2013届新课标高中数学(文)第一轮总复习第5章第31讲 向量的概念与线性运算

第31讲平面向量的概念________||///1///.ABDCABCDababababbcacabbcac下列各命题中，真命题的个数为．①若＝，则四边形是平行四边形；②若＝，则＝或＝－；③若＝，＝，则＝；④若，，则【例】【解析】①正确．②不正确，因为两向量相等必须大小相同且方向相同，模相等是向量相等的必要不充分条件．④不正确，当b＝0时，a∥c不一定成立．③正确．答案:2向量的相关概念较多，且容易混淆，所以在学习中要分清，理解各概念的实质．注意向量相等应满足的两个条件：①模相等；②方向相同．还要注意零向量的特殊性，尤其是判定向量共线时不要忽略零向量．【变式练习1】下列命题中正确的有_______.①单位向量都相等；②长度相等且方向相反的两个向量不一定是共线向量；③若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且a与b同向，则ab；④对于任意向量a、b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|.④向量的线性表示2.DEABCABACMNDEBCBCBDDECEMN如图所示，、分别是的边、的中点，、分别是、的中点．已知＝，＝，试用、分别表示、和【例】abab1//2121.211221122111.424DEBCDEBCDECECBBDDEMNMDDBBNEDDBBC由三角形的中位知，故＝，即＝所以＝＋＋＝－＋＋＝－＋，＝＋＋＝＋＋＝【解析】－－＋＝－aabaababaab用已知向量来表示另外一些向量，是用向量解题的基本功，除综合利用向量的加、减法运算及数乘向量外，还需要充分利用平面几何中的一些定理．【变式练习2】设平面上的三个向量OA→、OB→、OC→(如图)满足：OA→与OB→的夹角为2π3，OC→与OB→的夹角为π6，|OA→|＝|OB→|＝1，|OC→|＝23，OC→＝λOA→＋μOB→(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为6.【解析】在直角三角形中，因为|OA→|＝|OB→|＝1，|OC→|＝23，利用三角函数可将OC→进行分解，如图得到：OA′＝OC·tan30°＝2，OB′＝OCcos30°＝4，所以OC→＝2OA→＋4OB→，则λ＝2，μ＝4，所以λ＋μ＝6.向量共线12332823abOAOAOAABCkkk设，是两个不共线的非零向量．若＝－，＝＋，＝－，求证：、、三点共线；若＋和＋共线，求实数的例值．【】ababababab(3)(2()2(3)(3))2412ABBCABABBCABBCBABCabababababab证明：因为＝＋－－＝＋，＝－－＋＝－－＝－，所以、共线．又、有公共【解析点，所以、、三】点共线．(2)因为8a＋kb和ka＋2b共线，所以存在实数λ，使8a＋kb＝λ(ka＋2b)，即(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0.因为a与b不共线，所以，解得λ＝±2，所以k＝2λ＝±4.本题从正反两方面考查了向量共线的充要条件，即b与非零向量a共线，则必存在唯一实数λ，使b＝λa；若b＝λa(λ∈R)，则b与a共线．三点共线问题可利用向量共线的充要条件来解决．3.1()3tabtt若，是两个不共线的非零向量，若与起点相【变式练同，为何值时，，，＋三向量的终点在一上？习直】线abRabab1[()]32332313213211()23tttttt设－＝－＋，得－＝－，因为，不共线，所以，所以，故＝【解析】时，，，＋三向量终点在同一直线上．abaabababababab1.已知e1，e2是一对不共线的非零向量，若a＝e1＋λe2，b＝－2λe1－e2，且a，b共线，则λ＝_______。22222.12mmmmm因为，共线，所以＝，得－－＝＋，【解故，解得】＝析1212abbaeeee2.2453ABCDABBCCDABCD在四边形中，＝＋，＝－－，＝－－，其中、不共线，则四边形是__________abababab0()(2453)2(4)2.|||2|||ABBCCDDADAABBCCDBCDABCBCABCD因为＋＋＋＝，所以＝－＋＋＝－＋－－－－＝－－－＝－又＝，所以四边形是梯【解析】形．abababab梯形3..ABCDACBDOEODAECDFACBDAF在平行四边形中，与交于点，是线段的中点，的延长线与交于点若＝，＝，则等于_______________ab21+33ab12.23121().333DFFCAFACCFCD利用平面几何知识得出∶＝∶所以＝＋＝＋＝＋－＝【】＋解析aabaab4.在△ABO中，已知P为线段AB上的一点，且|AP→|＝3|PB→|，试用OA→，OB→表示出OP→为OP→＝14OA→＋34OB→.【解析】OP→＝OA→＋AP→＝OA→＋34AB→＝OA→＋34(OB→－OA→)＝14OA→＋34OB→.5.283()12ABBCCDkkkkABD设，是两个不共线的非零向量，如果＝＋，＝＋，＝－．试确定实数的值，使的取值满足向量＋与向量＋共线；证明：、、三点共线．121212121212eeeeeeeeeeee【解析】(1)若向量ke1＋e2与向量e1＋ke2共线，则存在实数λ，使得ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)成立，即ke1＋e2＝λe1＋λke2，则，解得k＝±1.283()555//.2BDBCCDABBDABBDBDBDABBABD证明：因为＝＋＝＋＋－＝＋，又因为＝＋，所以＝，所以又，有公共点，所以、、三点共线．12121212eeeeeeee本节内容主要从四个方面考查，一是考查向量的有关概念；二是向量加法、减法及数乘，平面向量基本定理的应用；三是共线向量与三点共线问题．在这些方面注意使用数形结合思想解决问题．常用定理与公式：11ABCOAOBOCO三点共线定理：平面上三点、、共线的充要条件是：存在实数、，使＝＋，其中＋＝，为平面内的任意一点．121121.1()(2200)nnnOABMABOMOAOBABCGABBCCAGAGBGCaaaOOAAAAA①平面内有任意三个点、、若是线段的中点，则＝＋；②中，为重心，则＋＋＝；＋＋＝；③有限个向量，，，相加，可以从点出发，逐一作向量＝，＝，，＝12aa1121()nnnnOAOAAAAAOA－则向量即这些向量的和，即＋＋＋＝＋＋＋＝向量加法的多边形法则．n12naaaa当An和O重合时(即上述折线OA1A2…An成封闭折线时)，则和向量为零向量．注意：反用以上向量的和式，即把一个向量表示为若干个向量和的形式，是解决向量问题的重要手段．