2016辽宁现代服务职业技术学院单招数学模拟试题(附答案解析)

考单招——上高职单招网2016辽宁现代服务职业技术学院单招数学模拟试题(附答案解析)一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的．1．设a、b、c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则（）①（a·b）c-（c·a）b＝0②|a|-|b|＜|a-b|；③（b·c）a-（c·a）b不与c垂直；④（3a＋2b）·（3a-2b）＝9|a|-4|b|．其中的真命题是（）A．②④B．③④C．②③D．①②2．若直线mx＋ny＝4和⊙O∶没有交点，则过（m，n）的直线与椭圆的交点个数（）A．至多一个B．2个C．1个D．0个3．将正方形ABCD沿对角线BD折成120°的二面角，C点到处，这时异面直线AD与所成角的余弦值是（）A．B．C．D．4．现用铁丝做一个面积为1平方米、形状为直角三角形的框架，有下列四种长度的铁丝各一根供选择，其中最合理（即够用，浪费最少）的一根是（）．A．4.6米B．4.8米C．5.米D．5.2米5．在△ABC中，＝5，＝3，＝6，则＝（）考单招——上高职单招网A．13B．26C．D．246．一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积与半球的体积恰好相等，则圆锥轴截面顶角的余弦值是（）A．B．C．D．7．已知双曲线的离心率，．双曲线的两条渐近线构成的角中，以实轴为角平分线的角记为，则的取值范围是（）．A．，B．，C．，D．，8．已知函数为偶函数＜＜，其图像与直线y＝2的某两个交点横坐标为，，的最小值为，则（）A．，B．，C．，D．，9．过抛物线的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则等于（）A．10B．8C．6D．410．（理）一个直角三角形的三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为（）A．B．考单招——上高职单招网C．D．（文）一个直角三角形的三内角的正弦成等比数列，则公比的平方为（）A．B．C．D．11．（理）参数方程为参数且0＜＜表示（）A．过点（1，）的双曲线的一支B．过点（1，）的抛物线的一部分C．过点（1，）的椭圆的一部分D．过点（1，）的圆弧（文）关于不等式的解集为（）A．B．C．D．12．若，则，，的大小关系是（）A．B．考单招——上高职单招网C．D．二、填空题：本题共4小题，共16分，把答案填在题中的横线上13．是定义在实数有R上的奇函数，若x≥0时，，则________．14．若点P（，）在直线上上，则________．15．用一个与正方体的各面都不平行的平面去截正方体，截得的截面是四边形的图形可能是下列选项中的________（把所有符合条件的图形序号填入）．①矩形②直角梯形③菱形④正方形16．某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心F为焦点的椭圆，测得近地点A距离地面，远地点B距离地面，地球半径为，关于这个椭圆有以下四种说法：①焦距长为；②短轴长为；③离心率；④若以AB方向为x轴正方向，F为坐标原点，则与F对应的准线方程为，其中正确的序号为________．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）某厂规定，如果工人在第一季度里有1个月完成产生任务，可得奖金90元；如果有2个月完成任务，可得奖金210元；如果有3个月完成任务，可得奖金330元；如果三个月都未完成任务，则没有奖金．假设某工人每个月完成任务与否是等可能的，求此工人在第一季度里所得奖金的期望．18．（12分）无穷数列的前n项和，并且≠．考单招——上高职单招网（1）求p的值；（2）求的通项公式；（3）作函数，如果，证明：．甲、乙任选一题，若甲乙均解答，则只按19（甲）评分．19．（12分）（甲）如图，已知斜三棱柱的侧面⊥底面ABC，∠ABC＝90°，BC＝2，AC＝，又⊥，＝．（1）求侧棱与底面ABC所成的角的大小；（2）求侧面与底面所成二面角的大小；（3）求点C到侧面的距离．（乙）在棱长为a的正方体中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF．（1）求证：；考单招——上高职单招网（2）当三棱锥的体积取得最大值时，求二面角的大小（结果用反三角函数表示）．20．（12分）在抛物线上存在两个不同的点关于直线l；y＝kx＋3对称，求k的取值范围．21．（12分）某地区预计明年从年初开始的前x个月内，对某种商品的需求总量（万件）与月份x的近似关系为：，且．（1）写出明年第x个月的需求量（万件）与月x的函数关系，并求出哪个月份的需求量最大，最大需求量是多少？（2）如果将该商品每月都投放市场p万件（销售未完的商品都可以在以后各月销售），要保证每月都足量供应，问：p至少为多少万件？22．（14分）已知函数的定义域为[，]，值域为，，并且在，上为减函数．（1）求a的取值范围；（2）求证：；（3）若函数，，的最大值为M，求证：考单招——上高职单招网参考答案1．A2．B3．D4．C5．B6．D7．C8．A9．B10．C（文、理）11．B（文理）12．C13．-114．-215．①③④16．①③④17．设：该工人在第一季度完成任务的月数，：该工人在第一季度所得奖金数，则与的分布列如下：∴．答：该工人在第一季度里所得奖金的期望为153.75元．18．（1）∵∴，且p＝1，或．若是，且p＝1，则由．∴，矛盾．故不可能是：，且p＝1．由，得．又，∴．（2）∵，，考单招——上高职单招网∴．．当k≥2时，．∴n≥3时有．∴对一切有：．（3）∵，∴．．故．∴．又．∴．故．19．（甲）（1）∵侧面底面ABC，∴在平面ABC上的射影是AC．与底面ABC所成的角为∠．考单招——上高职单招网∵，，∴∠＝45°．（2）作⊥AC于O，则⊥平面ABC，再作OE⊥AB于E，连结，则，所以∠就是侧面与底面ABC所成二面角的平面角．在Rt△中，，，∴．60°．（3）设点C到侧面的距离为x．∵，∴．（*）∵，，∴．又，∴．又．∴由（*）式，得．∴（乙）（1）证明：如图，以O为原点建立空间直角坐标系．设AE＝BF＝x，则（a，0，a），F（a-x，a，0），（0，a，a），E（a，x，0），∴（-x，a，-a），考单招——上高职单招网（a，x-a，-a）．∵，∴．（2）解：记BF＝x，BE＝y，则x＋y＝a，则三棱锥的体积为．当且仅当时，等号成立，因此，三棱锥的体积取得最大值时，．过B作BD⊥BF交EF于D，连结，则．∴∠是二面角的平面角．在Rt△BEF中，直角边，BD是斜边上的高，∴在Rt△中，tan∠．故二面角的大小为．20．∵k＝0不符合题意，∴k≠0，作直线：，则．考单招——上高职单招网∴满足条件的由消去x，得，．．（*）设，、、，则．又．∴．故AB的中点，．∵l过E，∴，即．代入（*）式，得21．（1）．当x≥2时，考单招——上高职单招网．∴，且．∵．∴当x＝12-x，即x＝6时，（万件）．故6月份该商品的需求量最大，最大需求量为万件．（2）依题意，对一切{1，2，…，12}有．∴（x＝1，2，…，12）．∵∴．故p≥1.14．故每个月至少投放1.14万件，可以保证每个月都保证供应．22．（1）按题意，得．∴即．考单招——上高职单招网又∴关于x的方程．在（2，＋∞）内有二不等实根x＝、．关于x的二次方程在（2，＋∞）内有二异根、．．故．（2）令，则．∴．（3）∵，∴．∵，∴当（，4）时，；当（4，）是．又在[，]上连接，考单招——上高职单招网∴在[，4]上递增，在[4，]上递减．故．∵，∴0＜9a＜1．故M＞0．若M≥1，则．∴，矛盾．故0＜M＜1．