数学文化讲座(张奠宙)

数学文化与文化数学华东师范大学数学系张奠宙2003.12.3上海目录一。数学是人类文明的火车头。四个数学高峰二。争取中国数学在世界上的平等与独立三。一些数学文化的理论问题四。数学文化视角数学是人类文明的火车头四个数学高峰古希腊文明--欧几里得《几何原本》文艺复兴--牛顿力学-微积分18、19世纪人类文明--伽罗华群论、非欧几何电磁学方程黎曼几何与爱因斯坦相对论信息时代文明--冯.诺依曼计算机方案第一高峰：古希腊数学文化“对顶角相等”是否要证明？中国古代算学没有角的概念，谈不上对顶角。认为这是显然的，不需证明。几何原本。命题15：对顶角相等。用公理3：等量减等量，其差相等。ABC古希腊和中国的春秋战国古希腊城邦实行奴隶主的“民主政治”。男性奴隶主选举执政官，决定财政、战争等大事。民主需要辩论，平等地说服。理性思考。崇尚精神上的真理追求中国春秋战国，实行君王统治。知识分子可以百家争鸣，但是以说服君王为目标。中国古代数学是官方的管理数学。崇尚实用。《九章算术》以丈量田亩，分配徭役，工程土方等计算方法。文化差异决定数学文化：理性演绎数学实用管理数学中国古代算学中国古代的算学以算法为特征吴文俊继承特点以机器证明（计算机算法）获国家科学奖祖冲之计算Pi享誉世界中国数学整体上比埃及、巴比伦、印度晚第二高峰牛顿、莱布尼兹发明微积分文艺复兴：笛卡儿创立解析几何、坐标，“运动进入数学”。微积分思想：费马论证：周长一定的矩形以正方形面积最大。取无穷小量EB(A-B)=(B+E)[A-(B+E)]BA–B2=BA–B2+AE–2BE+E2整理得到（A-2B）E+E2=0略去E，得到结论A=2B。BA牛顿：自然哲学之数学原理1687完成，1736出版“流数术”。基督教镇压科学、处死科学家基督教的教义为科学留下了空间：人生来是平等的。王室邀请数学家进入宫廷牛顿（爵士）、莱布尼兹是外交家欧拉（德国腓特烈大帝邀请到柏林、俄过沙皇喀德林一世邀请去彼得堡）中国除康熙邀请梅文鼎以外，数学家不受重视17世纪中国数学。牛顿发明微积分的时代前奏1606徐光启和利玛窦翻译《几何原本》前6卷。1690年，康熙帝向传教士白晋等学习几何学，对数。1701年，莱布尼兹将2进制数表交给白晋，白晋把伏羲64卦交给莱布尼兹。鸦片战争后的中国数学落后欧洲三百年。李善兰（1811--1882）。中国传统数学最后一人，吸收西方数学，开创中国现代数学第一人。与伟列亚力（1815--1867）合作翻译《几何原本》后9卷，美国Loomis的《代微积拾级》（1859）。日本用此书。中国最早的微积分译作李善兰（1811–1882）禾彳天意思是∫dx第三高峰：19-20世纪初数学成就法国大革命和法国数学学派（柯西、蒙日……）德国工业的兴起和格丁根学派（高斯、黎曼）群论、非欧几何、复数、四元数、分析的严密化……（强调理性思维）三个伟大的方程：忽略少谈的数学家热传导方程傅立叶（内燃机）流体力学方程拉普拉斯（航空）电磁学方程马克斯韦尔（电磁波）傅立叶（17681830）马克思韦尔1831-1879数学与物理狭义相对论与四维时空。广义相对论与黎曼几何。杨-米尔斯场–陈省身的纤维丛理论高维–低维（四维最难）Witten（物理学家）获得数学最高奖霍金（理论物理学家）参加2002数学家大会科学文化的代表：希尔伯特提出23个数学问题（1900）报载：瑞典的一位女助教解决了第16问题16。代数曲线和代数曲面的拓扑问题第二部分讨论dy/dx=Y/X的极限环的最大数目。其中Y,X分别是x,y的n次多项式苏联和中国的数学家研究过n=2的情形希尔伯特1862-1943陈省身和华罗庚（清华“双子”星座）E.Cartan陈省身吴文俊创立大范围微分几何哈代华罗庚陈景润、王元……中国的解析数论学派如果华罗庚到汉堡随阿丁（E.Artin)学习代数数论，中国的数学历史将要改写了？两人唯一照片1972。北京希尔伯特的形式主义思潮形式主义和逻辑主义、直觉主义展开论战。形式主义思潮占据主导地位。形式主义。。两点之间有且只有一条直线，也可以说成两个啤酒瓶之间有一张桌子。数学=形式，内容无关紧要数学是公理体系。一切数学命题都可以形式地判定真伪哥德尔说：不。（1931）数学：思想的体操？数学=公理；数学=逻辑？第四高峰：第二次世界大战改造数学维纳、科莫哥罗夫：火炮自动控制运筹学产生于战场原子弹爆炸。冯.诺依曼的数学参与.美国国家的应用数学小组(AMP).柯朗.水下爆破。轰炸机的流体力学计算密码破译.图灵机的诞生电子计算机产生（中国数学仍然停留在纯粹数学，没有介入反法西斯战争的努力战后：1948年的数学地图1948：美国仙农发表《信息的数学理论》1948：维纳发表《控制论》。信息、控制是数学吗？1948：vonNeuman计算机方案形成中国缺乏这样的数学偶像信息时代的数学技术冯.诺依曼组织“数字天气预报”(1950)线性规划大发展.计算机实时控制.调度.卡尔曼滤波.航天技术CT扫描.拉东变换.计算机模拟技术.军事模拟.计算机软件的数学技术金融数学技术（中国没有以上原创的数学技术，紧跟）中国科学最高奖吴文俊：机器证明王选：印刷革命数据压缩陈景润：1980年代的数学英雄1970年：走出布尔巴基的光环布尔巴基的结构主义冲破“函数论”王国的统治用“代数结构、序结构、拓扑结构”统一数学。集合论、测度论、李群论、抽象代数、代数拓扑、泛函分析……融为一体。不能包括微分几何、数论、概率统计、计算数学、离散数学……1950年。吴文俊在《科学通报》介绍布尔巴基。无人喝彩。1970年。年轻数学家走出布尔巴基的影响1980年。中国大规模介绍布尔巴基学派。20世纪核心数学飞速发展从局部到整体（拓扑）从交换到非交换（算子代数。K理论）从线性到非线性（混沌、分维）从低维到高维、无限维随机数学大发展第二部分争取中国数学在世界上的平等与独立二十世纪数学简史数学中心的转移：巴黎-------格丁根-------普林斯顿1900(1900-1933)(1933--)莫斯科大学.Steklov数学研究所剑桥大学三一学院巴黎Poincare研究所波恩Max-Plank研究所加拿大Fields数学研究所黑色的1933年希特勒上台.排挤迫害犹太人.4月,命令一切犹太籍的教授立即离开校园.爱因斯坦;H.外耳(Weyl,妻子是犹太人);冯.诺依曼;柯朗;诺特;哥德尔;波利亚;兰道;世界一流的顶尖的数学家到了美国.那时美国正在经济危机之中.普林斯顿高级研究所的成立.6名教授:爱因斯坦;冯.诺依曼;外耳;Veblen,Alexander,Morse.中国现代数学的艰难历程同文馆中设天文算学馆的争论。（1860）x,y,z,w取代天地人元的历程1902年，江南考场某举子在试卷上写阿拉伯数字，主考官黄漱兰：“以夷变夏，其心殊不可问”。逐出考场。1847容闳带学生到美留学,没人学数学.1862年日本派人来中国考察,带回代微积拾级,为日本唯一的微积分读本.1898年,中国向日本大量派遣留学生.19世纪,中国到欧美学数学的竟无一人.中国数学的发展第一个数学博士胡明复。哈佛大学（1917）1920年代数学系：学士水平1930年代数学系：硕士水平1940年代：实际上能够培养博士1980年代：大陆正式授予第一批数学博士世界著名的华人数学家陈省身（美籍）整体微分几何的奠基人）获沃尔夫奖（终身成就）。丘成桐（美籍）获费尔兹奖（40岁以下）华罗庚（1910-1985）美国科学院外籍院士。数论，多复分析，代数。冯康。计算数学。有限元方法创始人之一许宝录（1910-1970）数理统计学创始人之一年轻的华人数学家正在迅速发展中：田刚、夏志宏、张伟平……2002年国际数学家大会霍金来了！纳什来了！中国数学取得世界瞩目的成就。格局：美俄继续领先；西欧紧随其后日本正在迎头赶上；中国是一个未知数。陈省身猜想“21世纪数学大国”（1988）。数学大国的含义：“在独立平等的基础上与世界各国的数学家进行交流”！数学上还没有真正的独立！离开皇冠上的明珠还很远费尔兹奖章（只授予不超过40岁数学家）拉法格（法国）沃沃斯基（俄-美）他们都出生于1966年，今年36岁。大学毕业后，得到扶植攻Langlangds猜想--顶尖的数学课题。田刚上届（1998）获得提名，但没有获得。他是南京大学学士、北京大学硕士、随丘成桐在美国读博士。现在是麻州理工学院（MIT）教授考试文化的影响竞赛不是在考场上！奥林匹克数学竞赛金牌=数学家？？？好胜与好奇。一字之差。某大学副教务长说：“优秀学生不是‘高考状元’，而是在600分以上的0.618处。如果你的孩子是状元，当心他/她太注重细枝末节，没有大前途。21国参加的国际数学教育调查（IAEP）1989。13岁学生成绩中国大陆80中国台湾73韩国73瑞士71苏联70法国64英国61美国55巴西37莫桑比克28中国数学水平怎么样？新华社：中国现在十分有陈省身、华罗庚那样的大数学家？离国际水平多远？吴文俊：“不好说”，“不好说”丘成桐：“还差得很远”中国只是潜在的数学大国！许多人以为“中国离皇冠上明珠仅一步之遥”大错特错！！“取法乎上，仅得乎其中”，“取法乎中，则得乎其下矣！”第三部分：一些数学文化的理论问题1。第三次数学危机？绝对主义的破灭。2。检验数学真理的标准。纯粹数学为什么会有用？3。数学美的认识。4。推测数学是否允许存在？5。中国考据学派对数学的影响。（1）数学绝对主义的破灭数学结论绝对正确是做不到的，但是并没有到达“危机”的程度。选择公理是否准许使用？…………无限多盘糖果，每盘各取一颗，构成一个拼盘。拼盘里的元素不确定，没有指出“选择”的是什么糖！用选择公理可以得出巴拿赫怪论（1923）“一个球，可以分割为两个与原球全等的球”。于是倾向于不准用选择公理但是选择公理十分有用，例如有界的无限点列必可选出收敛子列。如图：究竟用不用？没有绝对正确的选择。数学和其他学科一样，没有绝对。第三次数学危机，是故作“惊人之语”数学在一日千里地发展，没有危机。数学和其他科学一样，真理都是相对的，不存在绝对正确。但是，数学是思想材料，按照逻辑展开，在可以感受到的日常数学问题中，数学仍然比其他“经验科学”，更加准确。数学大厦的底层有裂缝，但是不会倾覆倒塌。（2）检验数学真理的标准是实践吗？逻辑正确是数学论文发表的基本要求。不必通过实践检验，结论一定正确。数学结论有好坏之分。只有“好”数学才值得发表。陈省身的好数学例子：方程。流形。球面上用一个直角坐标系是不够的，经纬线在北极相交，坐标和点不能一一对应。陈省身：不大好的数学的例子拿破仑定理：一个三角形，在三边上各作一个正三角形，其中心联起来也是一个正三角形。奥林匹克竞赛的题目，都不是好的数学。冯·诺依曼说：数学象在沙漠中的河流，如果在一些枝节上停留过多，就有干涸的危险。悬赏100万美圆的数学题目P=NP？黎曼猜想。庞加莱猜想Hodge猜想Birch等猜想Naiver–Stokes方程组3维光滑解的存在杨振宁-Mills场质量间隙的存在数学需要实践检验！有效性：信息论、控制论、计算机方案设计。冯·诺依曼放弃纯粹数学研究，投身应用数学深刻性：揭示客观世界的规律！黎曼几何，杨-Mills场，陈省身-西蒙斯理论美学价值：公认的科学价值。费马定理的证明。创新需要时间的检验。康托的集合论。模糊数学的价值（数学的里程碑？）3。数学美的通俗认识（一）壮观的描述：三体问题有效的手段。王选的数据压缩。和谐的规律。公式eiπ+1=0.奇特的证明。素数无限多的证明。绚丽的变化。分形演示艺术的图案。Esher的画数学画