小波变换及其在图像处理中的典型应用

小波变换及其在图像处理中的典型应用赵丹培图像处理中心2013年9月2/108目录8.1从傅里叶变换到小波变换的时频分析法8.2小波变换分类8.3小波变换的多分辨分析特性8.4尺度函数与小波8.5小波变换的快速实现8.6图像的多分辨分解与重建8.7小波变换在图像边缘检测中的应用8.8小波变换在图像去噪中的应用8.9小波变换在图像融合中的应用3/108Fourier变换一直是信号处理领域中应用最广泛、效果最好的一种分析手段，是时域到频域互相转化的工具，从物理意义上讲，傅里叶变换的实质是把对原函数的研究转化为对其傅里叶变换的研究。但是傅里叶变换只能提供信号在整个时间域上的频率，不能提供信号在某个局部时间段上的频率信息。8.1从傅里叶变换到小波变换的时频分析法8.1.1傅里叶变换4/1088.1.1傅里叶变换傅里叶变换：对于时域的常量函数，在频域将表现为冲击函数，表明具有很好的频域局部化性质。jxFfxedx12jxfxFed傅里叶变换反傅里叶变换5/1088.1.1傅里叶变换x=sin(2*pi*50*t)+sin(2*pi*300*t);%产生50HZ和300HZ的信号f=x+3.5*randn(1,length(t));%在信号中加入白噪声时间6/108由于傅立叶变换无法作局部分析，为此，人们提出了短时傅里叶变换（STFT）的概念，即窗口傅里叶变换。短时傅里叶变换将整个时间域分割成一些小的等时间间隔，然后在每个时间段上用傅里叶分析，它在一定程度上包含了时间频率信息，但由于时间间隔不能调整，因而难以检测持续时间很短、频率很高的脉冲信号的发生时刻。8.1.2短时傅里叶变换7/1088.1.2短时傅里叶变换基本思想是：把信号划分成许多小的时间间隔，用傅立叶变换分析每一个时间间隔，以便确定该时间间隔存在的频率。STFT的处理方法是对信号施加一个滑动窗(反映滑动窗的位置)后，再作傅立叶变换。即：(,)()()jtxSTFTxttedt时限频限8/1088.1.2短时傅里叶变换9/1088.1.2短时傅里叶变换短时傅里叶变换的分析特点(a)频率变化的影响(b)基本分析单元的特点10/108小波起源：1984年Morlet提出;1985年Meyer构造出小波;1988年，Daubechies证明了离散小波的存在;1989年，Mallat提出多分辨分析和二进小波变换的快速算法;1989年Coifman、Meyer引入小波包;1990年崔锦泰等构造出样条单正交小波基;1994年Sweldens提出二代小波－提升格式小波(LiftingScheme)。小波定义：“小”是指在时域具有紧支集或近似紧支集，“波”是指具有正负交替的波动性，直流分量为0。小波概念：是定义在有限间隔而且其平均值为零的一种函数。8.1.3小波变换11/108持续宽度相同振荡波波与小波的差异：12/108用镜头观察目标(待分析信号)。代表镜头所起的作用(如滤波或卷积)。相当于使镜头相对于目标平行移动。的作用相当于镜头向目标推进或远离。()ft()tbafb小波变换的粗略解释8.1.4小波变换的时频分析13/108尺度a较大距离远视野宽概貌观察尺度a较小距离近视野窄细节观察分析频率低分析频率高由粗到精多分辨分析品质因数保持不变14/108小波变换的时频分析特点：小波变换的分析特点(a)尺度a不同时时域的变化(b)尺度a不同时频域的变化15/108小波变换的多分辨分析特性：不同a值下小波分析区间的变化不同a值下分析小波频率范围的变化4a2a3a4aaa2a3a4a016/108频窗时窗小波变换的时频局部特性：17/1088.1.5连续小波变换尺度因子的作用是将基本小波做伸缩，越大越宽。a()ta()ta小波的位移与伸缩18/108设，当满足允许条件时：8.1.5连续小波变换称为一个“基小波”或“母小波”。小波变换的含义是：把基本小波(母小波)的函数作位移后，再在不同尺度下与待分析信号作内积，就可以得到一个小波序列。2()cd()()tRLt2()t19/108连续情况时，小波序列为：(基本小波的位移与尺度伸缩)其中为尺度参量，为平移参量。离散的情况，小波序列为：0;,1,aRbaabtatbaabzkjkttjjkj,222,20/108根据容许条件要求，当ω=0时，为使被积函数是有效值，必须有，所以可得到上式的等价条件为：此式表明中不含直流，只含有交流，即具有震荡性，故称为“波”，为了使具有局部性，即在有限的区间之外很快衰减为零，还必须加上一个衰减条件：0)()0(ˆdtt0)0(ˆ)(t)(t0,0,1)(1ctct21/108衰减条件要求小波具有局部性，这种局部性称为“小”，所以称为小波。对于任意的函数的连续小波变换定义为：逆变换为：是尺度因子，反映位移。aRLtf2baRRbaffdtabttfadtttfbaw,21,,)()()(),(dadbabtbaWaCtffRR,112b22/108线性设：平移不变性若，则伸缩共变性如果的CWT是则的CWT是冗余性(自相似性)由连续小波变换恢复原信号的重构公式不是唯一的()tx(,)xabWT()xt(,)xWTab8.1.6连续小波的性质,xxtWTab,xxtWTab,,,xghWTabWTabWTabxtgtht23/108目录8.1从傅里叶变换到小波变换的时频分析法8.2小波变换分类8.3小波变换的多分辨分析特性8.4尺度函数与小波8.5小波变换的快速实现8.6图像的多分辨分解与重建8.7小波变换在图像边缘检测中的应用8.8小波变换在图像去噪中的应用8.9小波变换在图像融合中的应用24/1088.2小波变换分类小波函数中三个变量均为连续变量，称为连续小波。可以对三个变量施加不同的离散化条件，并相应地对小波及小波变换进行分类。其中，最重要的两种分类：离散小波及离散小波变换二进小波及二进小波变换,,abt,,abt25/1088.2.1离散小波变换如果设定，则对于任意函数，定义相应的离散小波变换为：如果这时构成空间的一组规范正交基，对于任一函数的反演式为一展开式：2,2,,jjabkjkZ/22,2()2(2),,jjjjkttkjkZ2()(,)ftL,(,)()(),,fjkWTjkfttdtjkZ,,()(,)fjkjkZftWTjk,jk2(,)L2()(,)ftL26/1088.2.2二进小波及二进小波变换在连续小波变换中，令参数而参数仍取连续值，则有二进小波：这时，的二进小波变换定义为2,,jajZb/22,()22jjjbttb2*2,22jjjfWTbfttbdt2ftLR27/108目录8.1从傅里叶变换到小波变换的时频分析法8.2小波变换分类8.3小波变换的多分辨分析特性8.4尺度函数与小波8.5小波变换的快速实现8.6图像的多分辨分解与重建8.7小波变换在图像边缘检测中的应用8.8小波变换在图像去噪中的应用8.9小波变换在图像融合中的应用28/108多分辨分析是小波分析中最重要的概念之一，它将一个函数表示为一个低频成分与不同分辨率下的高频成分，并且多分辨分析能提供一种构造小波的统一框架，提供函数分解与重构的快速算法。由理想滤波器引入多分辨率分析的概念：8.3小波变换的多分辨分析特性29/108多分辨分析定义：空间中的一系列闭子空间，称为的多分辨率分析或逼近，若下列条件满足：单调性：，对任意逼近性：伸缩性：平移不变性：Riesz基：存在，使构成的Riesz基，即是线性无关的，且存在常数与，满足使得对任意的，总存在序列使得且，称为尺度函数，并称生成的一个多分辨分析。RL2ZjjVRL21jjVVZj0ZjjVRLVclosZjjRL2212jjVxuVxu00VkxuVxu0VtkkZ0V0ftV2kkZclkkftctkAB0AB22222kkAfcBftkkZ2LRZjjV30/108是一个无限维向量空间，称为平方可积空间，将用它的子空间，表示，其中称为尺度空间，称为小波空间。尺度空间的递归嵌套关系：小波空间是和之间的差，即，它捕捉由逼近时丢失的信息。推出：21010VVVLRRL2RL2ZjjVjjZWZjjVjjZWjWjV1jV1jjjVWVjV1jV0011jjVRL21jVjV1jV0V多分辨率的空间关系图31/108目录8.1从傅里叶变换到小波变换的时频分析法8.2小波变换分类8.3小波变换的多分辨分析特性8.4尺度函数与小波8.5小波变换的实现8.6图像的多分辨分解与重建8.7小波变换在图像边缘检测中的应用8.8小波变换在图像去噪中的应用8.9小波变换在图像融合中的应用32/108两尺度方程若是尺度函数，它生成的多分辨分析，则必然存在系数序列，使得以下尺度关系成立:这就是两尺度方程，必须满足下列条件：定义函数为尺度函数，若其经过整数平移和尺度上的伸缩，得到一个尺度和位移均可变化的函数集合：RL2ZjjVkkZh22kkthtk2tLRkttjjkj222,kj02khk002khkhkll33/108和的基本性质是两尺度差分方程：两尺度方程的频域表示为：tkjkjktht1222kjkjktgt12222nkh0nkgH22G22t34/108目录8.1从傅里叶变换到小波变换的时频分析法8.2小波变换分类8.3小波变换的多分辨分析特性8.4尺度函数与小波8.5小波变换的快速实现8.6图像的多分辨分解与重建8.7小波变换在图像边缘检测中的应用8.8小波变换在图像去噪中的应用8.9小波变换在图像融合中的应用35/1088.5.1Mallat算法与塔式分解系数分解的快速算法：mjmkjCkmhC,1,2,1,2jkjmmdgmkCMallat小波快速分解算法的流程图36/108系数重构的快速算法：1,,,22jkjmjmmmCChmkdgmkMallat小波快速重构算法的流程图37/108目录8.1从傅里叶变换到小波变换的时频分析法8.2小波变换分类8.3小波变换的多分辨分析特性8.4尺度函数与小波8.5小波变换的快速实现8.6图像的多分辨分解与重建8.7小波变换在图像边缘检测中的应用8.8小波变换在图像去噪中的应用8.9小波变换在图像融合中的应用38/1088.6.1二维小波变换的实现假定二维尺度函数可分离，则有其中、是两个一维尺度函数。若是相应的小波，那么下列三个二维基本小波：与一起就建立了二维小波变换的基础。(,)()()xyxy1(,)()()xyxy2(,)()()xyxy3(,)()()xyxy(,)xy()x()y()x39/1088.6.2图像小波变换的正变换正变换图像小波分解的正变换可以依据二维小波变换按如下方式扩展，在变换的每一层次