高二数学反证法(公开课)ppt

2.2.2反证法将9个球分别染成红色或白色。那么无论怎样染，至少有5个球是同色的。你能证明这个结论吗？引例1：引例2：证明：设p为正整数，如果p2是偶数,则p也是偶数。假设p不是偶数，可令p=2k+1，k为非负整数。可得p2=4k2+4k+1，此式表明，p2是奇数，这与条件矛盾，因此假设p不是偶数不成立，从而证明p为偶数。正难则反假设命题结论的反面成立，经过正确的推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从而间接证明原命题成立,这样的的证明方法叫反证法。反证法•反证法的证明过程：•反设—归谬—存真反设－－假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真.归谬－－从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果.存真－－由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立.例1．证明不是有理数。2证明：假定是有理数，则可设,其中p，q为互质的正整数，22pq两边平方得到，2q2=p2，①①式表明p2是偶数，所以p也是偶数，于是令p=2l，l是正整数，代入①式，得q2=2l2，②②式表明q2是偶数，所以q也是偶数，这样p，q都有公因数2，这与p，q互质矛盾，因此是有理数不成立，于是是无理数.22例2．证明1，，2不能为同一等差数列的三项。3证明：假设1，，2是某一等差数列中的三项，设这一等差数列的公差为d，则31=－md，2=+nd，其中m，n为某两个正整数，33由上两式中消去d，得到n+2m=(n+m),因为n+2m为有理数，(m+n)为无理数,33所以n+2m≠(n+m)，因此假设不成立，1，，2不能为同一等差数列中的三项.3221223.,,,2,22.abcaxbxcybxcxaycxaxbx例3已知是互不相等的实数求证：由y和确定的三条抛物线至少有一条与轴有两个不同的交点212221222222222222,=240=240=2402,2,23,xbaccababcabcabbcacababbcbcacacabcabbcac假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与轴有两个不同的交点则以例证明：上三式相加得又因为互不相等，由基本不等式得相加得以上两式矛盾因此假设不成立从而命题得证例4：已知2()fxxpxq，求证：|(1)|,|(2)|,|(3)|fff中至少有一个不小于21.分析：设|(1)|,|(2)|,|(3)|fff中没有一个大于或等于21，观察：(1)1,(2)42,(3)93fpqfpqfpq得：(1)2(2)(3)2fff所以2=|(1)2(2)(3)|fff≤|(1)|2|(2)||(3)|fff21+2×21+21=2这是不可能的，矛盾表明原结论成立。证明：略.说明：“至少”型命题常用反证法，由于其反面情况也只有一种可能，所以属于归谬反证法.例5.(2011·南通模拟)若a、b、c均为实数,且求证：a、b、c中至少有一个大于0.22by2z,cz2x.362ax2y,2[证明]假设a，b，c三个数均不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，则a＋b＋c≤0，又a＋b＋c＝x2－2y＋π2＋y2－2z＋π3＋z2－2x＋π6＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－30.与假设矛盾，所以假设不成立．故原命题成立．即a，b，c至少有一个大于0.例6.设0a,b,c1，求证：(1a)b,(1b)c,(1c)a,不可能同时大于41证明：设(1a)b,(1b)c,(1c)a,141414则三式相乘：(1a)b•(1b)c•(1c)a①164又∵0a,b,c1所以2(1)10(1)24aaaa同理：1(1)4bb1(1)4cc以上三式相乘：(1a)a•(1b)b•(1c)c≤与①矛盾164∴原式成立。原词语否定词原词语否定词等于任意的是至少有一个都是至多有一个大于至少有n个小于至多有n个对所有x成立对任何x不成立准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的，下面是一些常见的关键词的否定形式.不是不都是不大于不小于一个也没有至少有两个至多有（n-1)个至少有（n+1)个存在某个x不成立存在某个x,成立不等于某个