您好,欢迎访问三七文档
当前位置:首页 > 电子/通信 > 综合/其它 > 极坐标系与简单曲线的极坐标方程
坐标系与参数方程【知识要点】1.平面直角坐标系中的伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:_______________的作用下,点P(x,y)对应到点P′(x′,y′),称φ为平面直角坐标系中的_______________,简称伸缩变换.坐标伸缩变化(0)(0)xxyuyu极坐标系与简单曲线的极坐标方程2.极坐标系与点的极坐标在平面上取一个定点O,自点O引一条射线Ox,同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向),这样就建立了一个极坐标系.其中,点O称为极点,射线Ox称为极轴.设M是平面上任一点,ρ表示OM的长度,θ表示以射线Ox为始边,射线OM为终边所成的角.那么,有序数对____________称为点M的极坐标.显然,每一个有序实数对(ρ,θ)决定一个点的位置.其中,ρ称为点M的_________,θ称为点M的_________.由极径的意义可知ρ≥0,当极角θ的取值范围是[0,2π)时,平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ,θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系,我们约定,极点的极坐标是极径ρ=0,极角θ可取任意角.(ρ,θ)极径极角3.坐标之间的互化(1)点的极坐标和直角坐标的互化以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,且在两种坐标系中取相同的长度单位(如图).平面内任意一点P的直角坐标与极坐标分别为(x,y)和(ρ,θ),则由三角函数的定义可以得到如下两组公式:______________,_____________________.通常情况下,将点的直角坐标化为极坐标时,取ρ≥0,0≤θ2π.cossinxy222tan0xyyx4.直线的极坐标方程(1)特殊位置的直线的极坐标方程:直线极坐标方程图形过极点倾斜角为αθ=_____(ρ∈R)或θ=_____(ρ∈R)(θ=α和θ=π+α(ρ≥0))过点(a,0),与极轴垂直________=a-π2θπ2过点a,π2,与极轴平行______=a(0θπ)απ+αρcosθρsinθ(2)一般位置的直线的极坐标方程:若直线l经过点M(ρ0,θ0),且极轴到此直线的角为α,直线l的极坐标方程为:__________________________________.00sinsin5.半径为r的圆的极坐标方程(1)特殊位置的圆的极坐标方程:圆心极坐标方程图形(0,0)ρ=_______(0≤θ2π)(r,0)ρ=________r,π2ρ=2rsinθ(0≤θπ)(r,π)ρ=-2rcosθπ2≤θ3π2r,3π2ρ=-2rsinθ(π≤θ2π)22r2rcosθ(2)一般位置圆的极坐标方程:若圆心为M(ρ0,θ0),半径为r,则圆的极坐标方程是ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+ρ02-r2=0.例1在同一平面直角坐标系中,曲线C经过伸缩变换x′=3x,y′=y后变为曲线C′:x′2+9y′2=9.在以此直角坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,动点M的极坐标(ρ,θ)满足方程ρsinθ+π4=3,设点P为曲线C上一动点,则|PM|的最小值是____.2例2(1)已知曲线C与曲线ρ=53cosθ-5sinθ关于极轴对称,则曲线C的方程为______________.ρ=10cosθ-π6(2)圆ρ=a(a0)上有两个动点P,Q同时自圆上定点A(a,0)出发,按逆时针方向作匀角速运动,点P的角速度为ω,点Q的角速度为2ω,则线段PQ中点M的轨迹的极坐标方程为____________.ρ=acosθ3例3在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为ρcosθ-π3=1,M,N分别为C与x轴、y轴的交点.(1)写出C的直角坐标方程,并求M、N的极坐标;(2)设MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程.例4(2014天津)在以O为极点的极坐标系中,圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A,B两点.若△AOB是等边三角形,则a的值为____.3例5.(15年广东)已知直线l的极坐标方程为24sin(2)π,点A的极坐标为722,4A,则点A到直线l的距离为1.点M(ρ,θ)的极坐标通式是(ρ,θ+2kπ)或(-ρ,θ+2kπ+π)(k∈Z).如果限定ρ0,0≤θ2π或-πθ≤π,那么除极点外,平面内的点和极坐标(ρ,θ)一一对应.2.极坐标和直角坐标的互化公式是x=ρcosθy=ρsinθ或ρ2=x2+y2tanθ=yx(x≠0).这两组公式必须满足下面的“三个条件”才能使用:(1)原点与极点重合;(2)x轴正半轴与极轴重合;(3)长度单位相同.极坐标和直角坐标的互化中,需注意等价性3.极坐标方程的应用及求法(1)合理建立极坐标系,使所求曲线方程尽量简单.(2)巧妙利用直角坐标系与极坐标系中坐标之间的互化公式,把问题转化为熟悉的知识解决问题.(3)利用解三角形方法中正弦定理、余弦定理列出关于极坐标(ρ,θ)的方程是求极坐标系曲线方程的法宝.(4)极坐标系内点的对称关系:①点P(ρ,θ)关于极点的对称点P′(ρ,θ±π);②点P(ρ,θ)关于极轴所在直线的对称点P′(ρ,-θ);③点P(ρ,θ)关于直线θ=π2的对称点为P′(ρ,π-θ);④点P(ρ,θ)关于直线θ=π4的对称点为P′ρ,π2-θ.4.极坐标系下A(ρ1,θ1),B(ρ2,θ2)间的距离公式|AB|=ρ21+ρ22-2ρ1ρ2cos(θ1-θ2).【知识要点】1.参数方程的定义在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标(x,y)都是某个变数t的函数,即________________,并且对于t的每一个允许值,由该方程组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么此方程组就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x,y的变数t叫做参变数,简称参数.对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程F(x,y)=0叫做普通方程.()()xftygt2.参数方程和普通方程的互化由参数方程化为普通方程:_____________,消参数的方法有代入法、加减(或乘除)消元法、三角代换法等.如果知道变数x,y中的一个与参数t的关系,例如x=f(t),把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系y=g(t),那么x=f(t)y=g(t)就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y的取值范围保持一致.消去参数3.直线、圆锥曲线的普通方程和参数方程轨迹普通方程参数方程直线y-y0=tanα(x-x0)x=x0+tcosθy=y0+tsinθ(t为参数)圆(x-a)2+(y-b)2=r2x=a+rcosθy=b+rsinθ(θ为参数)椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)x=acosθy=bsinθ(θ为参数)双曲线x2a2-y2b2=1x=asecθy=btanθ(θ为参数)抛物线y2=2px(p0)x=2pt2y=2pt(t为参数)例1已知两曲线的参数方程分别为x=5cosθ,y=sinθ(0≤θπ)和x=54t2,y=t(t∈R),求它们的交点坐标.例2将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.(1)写出C的参数方程;(2)设直线l:2x+y-2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极坐标建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.例3已知曲线C1:x=-4+costy=3+sint(t为参数)和曲线C2:x=8cosθy=3sinθ(θ为参数).(1)化C1,C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;(2)若C1上的点P对应的参数为t=π2,Q为C2上的动点,求PQ中点M到直线l:x=3+2ty=-2+t(t为参数)距离的最小值.例4过点P102,0作倾斜角为α的直线与曲线x2+2y2=1交于点M,N,求PM·PN的最小值及相应α的值.1.选取参数时的一般原则是:(1)x,y与参数的关系较明显,并列出关系式;(2)当参数取一值时,可唯一的确定x,y的值;(3)在研究与时间有关的运动物体时,常选时间作为参数;在研究旋转物体时,常选用旋转角作为参数;此外,也常用线段的长度、倾斜角、斜率、截距等作为参数.2.求曲线的参数方程常常分成以下几步:(1)建立直角坐标系,在曲线上设任意一点P(x,y);(2)选择适当的参数;(3)找出x,y与参数的关系,列出解析式;(4)证明(常常省略).3.根据直线的参数方程标准式中t的几何意义,有如下常用结论:(1)若M1,M2为l上任意两点,M1,M2对应t的值分别为t1,t2,则|M1M2|=|t1-t2|;(2)若M0为线段M1M2的中点,则有t1+t2=0;(3)若线段M1M2的中点为M,则M0M=tM=t1+t22.一般地,若点P分线段M1M2所成的比为λ,则tP=t1+λt21+λ.4.直线的参数方程的一般式x=x0+aty=y0+bt(t为参数),是过点M0(x0,y0),斜率为ba的直线的参数方程.当且仅当a2+b2=1且b≥0时,才是标准方程,t才具有标准方程中的几何意义.将非标准方程x=x0+aty=y0+bt化为标准方程是x=x0±|a|a2+b2t′y=y0+|b|a2+b2t′(t′∈R),式中“±”号,当a,b同号时取正;当a,b异号时取负.5.参数方程与普通方程互化时,要注意:(1)不是所有的参数方程都能化为普通方程;(2)在化参数方程为普通方程时变量的范围不能扩大或缩小;(3)把普通方程化为参数方程时,由于参数选择的不同而不同,参数的选择是由具体的问题来决定的.6.在已知圆、椭圆、双曲线和抛物线上取一点可考虑用其参数方程设定点的坐标,将问题转化为三角函数问题求解.7.在直线与圆和圆锥位置关系问题中,涉及距离问题探求可考虑应用直线参数方程中参数的几何意义求解.8.在求某些动点的轨迹方程时,直接寻找x,y的关系困难,甚至找不出时,可以通过引入参数,建立动点的参数方程后求解.1.(2014安徽)以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位,已知直线l的参数方程是x=t+1,y=t-3(t为参数),圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ,则直线l被圆C截得的弦长为()A.14B.214C.2D.22D2.(2014福建)已知直线l的参数方程为x=a-2t,y=-4t(t为参数),圆C的参数方程为x=4cosθ,y=4sinθ(θ为参数).(1)求直线l和圆C的普通方程;(2)若直线l与圆C有公共点,求实数a的取值范围.3.已知点P(3,m)在以点F为焦点的抛物线x=4t2,y=4t(t为参数)上,则PF=____.43.在直角坐标系xOy中,圆C1:x2+y2=4,圆C2:(x-2)2+y2=4.(1)在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆C1,C2的极坐标方程,并求出圆C1,C2的交点坐标(用极坐标表示);(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程.4.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=2cosαy=2+2sinα(α为参数),M是C1上的动点,P点满足OP→=2OM→,P点的轨迹为曲线C2.(1)求C2的参数方程;(2)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线θ=π3与C1的异于极点的交点为A,与C2的异于极点的交点为B,求|AB|.
本文标题:极坐标系与简单曲线的极坐标方程
链接地址:https://www.777doc.com/doc-3713838 .html