因此21=0,1=-1..0)1)1()(1)1((01))1((,1)0()12())1((22则0)1)1((01)1(或.因1=-1,故1)1(.这1)0(与矛盾，说明不存在同构映射.3.证明有理数域Q的自同构只有恒等自同构.证明设是有理数域Q的一个自同构.由于在同构映射下，单位元与单位元对应，负元与负元对应，逆元与逆元对应，故.2)1()1()11()2(,1)1(一般地，,)(,)(mmmm其中m为正整数.又易知)0()(,)(11mmnmnmm即为Q的恒等自同构.从而有理数域只有恒等自同构.4.证明：每个无单位元的环R都可嵌入（即在同构意义下包含在）一个有单位元的环中证明令ZnRanaK,,，且规定.,,,.,,,.,,,mnmbnaabnbmanmbanbmanmbanbma则可验算出K对此二运算作成一个有单位元的环，其单位元是（0，1）.再令RaaR0,0.则易知)(0,:Raaa是R到0R的一个同构映射.因此，0RR.于是若规定aa)0,(，则KR.即无单位元环R被包含在有单位元的环K中.5.设R是一个环，Ru.证明：R对以下二元运算uuubauabbaubaba2作成一个环且与原来的环R同构.证明显然，R对所规定的新运算,是封闭的.令R对新运算作成的集合记为),(R.下面在R与),(