风险管理3.VaR

风险度量工具：VaR讲师：郭战琴[e-mail]的定义当使用VaR来度量风险时，我们是在陈述以下事实：“我们有X%的把握，在T时间段，我们的损失不会大于V。”这里的变量V就是交易组合的VaRVaR是两个变量的函数：事件展望期（T时间段）、置信度（X%）VaR对应于在今后T时间段及在X%把握下，交易损失的最大值VaR的优点仅用一个数字就抓住了风险的要点容易理解提出一个简单问题：“最坏情况会是怎样?”例9.1假定一个交易组合在6个月时的收益服从正态分布，分布均值为200万美元，标准差为1000万美元.问：对于6个月展望期，在99%置信度下的VaR为多少？根据正态分布的性质得出，分布的第一个分位数为2-2.33×10，即-2130万美元答案：2130万美元例9.2假定一个1年的项目的最终结果介于5000万美元损失和5000万美元收益之间，5000万美元损失和5000万美元收益之间的任意结果具有均等的可能。问：对于1年的展望期，在99%置信度下的VaR为多少？项目的最终结果服从由-5000万美元到+5000万美元的均匀分布，损失大于4900万美元的可能性为1%答案：4900万美元例9.3和9.4假定一个1年的项目有98%的概率收益为200万美元，1.5%的概率损失为400万美元，0.5%的概率损失为1000万美元。如下图所示：1.99%的VaR为多少？2.99.9%的那？3.99.5%的那？VaR与预期亏损VaR是为了展示损失会糟成什么样预期亏损给出当市场条件变糟而触发损失时，损失的期望值为多大（有时被称为条件风险价值度；条件尾部期望；尾部损失）预期亏损是指在T时间段的损失超出了第X分位数的条件下，损失的期望值两个具有同样VaR的投资组合，其预期亏损却可能差距非常大相同VaR不同预期亏损VaRVaR99%的VaR是1000万元99.1%损失1000万元，0.9%的可能损失5000万元预期亏损从风险分散的意义上来讲，预期亏损要比VaR有更好的性态但是，预期亏损的不利之处在于比VaR更为复杂，因此，这一风险度量比VaR更难以理解另外，预期亏损的准确性很难得到回顾测试（用历史数据来检验VaR度量可靠性的一种方式）VaR和资本金VaR被监管当局以及金融机构用来确定资本金的持有量对于市场风险，监管人员所要求的资本金等于在10天展望期的99%VaR的一定倍数（至少3倍）对于信用风险和操作风险，《巴塞尔协议Ⅱ》中，监管人员要求在资本金计算中采用1年展望期及99.9%的置信区间VaR和资本金（续）对应于99.9%置信度和1年展望期，某交易组合的VaR为5000万美元，这意味着在极端条件下（理论上讲，每1000年出现一次），金融机构在1年时损失会超过5000万美元这同时也说明，如果金融机构持有5000万美元的资本金，我们会有99.9%的把握，金融机构不会在1年内完全损失自身持有的资本金满足一致性条件的风险度量假定想设计某种风险度量来确定金融机构应持有的资本金数量，VaR是最好的选择吗（在合适的展望期和置信水平下）？Artzneretc.(1999)指出，度量应满足一定性态：单调性：如果在所有的不同情形下，第1个交易组合的回报均低于另一个交易组合，那么这里的第1个交易组合的风险度量一定要比另一个大平移不变性：如果我们在交易组合中加入K数量的现金，交易组合所对应的风险度量要减少K数量满足一致性条件的风险度量（续）同质性：假定一个交易组合内含资产品种和相对比例不变，但内含资产的数量增至原数量的λ倍，此时新交易组合的风险应是原风险的λ倍次可加性：两个交易组合相加所组成的一个新交易组合的风险度量小于或等于最初两个交易组合的风险度量的和VaR满足前3个条件，但不一定永远满足第4个条件预期损失满足所有4个条件例9.5假定两个独立贷款项目在1年内均有0.02的概率损失1000万美元，同时均有0.98的概率损失100万美元，任意一个单笔贷款在展望期为1年，97.5%的置信度下的VaR为100万美元将两个贷款叠加产生一个资产组合：0.02×0.02=0.0004的概率损失2000万美元2×0.02×0.98=0.0392的概率损失1100美元0.98×0.98=0.9604的概率损失200万美元在展望期为1年，97.5%置信度下，组合的VaR为1100万美元，单笔贷款所对应VaR的和为200万美元，贷款组合的VaR比贷款VaR的总和高900美元，这违反了次可加性例9.7考虑例9.5，单笔贷款，在2.5%的尾部分布中，有2%的概率损失为1000万美元，有0.5%的概率损失为100万美元预期亏损为：0.8×10+0.2×1，即820万美元将两个贷款结合到一起，在2.5%的尾部分布中，有0.04%的概率损失为2000万美元，有2.46%的概率损失为1100万美元预期亏损为：0.16×20+0.84×11，即1114.4万美元820+820＞1114.4，因此，预期亏损满足次可加性例9.6考虑两笔期限均为1年的1000万美元贷款。违约的概率见下表如果贷款违约，回收率介于0～100%的可能性均等。当贷款没有违约时，贷款盈利均为20万美元结果概率两笔贷款均不违约97.5%第一笔贷款违约，第二笔贷款不违约1.25%第二笔贷款违约，第一笔贷款不违约1.25%两笔贷款均违约0.00%例9.6（续）首先考虑第一笔贷款，违约可能为1.25%，在违约发生的条件下，损失均匀介于0到1000万美元，这意味着有1.25%的概率损失大于零，有0.625%的概率损失大于500万美元，损失超过1000万美元的事件不会发生损失超过200万美元的概率为1%（损失发生前提下，有80%的概率损失会超过200万美元，因为损失的概率为1.25%，损失大于200万美元的无条件概率为80%×1.25%=1%），因此，1年期的99%VaR为200万美元同样的计算也适用于第二笔贷款例9.6（续）接下来考虑两笔贷款，每笔贷款的违约可能均为1.25%，并且两笔贷款不可能同时违约，因此，任何两笔贷款之中有一笔贷款违约出现的概率为2.5%，损失大于600万美元的无条件概率为2.5%×40%=1%一笔贷款违约，另外一笔贷款会有盈利20万美元，将这一盈利考虑在内，我们得出一年的99%VaR为580万美元单笔贷款所对应VaR的和为400美元，贷款组合的VaR比贷款VaR的总和高180美元，这违反了次可加性例9.8考虑例9.6，单笔贷款所对应的VaR为200万美元损失服从0~1000万美元的均匀分布，因此，预期亏损为200万美元与1000美元之间的中间值，即600万美元两笔贷款组成的组合的VaR为580万美元，组合的预期亏损等于损失大于580万美元的条件之下，损失的期望值这时，组合的价值介于20万美元的盈利及980万美元的损失之间的均匀分布，因此预期亏损为780万美元7802×600，预期亏损满足次可加性正态分布假设最简单的是假定交易组合的价值变化在1天展望期服从正态分布，其组合价值变化的期望值为0通过标准差便很容易计算出VaR（1-dayVaR=2.33s）一个较长的T天展望期的VaR等于1天展望期VaR的倍T独立性假设对于独立同分布的投资组合，T天展望期的方差是1天展望期方差的T倍如果存在自相关性的影响，其乘数就从T倍增加到2312(1)2(2)2(3)2TTTTT自相关性的影响当存在一阶自相关性时T天的VaR和一天的VaR的比率T=1T=2T=5T=10T=50T=250ρ=01.01.412.243.167.0715.81ρ=0.051.01.452.333.317.4316.62ρ=0.11.01.482.423.467.8017.47ρ=0.21.01.552.623.798.6219.35VaR中的参数选择时间展望期的选取取决于组合的流动性。事实上，银行管理人员通常对市场风险使用1天的展望期，对信用风险和操作风险使用1年的展望期。基金经理通常使用1个月的展望期置信水平的选取通常取决于操作目的。对于市场风险通常取99%的置信水平，对于信用风险和操作风险通常使用99.9%一家银行要想保持自己的AA信用评级，在内部管理过程中通常就会采用高达99.97%的置信水平边际VaR、递增VaR及成分VaR假定一投资组合有若干组成成分，其中第i个成分为xi边际VaR：递增VaR：一个新交易的出现或某现存交易的退出对投资组合的VaR的影响成分VaR：某一大交易组合的第i个成分VaR与这一成分的递增VaR近似相等iVaRxiiVaRxx回顾测试回顾测试是要找出交易组合每天的实际损失有多少次超出VaR的例外情形发生。两种处理方式：假定投资组合构成不变的情况下，将VaR与计算出的理论价格变化进行比较将VaR同交易组合价格的真实变化进行比较假设例外发生的概率p（=1-X%），n个观察日中，有m天或更多天例外发生的概率为!(1)!()!nknkkmnppknk作业9.1、9.3、9.4、9.5、9.6、9.1226