与角平分线有关的辅助线(经典,加深)

与角平分线有关的辅助线台州市书生中学对应边相等、对应角相等全等形角平分线SSS、SAS、ASA、AAS；HL全等三角形性质定义应用判定全等三角形知识体系既然全等三角形的对应边和对应角都相等。那么今后在证明线段（边）和角相等的问题中，全等就将被作为一个基本方法来使用（但请注意不是唯一的方法），学以致用生活中的对称轴对称等腰三角形等边三角形轴对称图形用坐标表示轴对称利用轴对称变换作图：作轴对称图形轴对称知识体系线段的垂直平分线如图，△ABC≌△DEF，（1）若∠BAC=70°，∠F=80°，则∠B=（2）若AB=6，DF=4,则EF的长度可取下列各数中的哪个值？（）（A）1（B）2（C）9（D）11（3）若△ABC的面积为24，则△DEF的面积为（４）若AG是△ABC的一条中线，DH是△DEF的一条中线，且AG=5，则DH=30°C2470°80°5BACDEF64GH例：已知，AC、BD相交于O，BO=DO，CO=AO，过O任作一直线EF分别交BC、AD于E、F，求证：OE=OF。OFEDCBABO=DO，∠BOC=∠DOA（对顶角相等）CO=AO∴△BOC≌△DOA（SAS）∴∠B=∠D（全等三角形的对应角相等）OB=OD，∠BOE=∠DOF∴△BOE≌△DOF（ASA）∴OE=OF（全等三角形的对应边相等）证明：在△BOE与△DOF中∠B=∠D在△BOC与△DOA中须两次全等。如图，在ΔABC中，AD平分∠BAC,BD=CD,求证：∠B=∠C证明：作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E﹑F∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°在Ｒｔ△BDE和Ｒｔ△CDF中BD＝CDDE＝DF∴Ｒｔ△BDE≌Ｒｔ△CDF∴∠B=∠CFE如图，∠B＝∠C＝90°，E是BC中点，DE平分∠ADC，求证（1）AE平分∠DAB，（2）AB＋CD＝AD，（3）AE⊥DE。证明：作EF⊥AD垂足为F∵DE平分∠ADCEF⊥AD，∠C＝90°∴EF＝EC∵E是BC中点∴EC＝EB∴EF＝EB∵EF⊥AD，∠B＝90°∴AE平分∠DAB例4.如图，AB∥CD,，AE平分∠DAB，DE平分∠ADC。求证：AB＋CD＝AD,E是BC中点.证明：在DA上截取DF＝DC，连结EF辅助线做法一：向角的两边作垂线段（利用角平分线性质），自角平分线一点，，是一种常见的。归纳：当题目的条件出现于某个角的平分线时，可在这个角的两边截取相等的线段，利用角的轴对称性构造全等三角形，也是一种常用的辅助线。例3.如图所示，在四边形ABCD中，AB﹥AD，AC平分∠BAD；∠B﹑∠ADC互补求证：CD＝BC证明：作CE⊥AD，交AD延长线于E作CF⊥AB，垂足为F∵AC平分∠BAC，CE⊥AD，CF⊥AB∴CE＝CF，∠CED＝∠CFB＝90°∵∠B与∠ADC互补∴∠B＋∠ADC＝180°∵∠CDE＋∠ADC＝180°∴∠CDE＝∠B在△CED和△CFB中∠CED＝∠CFB∠CDE＝∠BCE＝CF∴△CED≌△CFB∴CD＝BC例5.如图所示，在四边形ABCD中AB﹥AD，AC平分∠BAD，∠B与∠D互补。求证：CD＝BC。证明：在AB上截取AE＝AD，连结CE∵AC平分∠BAD∴∠DAC＝∠BAC在△ADC和△AEC中AD＝AE∠DAC＝∠BACAC＝AC∴△ADC≌△AEC∴CD＝CE，∠D＝∠AEC∵∠B与∠D互补∴∠B＋∠D＝180°∵∠AEC＋∠CEB＝180°∴∠CEB＝∠B∴CE＝CB∴CD＝BC例6.如图，点P是△ABC的角平分线AD上任一点，且AB﹥AC。求证：PB－PC﹤AB－AC例7.如图所示，AB∥CD，E是BC中点，DE平分∠ADC求证：AE平分∠BAD。BCADFE例8：如图，AB＝AC，∠A＝90°，BD平分∠ABC，CE⊥BD，交BD的延长线为E。求证：BD＝2CE例9：已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD,D为垂足，ABAC。求证：∠2=∠1+∠BABCED213归纳:利用角的轴对称性作角平分线的垂线，构造一对全等三角形（等腰三角形），又是与角平分线有关的一种添加辅助线的方法。小结1.全等三角形和轴对称的基础知识2.与角平分线有关的辅助线（常见有三种）。:（1）基于角平分线的性质作辅助线。（2）基于以角平分线为对称轴而作的辅助线。（3）基于等腰三角形的“三线合一”性质而作的辅线。三.用坐标表示轴对称小结：在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数.关于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等.点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为______.点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为______.(x,－y)(－x,y)4、轴对称的性质：①关于某直线对称的两个图形是全等形。②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。③轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。1、什么叫线段垂直平分线？经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。2、线段垂直平分线有什么性质？线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等（纯粹性）。你能画图说明吗？线段的垂直平分线3.逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上。（完备性）利用轴对称变换作图：如图：要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道什么地方，可使所用的输气管道线最短？ABLP等边三角形1.等边三角形的性质：等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于600。2、等边三角形的判定：①三个角都相等的三角形是等边三角形。②有一个角是600的等腰三角形是等边三角形。3.在直角三角形中，如果一个锐角等于300，那么它所对的直角边等于斜边的一半。