1.2 简单多面体

一、多面体我们把若干个平面多边形围成的几何体叫作________．其中棱柱、棱锥、棱台都是___________．各个面都是全等的正多边形的多面体是正多面体；有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体五种。多面体简单多面体二、几种见的简单多面体1（1）棱柱的概念名称定义图形表示棱柱两个面，其余各面都是，并且每相邻两个四边形的公共边都，这些面围成的几何体叫作棱柱侧棱于底面的棱柱叫作斜棱柱侧棱底面的棱柱叫作直棱柱底面是的直棱柱叫作正棱柱互相平行四边形互相平行不垂直垂直于正多边形名称相关概念棱柱底面：两个互相平行的面侧面：除底面外的其余各面棱：相邻两个面的公共边侧棱：相邻两个侧面的公共边顶点：底面多边形与侧面的公共顶点高：与两个底面都垂直的直线夹在两底面间的线段长(2)棱柱的分类①按底面多边形的边数：棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……我们把这样的棱柱分别叫作____________、________、________…….②按侧棱与底面是否垂直：三棱柱四棱柱五棱柱垂直多边形不垂直名称定义图形表示棱锥有一个面是多边形，其余各面都是的三角形，由这些面围成的几何体叫作棱锥；底面是，各侧面的棱锥叫作正棱锥有一个公共顶点正多边形全等2（1）棱锥的概念名称相关概念棱锥底面：棱锥中的多边形面侧面：除底面外的其余各面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：各侧面的公共点高：过顶点作底面的垂线，顶点和垂足间的线段长(2)正棱锥如果棱锥的底面是__________，且各侧面_______，就称作正棱锥，正棱锥的侧面是____________三角形，它的高叫作正棱锥的斜高．(3)分类按底面多边形的边数分：底面是三角形、四边形、五边形……的棱锥分别叫作_____棱锥、______棱锥、_____棱锥…….正多边形全等全等的等腰三四五名称定义图形表示棱台用一个棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫作棱台；用正棱锥截得的棱台叫作，正棱台的侧面是全等的平行于正棱台等腰梯形3（1）棱台的概念名称相关概念棱台底面：原棱锥的底面和截面叫作棱台的下底面和上底面侧面：除底面外的其余各面侧棱：相邻侧面的公共边高：与两个底面都垂直的直线夹在两底面间的线段长(2)正棱台用正棱锥截得的棱台叫作________，正棱台的侧面是全等的等腰梯形，它的高叫作正棱台的斜高．(3)分类按底面多边形的边数分：底面是三角形、四边形、五边形……的棱台分别叫作________棱台、________棱台、________棱台…….正棱台三四五题型一、棱柱的结构特征例1、、一个棱柱是正三棱柱的条件是()A．底面是正三角形B．底面是直角三角形，侧棱与底面垂直C．底面是正三角形，所有侧面都是矩形D．底面是等腰三角形，侧棱与底面垂直C变式训练1、下列说法正确的是()A．棱柱的面中，至少有两个面互相平行B．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面C．棱柱中一条侧棱的长叫作棱柱的高D．棱柱的侧面是平行四边形，底面一定不是平行四边形A题型二、棱锥及棱台的有关概念例2、有一个面是多边形，其余的各面都是三角形的几何体一定是棱锥吗？解：不一定是棱锥．如图的多面体有一个面是四边形，其余的各面都是三角形，但它不是棱锥．变式训练2、棱台不一定具有的性质是()A．两底面相似B．侧面都是梯形C．侧棱长都相等D．侧棱延长后交于一点C题型三、几何体的结构特征例3、如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1.(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？(2)用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱？如果不是，说明理由．解：(1)是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面则底面都是四边形，其余各面都是矩形，当然是平行四边形，并且四条侧棱互相平行．(2)截面BCFE上方部分是棱柱，且是三棱柱BEB1－CFC1，其中△BEB1和△CFC1是底面，截面BCFE下方部分也是棱柱，且是四棱柱ABEA1－DCFD1，其中四边形ABEA1和DCFD1是底面．变式训练3、本例中平面BCFE左侧的几何体A1EFD1－ABCD是棱台吗？为什么？解：不是．因为面ABEA1与面DCFD1平行，故AA1、BE、CF、DD1延长后不能交于一点，也就是说它不是由棱锥截得的．题型四、简单几何体的计算问题例4、一个棱台的上、下底面积之比为4∶9，若棱台的高是4cm，求截得这个棱台的棱锥的高．（1）解：如图所示，将棱台还原为棱锥，设PO是原棱锥的高，O1O是棱台的高，∵棱台的上、下底面积之比为4∶9，∴它们的底面对应边之比A1B1∶AB＝2∶3，∴PA1∶PA＝2∶3.由于A1O1∥AO，∴PA1PA＝PO1PO，即PO－O1OPO＝PO－4PO＝23.∴PO＝12cm，即原棱锥的高是12cm.变式训练4、已知正三棱锥V－ABC，底面边长为8，侧棱长为2√6，计算它的高和斜高．解：如图所示，设O是底面中心，则D为BC的中点，∴△VAO和△VCD是直角三角形．∵底面边长为8，侧棱长为26，∴AO＝33AB＝33×8＝833，CD＝4，∴VO＝VA2－AO2＝262－8332＝236.VD＝VC2－CD2＝262－42＝22.即正三棱锥的高为236，斜高为22.