北师大版走向高考数学专题整合三角函数三角恒等变形解三角形

走向高考·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索北师大版·高考一轮总复习第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学第四章专题整合第四章专题整合走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学知识网络题型归类第四章专题整合走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学知识网络第四章专题整合走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学第四章专题整合走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学三角函数综合应用，主要是指三角函数与函数、平面几何、平面向量等知识的综合应用及三角函数在解决实际问题中的应用．三角函数与其他数学知识都有着密切的联系，为此，对三角函数的综合运用问题，应该在复习中给予足够的重视．第四章专题整合走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学三角函数不仅常和其他的数学知识，(如函数、几何、向量等)相结合命题，而且也常和其他学科及现实生活中的实际问题相结合命题，并随着新课程改革的深入，逐渐成为新课标高考的一个热点，三角函数与其他数学知识的综合运用问题，将仍然是命题的一大热点.第四章专题整合走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学题型归类第四章专题整合走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学已知向量a＝cos3x2，sin3x2，b＝(cosx2，－sinx2.(1)当x∈0，π2时，求a·b，|a＋b|；(2)若f(x)＝a·b－2m|a＋b|≥－32对一切实数x都成立，求实数m的取值范围．三角函数与函数的综合第四章专题整合走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学[思路分析](1)利用向量的坐标运算以及三角函数和角、倍角公式进行运算，注意结果化为最简形式.(2)利用已知条件，根据题意，把问题转化为函数问题需讨论，做到不重不漏．第四章专题整合走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学[规范解答](1)a·b＝cos3x2cosx2－sin3x2sinx2＝cos2x，|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝2＋2cos2x＝4cos2x.∵x∈0，π2，∴|a＋b|＝2cosx.第四章专题整合走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学(2)f(x)＝a·b－2m|a＋b|＝cos2x－4m|cosx|＝2cos2x－4m|cosx|－1，若f(x)＝a·b－2m|a＋b|≥－32对一切实数x都成立，即2cos2x－4m|cosx|＋12≥0对一切实数x都成立，当cosx＝0时，不等式显然成立；当cosx0时，可得4m≤2cosx＋12cosx对一切实数x都成立，第四章专题整合走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学∴4m≤2cosx＋12cosxmin，而2cosx＋12cosx≥2，当且仅当cosx＝12时取等号，故4m≤2，即m≤12；当cosx0时，可得－4mcosx≤2cos2x＋12对一切实数x都成立，∴4m≤－2cosx－12cosxmin，第四章专题整合走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学而－2cosx－12cosx≥2，当且仅当cosx＝－12时取等号，故4m≤2，即m≤12.综上，m的取值范围为－∞，12.第四章专题整合走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学三角函数与平面几何的综合用a、b、c分别表示△ABC的三个内角A，B，C所对边的边长，R表示△ABC的外接圆半径．(1)如图，在以O为圆心，半径为2的⊙O中，BC和BA是⊙O的弦，其中BC＝2，∠ABC＝45°，求弦AB的长；第四章专题整合走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学(2)给定三个正实数a，b，R，其中b≤a.问：a，b，R满足怎样的关系时，以a，b为边长，R为外接圆半径的△ABC不存在、存在一个或存在两个(全等的三角形算作同一个)？在△ABC存在的情况下，用a，b，R表示c.[思路分析](1)利用三角函数与平面几何的内在联系，构造△ABC，应用正弦定理求出∠A和边AC的长，再利用余弦定理求边AB.(2)需对构成三角形的条件的各种情况进行讨论，在讨论过程中应熟练地应用正、余弦定理．第四章专题整合走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学[规范解答](1)因为△ABC的外接圆半径为2，在△ABC中，AC＝2RsinB＝22，则sinA＝BC2R＝12，A＝30°，又AB2＝BC2＋AC2－2BC·AC·cosC＝4＋8＋82cos(A＋B)＝4(3＋2)＝2(3＋1)2，∴AB＝6＋2.第四章专题整合走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学(2)①当a2R或a＝b＝2R时，所求的△ABC不存在；②当a＝2R且ba时，A＝90°，所求的△ABC只存在一个，且c＝a2－b2；③当a2R且b＝a时，A＝B，且A、B都是锐角，由sinA＝a2R＝b2R＝sinB，A、B唯一确定；因此，所求的△ABC只存在一个，且c＝2a·cosA＝aR4R2－a2；第四章专题整合走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学④当ba2R时，B总是锐角，A可以是钝角也可以是锐角，因此，所求的△ABC存在两个，由sinA＝a2R，sinB＝b2R得，当A90°时，cosA＝12R4R2－a2，c＝a2＋b2＋2abcosA＋B＝a2＋b2＋ab2R24R2－a2·4R2－b2－ab；当A90°时，cosA＝－12R4R2－a2，c＝a2＋b2－ab2R24R2－a2·4R2－b2＋ab.第四章专题整合走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学三角函数与平面向量的综合已知向量m＝(f(x)，cosx)，n＝(3sinx＋cosx,1)，且m∥n.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)若函数f(x)的图像关于直线x＝x0对称，且0x01，求x0的值．[思路分析]对于(1)利用已知求出函数f(x)的解析式，转化为三角函数知识，进一步解决问题；对于(2)根据对称坐标之间的关系求x0即可．第四章专题整合走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学[规范解答](1)由m∥n得，f(x)·1－cosx·(3sinx＋cosx)＝0，则f(x)＝3sinxcosx＋cos2x＝32sin2x＋12cos2x＋12＝sin2x＋π6＋12，∴T＝2π2＝π.由2kπ－π2≤2x＋π6≤2kπ＋π2(k∈Z)得，第四章专题整合走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学kπ－π3≤x≤kπ＋π6(k∈Z)，∴f(x)的最小正周期为π，单调递增区间为kπ－π3，kπ＋π6(k∈Z)．(2)∵f(x)的图像关于直线x＝x0对称，∴2x0＋π6＝kπ＋π2，即x0＝kπ2＋π6(k∈Z)．∵0x01，∴k＝0时，x0＝π6.第四章专题整合走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学三角函数的实际应用如图，南山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架了一条索道AC，小李在山脚B处看索道，发现张角∠ABC＝120°，从B处攀登400m到达D处，回头看索道，发现张角∠ADC＝160°，从D处再攀登800m到达C处，问索道AC长多少？(精确到m，使用计算器计算)第四章专题整合走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学[规范解答]在△ABD中，BD＝400m，∠ABD＝120°.∵∠ADC＝160°，∴∠ADB＝20°，∴∠DAB＝40°.∵BDsin∠DAB＝ADsin∠ABD，∴400sin40°＝ADsin120°，∴AD≈538.9m.第四章专题整合走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学在△ADC中，DC＝800，∠ADC＝160°，∴AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos∠ADC＝538.92＋8002－2×538.9×800·cos160°≈1740653.8，∴AC≈1319m.∴索道AC长约1319m.第四章专题整合走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学函数f(x)＝6cos2ωx2＋3sinωx－3(ω0)在一个周期内的图像如图所示，A为图像的最高点，B、C为图像与x轴的交点，且△ABC为正三角形．三角函数的图像与性质第四章专题整合走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学(1)求ω的值及函数f(x)的值域；(2)若f(x0)＝835，且x0∈(－103，23)，求f(x0＋1)的值．第四章专题整合走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学[解析](1)由已知可得，f(x)＝3cosωx＋3sinωx＝23sin(ωx＋π3)．又正三角形ABC的高为23，从而BC＝4.所以函数f(x)的周期T＝4×2＝8，即2πω＝8，ω＝π4.函数f(x)的值域为[－23，23]．第四章专题整合走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学(2)因为f(x0)＝835，由(1)有f(x0)＝23sin(πx04＋π3)＝835，即sin(πx04＋π3)＝45.由x0∈(－103，23)，知πx04＋π3∈(－π2，π2)，所以cos(πx04＋π3)＝1－452＝35.故f(x0＋1)＝23sin(πx04＋π4＋π3)第四章专题整合走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学＝23sin[(πx04＋π3)＋π4]＝23[sin(πx04＋π3)cosπ4＋cos(πx04＋π3)sinπ4]＝23(45×22＋35×22)＝765.第四章专题整合走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学