三角形问题常见辅助线添加学生版

三角形问题常见辅助线添加方法专题1三角形问题常见辅助线添加方法专题三角形问题常见辅助线添加方法1、等腰三角形利用“三线合一”的性质解题2、倍长中线：使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3、角平分线五种添加辅助线4、垂直平分线连接线段两端5、用截长或补短法：遇到有线段和差问题的6、图形补全法：有一个60°或120°角，把该角添线后构成等边三角形7、角度数为30°、60°的作垂线法，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线8、计算数值法：遇到等腰直角三角形、正方形，计算边长与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二边或二角，从而为证明全等创造边、角条件9、利用翻折，构造全等三角形10、引平行线构造全等三角形11、作连线构造等腰三角形找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；（3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。解题后的思考：遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长法或补短法：截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。1）对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法将其放在一个三角形中证明。2）在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证明不出来，可连接两点或延长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明。小结：三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角形。三角形中两中点，连接则成中位线。常见辅助线的作法有以下几种：（1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。例1：如图，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE。三角形问题常见辅助线添加方法专题2（2）若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。例2-1：如图，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分线，AD又是BC边上的中线。求证：ΔABC是等腰三角形。例2-2：如图，在△ABC中，D为BC边的中点，点E在线段AD上，BE=AC，BE的延长线交AC边于点F，求证：∠AEF=∠EAF变式练习：1、如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF，求证：AC=BF．三角形问题常见辅助线添加方法专题32、已知：如图，AD是△ABC的中线，点E在AD上，BE=AC，延长BE交于AC于F，求证：AF=EF．3、已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向外作等腰直角三角形，如图，求证：EF=2AD．（3）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。例3-1：已知，如图，AC平分∠BAD，CD=CB，ABAD。求证：∠B+∠ADC=180°。例3-2：如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE⊥BD交BD的延长线于点E，延长BA、CE相交于点F．求证：BD=2CE．三角形问题常见辅助线添加方法专题4变式练习：1、如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E点，∠ADC+∠B=180°．（1）求证：BC=CD；（2）2AE=AB+AD．2、如图，已知：在四边形ABCD中，过C作CE⊥AB于E，并且CD=CB，∠ABC+∠ADC=180°，（1）求证：AC平分∠BAD；（2）若AE=3BE=9，求AD的长；（3）△ABC和△ACD的面积分别为36和24，求△BCE的面积．3、在四边形ABCD中，∠ABC是钝角，∠ABC+∠ADC=180°，对角线AC平分∠BAD．（1）如图1，求证：BC=CD；（2）如图2，若AB+AD=AC，求∠BCD的度数；（3）如图3，当∠BAD=120°时，请判断AB、AD与AC之间的数量关系？并加以证明．三角形问题常见辅助线添加方法专题5（4）过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”例4-1：如图，ΔABC中，AB=AC，E是AB上一点，F是AC延长线上一点，连EF交BC于D，若EB=CF.求证：DE=DF.例4-2：△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。变式练习：1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是边CB延长线上一点，连AD，作EA⊥AD，且使AD=AE，连BE与AC延长线交于点F．求证：BF=EF．三角形问题常见辅助线添加方法专题6（5）截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。例5：如图甲，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB。求证：CD=AD+BC。变式练习：1、已知，如图，△ABC中，∠C=60°，AD、BE是△ABC的角平分线，且交于点O，求证：AB=AE+BD．(六)、通过旋转构造全等三角形例6：已知：如图，在正方形ABCD中，AD=AB，∠D=∠ABC=∠BAD=90°，E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=45°，连接EF，求证：EF=BF+DE．三角形问题常见辅助线添加方法专题7变式练习：1、已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC（或它们的延长线）于E、F．（1）当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1），求证：AE+CF=EF；（2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE、CF、EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．三角形问题常见辅助线添加方法专题82、（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为；②AD与BE的数量关系．（2）拓展探究：图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一只显示行，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．3、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D为AC边上一点，将线段AD绕点A逆时针旋转到线段AE，使得AE⊥AB，且点E、D、B恰好在同一直线上，作EM⊥AC于点M．（1）若线段AD逆时针旋转了54°，求∠CBD的度数；（2）求证：AB=EM+BC．三角形问题常见辅助线添加方法专题9(七)、通过翻折构造全等三角形例7：如图，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．(八)、过点作垂线（目的是构造直角三角形，标志是垂直、角平分线、75°、105°或120°）例8：如图，设点M是等腰Rt△ABC的直角边AC的中点，AD⊥BM于E，AD交BC于D．求证：∠AMB=∠CMD（请用两种不同的方法证明）变式练习：1、如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA．（1）试说明CD垂直于AB；（2）求证：DE平分∠BDC；（3）若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD．三角形问题常见辅助线添加方法专题10（九）倍角化等腰（目的是利用等腰三角形性质解题）例9：如图，已知AB=AC，BD⊥AC于点D，求证：∠DBC=∠BAC．变式练习：1、已知：如图，△ABC中，AB=AC，D为AC上一点，∠DBC=A．求证：AC⊥BD．2、已知在△ABC中，∠B=2∠C，∠BAC的平分线AD交BC边于点D．求证：AC=AB+BD．（十）平行线中的动态旋转例10：如图，Rt△AOB和Rt△COD中，∠AOB=∠COD=90°，∠B=40°，∠C=60°，点D在边OA上，将图中的△COD绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第秒时，边CD恰好与边AB平行．三角形问题常见辅助线添加方法专题11变式练习：（1）如图①，△ABC是等边三角形，点D是边BC上任意一点（不与B、C重合），点E在边AC上，∠ADE=60°，∠BAD与∠CDE的数量关系式是；（2）如图②，在△ABC中，AB=AC，点D是边BC上一点（不与B、C重合），∠ADE=∠B，点E在边AC上，若CE=BD，求证：△ABD≌△DCE；（十一）直角模型（利用两锐角互余，结合等量代换解题）例11：如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB，AC上的点，且DE⊥DF，求证：AE=CF三角形问题常见辅助线添加方法专题12变式练习：1、如图，已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC．（1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明；（2）如图2，E是直线BC上一点，且CE=BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．