北师大九年级数学下册 三角函数的计算

九年级数学(下)第一章直角三角形的边角关系第三节三角函数的计算直角三角形两锐角的关系:两锐角互余∠A+∠B=900.直角三角形三边的关系:勾股定理a2+b2=c2.bABCa┌c互余两角之间的三角函数关系:sinA=cosB.tanA﹒tanB=1特殊角300,450,600角的三角函数值.直角三角形边与角之间的关系:锐角三角函数同角之间的三角函数关系:sin2A+cos2A=1..AcosAsinAtan,caBcosAsin,cbBsinAcos回顾与思考,baAtan特殊角的三角函数值表三角函数锐角α正弦sinα余弦cosα正切tanα3004506002123332222123213回顾与思考新知探究如图,当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时,它走过了200m.已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α=160,那么缆车垂直上升的距离是多少?在Rt△ABC中,BC=ABsin16°你知道sin16°是多少吗？新知探究用科学计算器求锐角的三角函数值,要用到三个键:例如,求sin16°,cos42°,tan85°和sin72°38′25″的按键盘顺序如下:计算器的型号与功能可能不同,请按相应的说明书使用.sincostan按键的顺序显示结果Sin160Cos420tan850sin72038′25″sin160.275635355cos420.743144825tan8511.4300523sin72DMS38DMS25DMS0.954450312====新知探究如图,当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时,它走过了200m.已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α=160,那么缆车垂直上升的距离是多少?在Rt△ABC中,BC=ABsin16°≈55.12(m)新知探究当缆车继续从点B到达点D时,它又走过了200m.缆车由点B到点D的行驶路线与水平面的夹角为∠β=420,由此你还能计算什么?新知探究3.一个人由山底爬到山顶,需先爬400的山坡300m,再爬300的山坡100m,求山高(结果精确到0.01m).解：如图，根据题意，可知BC=300m，BA=100m，∠C=40°，∠ABF=30°.在Rt△CBD中，∠BDC=90°.∴BD=BC﹒sin40°≈300×0.6428=192.8(m)在Rt△ABF中，∠AFB=90°.∴AF=AB﹒sin30°=100×=50(m).∴山高AE=AF+BD＝192.8+50＝242.8(m).21随堂练习如图,为了方便行人，市政府在10m高的天桥.两端修建了40m长的斜道.这条斜道的倾斜角是多少?那么∠A是多少度呢?如图,在Rt△ABC中,.414010ACBCAsin新知探究已知三角函数值求角度,要用到键的第二功能和键.例如,由于计算器的型号与功能的不同,按相应的说明书使用.sincostan按键的顺序显示结果sinA=0.9816cosA=0.8607tanA=0.1890tanA=56.782ndfsin0.sin-1=0.9816=78.991840392ndfcos0.cos-1=0.8607=30.604730072ndftan0.tan-1=0.1890=10.702657492ndftan56.78tan-1=56.78=88.99102049981=sin-1cos-1tan-12ndf816=607=890=新知探究随堂练习4.一梯子斜靠在一面墙上。已知梯子长4m，梯子位于地面上的一端离墙壁2.5m。求梯子与地面所成的锐角。特殊角的三角函数值表三角函数锐角α正弦sinα余弦cosα正切tanα3004506002123332222123213课堂小结填表:已知一个角的三角函数值,求这个角的度数(逆向思维)∠A=∠A=∠A=∠A=∠A=∠A=∠A=∠A=∠A=21Asin21Acos33Atan03023Asin06022Acos0303Atan22Asin23Acos1Atan060045045030060045课堂小结）5.如图,物华大厦离小伟家60m,小伟从自家的窗中眺望大厦,并测得大厦顶部仰角是45°,而大厦底部的俯角是37°,求该大厦的的高度(结果精确到0.1m).问题解决朝上看时，视线与水平面夹角为仰角朝下看时，视线与水平面夹角为俯角6.一辆汽车沿着一山坡行驶了1000m,其铅直高度上升了50m.求山坡与水平面所成的锐角的大小.问题解决7.在1：20000的平面地图上，量得甲、乙两地的直线距离为1.5cm，两地的实际高度相差27cm，求甲、乙两地间的坡角。1.（2014•广东）如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60°（A、B、D三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：2≈1.414，3≈1.732）解：∵∠CBD=∠A+∠ACB，∠CBD=60°,∠A=30°∴∠ACB=∠CBD﹣∠A=60°﹣30°=30°，∴∠A=∠ACB，∴BC=AB=10（米）．在Rt△BCD中，∠BCD=90°∴CD=BC•sin∠CBD=10×23=53≈5×1.732=8.7（米）．答：这棵树CD的高度为8.7米．中考链接2.（2013河南）我国南水北调中线工程的起点是丹江口水库，按照工程计划，需对原水库大坝进行混凝土培厚加高，使坝高由原来的162米增加到176.6米，以抬高蓄水位，如图是某一段坝体加高工程的截面示意图，其中原坝体的高为BE，背水坡坡角∠BAE=68°，新坝体的高为DE，背水坡坡角∠DCE=60°。求工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC.(结果精确到0.1米)(参考数据：sin68°≈0.93,cos68°≈0.37,tan68°≈2.50,3≈1.73）解：在Rt△BAE中，∠BEA=90°∴AE=BEtan∠BAE=BEtan68°≈1622.50=64.8米在Rt△DEC中，∠DEC=90°∴CE=DEtan∠DCE=DEtan60°=176.63≈102.08米∴AC=CE-AE≈102.08-64.80≈37.3米即工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC约为37.3米中考链接3.（绵阳市2013年）如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60º，又从A点测得D点的俯角β为30º，若旗杆底点G为BC的中点，则矮建筑物的高CD为（）A中考链接A.20米B.103米c.153米D.56米解：过点C作CD⊥AB于点D，设CD=x，在Rt△ACD中，∠CDA=90°，∠CAD=30°∴∠ACD=60°则AD=CD·tan∠ACD=CD·tan∠60°=3CD=3x在Rt△BCD中，∠CDA=90°，∠CBD=45°则BD=CD=x，∵AD﹣BD=AB=4∴3x﹣x=4，解得：x=43-1=2（3+1）≈5.5米．答：生命所在点C的深度为5.5米．D中考链接4.（2013•娄底）2013年3月，某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A、B两个探测点探测到C处有生命迹象．已知A、B两点相距4米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度．（精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73）