蒙特卡罗模拟

蒙特卡罗(Monte－Carlo)模拟，又称蒙特卡罗方法、统计试验法等.M－C模拟是静态模拟，描述特定时间点上的系统行为.模拟过程中不出现时间参数。基本思想:把随机事件（变量）的概率特征与数学分析的解联系起来.概率特征：随机事件的概率和随机变量的数学期望等.用试验方法确定一.蒙特卡罗法计算定积分例7.3.1用M－C模拟求圆周率π的估计值.110设二维随机变量(X,Y)在正方形内服从均匀分布.(X,Y)落在圆内的概率为:4}1{22YXP计算机上做n次掷点试验：产生n对二维随机点(xi，yi)，i＝1,2,…,n.xi和yi是RND随机数对.检查每对随机数是否满足:122iiyx相当于第i个随机点落在1/4圆内.若有k个点落在l／4圆内随机事件“点落入1/4圆内”的频率为k/n根据概率论中的大数定律,事件发生的频率依概率收敛于事件发生的概率p，即有1}{limpPnkn得圆周率π的估计值为nk4ˆ且当试验次数足够大时,其精度也随之提高.分析：实际上概率值为41102dxx恰为1/4圆的面积频率法：利用随机变量落进指定区域内的频率来计算定积分.平均值法：利用随机变量的平均值(数学期望)来计算定积分.badxxfI)(平均值法的算法如下：(1)产生RND随机数：r1，r2，…，rn；（2）令ui=a＋(b－a)ri，i=1，2，…，n；（3）计算作为I的估计值.niiufnab1)(原理分析：设随机变量ζ1，ζ2，…，ζn相互独立，且ζi～U(0,1){f(ξi)}，i=1，2，…，n相互独立同分布abIdxxfabfEbai)(1)]([由(强)大数定律知..)(1lim1eaabIfnniin以概率为1成立当n足够大时，得近似公式：niinbafabdxxfI11)()()(注：平均值法本质上是用样本平均值作为总体教学期望的估计。二.蒙特卡罗模拟试验次数的确定M－C模拟是一种试验近似方法,试验次数如何确定？？希望：模拟次数较少、模拟精度较高频率法的讨论用事件A出现的频率作为概率p的估计:nkpnˆ问题：试验次数n多大时，对给定的置信度1－α（0α1），估计精度达到ε.即问：取多大的n使1ˆpnkPppPn成立？证明频率法是事件A出现的频率作为概率p的估计nkpnˆ答案：22)1(zppn其中,zα是正态分布的临界值.n次独立试验中A出现的次数kn～B(n,p).由中心极限定理知)()(ˆpnkpnPppPn)1()1()1(pnpnpnpnpkpnpnPn))1(())1((pnpnpnpn1))1((2pnpn11))1((2pnpn令平均值法在给定α和ε下所需的试验次数的估计式为01202222)(11/niixxnSSzn查得正态分布的临界值zα,可解得22)1(zppn试验次数估计式的分析01202222)(11/niixxnSSzn为估计概率p做模拟,却又需要用p去估计模拟次数n.如何计算S2？解决方法：先做n0次模拟（称为学习样本)，根据学习样本.（1）先求出p的估计，再估计模拟次数n:22)1(.1zppn22)ˆ1(ˆzppn（2）计算出的样本方差S2,用来估计n.2.M－C模拟的估计精度ε与试验次数n的平方根成反比,若精度ε提高10倍,则试验次数n要增大100倍.P197表8.2中列出了置信度为0.95时,在不同精度ε及概率p条件下频率法所需试验次数。对该表进行分析，能得到什么结论？1.精度提高，试验次数大幅提高；2.事件发生概率越接近0.5，试验次数越高；核反应堆屏蔽层是用一定厚度的铅包围反应堆，用以阻挡或减弱反应堆发出的各种射线.在各种射线中,中子对人体伤害极大，因此，在屏蔽层的设计中,了解中子穿透屏蔽层的概率对反应堆的安全运行至关重要.例7.3.2核反应堆屏蔽层设计问题1.问题背景假定屏蔽层是理想的均匀平板一个中子进入屏蔽层后运动的物理过程:中子以初速度v0和方向角α射入屏蔽层,运动一段距离后与铅核发生碰撞，中子获得新的速度及方向(v1,θ1).再游动一段距离后,与铅核发生第二次碰撞,并获得新的状态(v2,θ2),如此等等,经过若干次碰撞后,出现下述情况之一时中子终止运动过程1）中子被弹回反应堆；2）中子穿透屏蔽层；3）第n次碰撞后,中子被屏蔽层吸收.D返回穿透吸收三种状态为使屏蔽层的厚度达到安全设计要求,在计算机上对中子在屏蔽层的运动过程进行模拟阐述中子的运动，为模拟做理论准备2.简化假设：*1假定屏蔽层平行板厚度为D=3d，其中d为两次碰撞之间中子的平均游动距离；*2假设在第10次碰撞以后，中子速度下降到为某一很小数值而终止运动（被引收）.因每次碰撞后,中子因损失一部分能量而速度下降.*3假定中子在屏蔽层内相继两次碰撞之间游动的距离服从指数分布；*4中子经碰撞后的弹射角θ～U(0,2π).思考：请仔细分析以上假设的合理性.3.中子运动的数学描述引进变量：弹射角θi—第i次碰撞后中子的运动方向与x轴正向的夹角.xi—第i次碰撞后中子所处位置与屏蔽层内壁的距离.Ri—中子在第i次碰撞前后的游动距离.DD0xxiθi三个变量均为随机变量中子在屏蔽层里随机游动,第i次碰撞以后,按照它的位置坐标xi，可能有以下三种情况发生：（1）xi0，中子返回反应堆；（2）xi＞D，中子穿透屏蔽层；经过第i次碰撞，中子在屏蔽层内的位置是xi=xi－1+Ricosθi，i=1，2，…，10，（3）0＜xi＜D，若i10，中子在屏蔽层内继续运动,若i=10中子被屏蔽层吸收.中子三状态判别准则4.模拟过程(1)产生RND随机数对(ri,ui)；(2)将(ri,ui)代入公式计算,2,lniiiiurdR第i次中子的移动距离和弹射角(i=1,2,3，…，10)(3)将(Ri,θi)代入公式xi=xi－1+Ricosθi，i=1，2，…，10计算出第i次碰撞中子与内壁的距离xi.(4)判断中子是否穿透屏蔽层.5.模拟结果分析要求穿透屏蔽层的概率数量级为10－6～10－10,按假设条件得到一次模拟结果如下：中子数(个)穿透(%)吸收(%)返回(%)10010003000500030.026.026.526.328.023.421.822.042.050.651.751.7中子穿透屏蔽层的百分比超过了1/4,模拟结果表明屏蔽层厚度D=3d不合适.多厚的屏蔽层才能使穿透的概率W＜10－6？问题：如何解决这个问题？思路？1.计算机收索法增大屏蔽层的厚度，如D=6d、12d、24d、36d，…，交由计算机进行模拟,并搜索到所求解.2.分析法12m……DDD设计屏蔽层的厚度：x=mD将屏蔽层视为m层厚度均为D的平行板.由于碰撞的能量损失,中子穿过屏蔽层的平均速度会逐层下降.设WD是中子穿过厚度为D屏蔽层的概率,则穿过整个屏蔽层的概率W满足mDWW利用模拟结果：当D=3d，WD≈0.25，令(WD)m＜10－6，或(m)4＞106967.9602.064log10log6m取屏蔽层的厚度x=10D=30d，可使穿透屏蔽层的概率w＜10－6注：模拟5000个中子的运动,用穿透屏蔽的频率估计穿透概率,由表8.2可知精度大约只有1％,模拟精度太低,应适当增大模拟次数.总结：模拟的意义？1.模拟方法本质上是试验性的,模拟系统是现实系统的仿真.例中每模拟一次相当于对一个中子的运动做一次“试验”或“观察”.2.是对思维结果的一种验证.3.模拟本质上是一种求解问题的试验方法,需要进行较多次数的重复模拟,并且对试验结果还需进行统计分析.4.上千万次的模拟计算工作可以借助计算机完成,而且运算速度是非常快.