坐标表示法

一、平面向量复习⒈定义：既有大小又有方向的量叫向量．几何表示法：用有向线段表示；相等的向量：长度相等且方向相同的向量．ABCD坐标表示法：2121,,,axyABxxyyCDCDCD字母表示法：用字母a、b等或者用有向线段的起点与终点字母表示．AB2、平面向量的加法、减法与数乘运算向量加法的三角形法则ab向量加法的平行四边形法则ba向量减法的三角形法则aba(λ0)λa(λ0)λ向量的数乘a3、平面向量的加法与数乘运算律abbaaab()()abcabc()abab＋aa加法交换律：加法结合律：数乘分配律：数乘结合律：000a特别地推广:向量求和的多边形法则（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；12233411nnnAAAAAAAAAA（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量。12233410nAAAAAAAA（3）△ABC中，D为BC中点，则1AD=AB+AC2ADCB二、空间向量及其线性运算⒈空间向量：⑴定义：空间中具有大小和方向的量叫做向量．例如:空间中点的一个位移就是一个向量.⑵表示方法：,,abc①字母表示:②几何表示:有向线段AB212121,,,,,axyzABxxyyzz③坐标表示:a注意：两个向量的模可以比较大小（模为非负实数），但两个向量不可以比较大小。⑷向量的基线：表示空间向量的有向线段所在的直线叫做向量的基线。注意：基线是直线，不是线段，每一个向量都对应一条基线，而不同的向量可以有相同的基线。⑶向量的模(长度):表示向量的有向线段的长度叫向量的模,又叫向量的长度。记作aaAB⑸几个常见的特殊向量：①相等向量：空间中同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量，即大小、方向相同的两个向量；说明：1、向量不仅可以在平面上平移，还可以在空间中平移，一个向量在平移后和平移前的两个向量是相等向量，但这两个向量的基线不同。2、空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，用这个平面内的两条有向线段表示。②零向量：起点与终点重合的向量叫零向量。记作：。零向量的模长为0，零向量的方向是任意的。000aa④相反向量：模长相等，方向相反的两个向量叫相反向量。,aaaa③单位向量：模长为1的向量叫单位向量。1aa是单位向量⑤平行向量（共线向量）：如果空间中的一些向量的基线互相平行或重合，则这些向量叫平行向量或共线向量。记作：//ab规定：零向量与任意向量平行（共线）说明：平行（共线）向量的基线平行或重合，不同向量的基线可能相同。平行向量就是共线向量。aa思考:空间向量的运算系统?空间中任意两个向量的和、差、数乘运算法则和运算律??类比推理和化归的数学思想。平面空间⒉空间向量的线性运算：⑴空间向量的加法：abOCOAOBbaabACbBO说明：①空间中的任意两个向量的加法运算，都可以转化为共面向量，利用平行四边形法则和三内角形法则解决。②由于O点的选取是任意的，所以空间向量的加法运算与O点的位置选取无关。减法是加法的逆运算⑵空间向量的减法：⒉空间向量的线性运算：ABOBOAbaaAbBO-aB（后-前，指向被减向量）⑶空间向量的数乘运算：aa0aPO0aP当时，与共线同向。0aa当时，与共线反向。a0a当时，00a⒊空间向量加法与数乘向量运算律：abba()()abcabc(),()ababaaa⑵加法结合律：⑶数乘分配律：bcabc⑴加法交换律：a()()aa(4)数乘结合律：有限个向量求和，交换相加向量的顺序其和不变。对空间向量的加法、减法与数乘向量的说明空间向量的运算就是平面向量运算的推广。要会类比平面向量的有关结论对空间向量作出推广。4.四个重要结论:⑴空间向量加法的多边形法则：空间中首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：封口向量12233411nnnAAAAAAAAAA1A2A3A4A1nAnA⑵空间中首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则这些向量的和向量为零向量。即：4.四个重要结论:122334110nnnAAAAAAAAAA1A2A3A4AnA1nA4.四个重要结论:⑶有限个向量求和，交换相加向量的顺序其和不变。⑷空间向量的平行六面体法则：三个不共面向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的对角线AC’表示的向量。（是平面向量加法的平行四边形法则在空间中的推广）A1B1C1D1ABCDabcabc课堂演练：⑴空间向量概念剖析例1：判断下列命题是否正确？在空间中：①向量与是共线向量,则A、B、C、D四点共线。ABCD②任一向量与它的相反向量不相等。③ABCD是平行四边形的充要条件是ABDC④零向量没有方向。⑥与共线，与不共线，则与也不共线。abbcac⑦向量与不共线，则与都是非零向量。abab⑤平行向量，若起点不同，则终点也不同。⑧将空间中的所有单位向量平移到同一个起点,则它们的终点构成一个球面。⑨空间向量就是空间中的一条有向线段。⑩不相等的两个空间向量的模必不相等。例1：判断下列命题是否正确？在空间中：1ABBC⑴DD；1ABADAA⑵；112ABADCC⑶11()3ABADAA⑷．ABCDA1B1C1D1⑵空间向量化简运算：1152ABADDDBC例2已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：1BD1ACAE113ACAOEO例3：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1111111(2)2(3)ADBDxACACABADxAC1111(1)ABADCCxAC1x例3：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D111(2)2ADBD111ADADBD111()ADBCBD111ADDC1AC111(2)2ADBDxAC1.x解：例3：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的x的值。11(3)ACABAD11()()()ADABAAABAAAD12()ADABAA12AC2.x111ACABADxAC⑶解：ABCDA1B1C1D1例4、如图，M、N分别是四面体ABCD的棱AB、CD的中点，求证：1MN=AD+BC2ABDCMNH证法1：证法2：取BD中点H，连MH、NH2,12MNMAADDNMNMBBCCNMNADBCMAMBDNCNMNADBC112122MHADMNMHHNADBCHNBC例5、证明：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分。AA1DCBB1C1D1O证明:如图,设O是平行六面体ABCD-A1B1C1D1中对角线AC1的中点,则111122AOACABADAA112AMABADAA设P、M、N分别是BD1、CA1、DB1的中点，则112APABBPABADAA112ANABADAA故O、P、M、N四点重合。平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分。平面向量概念加法减法数乘运算运算律定义表示法相等向量减法:三角形法则加法:三角形法则或平行四边形法则空间向量具有大小和方向的量数乘:λa，λ为正数,负数,零()abab＋()()abcabcabba加法交换律加法结合律数乘分配律小结abba加法交换律()abab＋数乘分配律()()abcabc加法结合律类比、数形结合数乘:λa,λ为正数,负数,零ABMCGD1(1)()21(2)()2ABBCBDAGABAC练习1在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简ABMCGD1(1)()21(2)()2ABBCBDAGABAC(1)ABBMMGAG原式＝1()2ABBMMGABAC＝(2)原式1()2BMMGABAC＝MGBMMGMB＝练习1在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简ABCDD1C1B1A111(1)()ACxABBCCC1(2)AEAAxAByAD练习2在立方体AC1中,点E是面A1C1的中心,求下列各式中的x,y.E解：（1）1x练习2在立方体AC1中,点E是面A1C1的中心,求下列各式中的x,y.1(2)AEAAxAByADABCDD1C1B1A1E（2）12xy