2-123-谓词逻辑(Predicate-Logic)

第二章谓词逻辑PredicateLogic前言苏格拉底三段论(Socratessyllogism)：所有人都是要死的。苏格拉底是人。所以苏格拉底是要死的。（Socrates,古希腊哲学家,公元前470~前399）(孔子,中国伟大哲学家,公元前551~前479)前言在命题逻辑中，如果设：P：凡人都是要死的；Q：苏格拉底是人；R：苏格拉底是要死的。前提：P,Q，结论：R。则(P∧Q)→R表示上述推理，这个命题公式不是重言式。前言在谓词逻辑中，如果设：H(x)：x是人。M(x)：x是要死的。a：苏格拉底。前提：(x)(H(x)→M(x))，H(a)结论：M(a)(x)(H(x)→M(x))∧H(a)M(a)前言主语谓语客（个）体谓词客体可以独立存在，它可以是具体的，也可以是抽象的。而用来描述客体的性质或关系的即是谓词。为了刻画命题内部的逻辑结构，就需要研究谓词逻辑（PredicateLogic）。前言比如：P：张三是大学生Q：李四是大学生以上这些命题都具备有一个共同的特征就是：x是大学生。P(x)就可以代表这一类的命题。P(x)：x是大学生，a：张三，b：李四，P(a)：张三是大学生P(b)：李四是大学生2-1谓词的概念与表示2-1.1谓词的概念定义1：谓词（predicate）在命题中，用以刻画客体词的性质或客体词之间关系的词即是谓词，谓词相当于命题中的谓语部分。例如：(1)他是三好学生“他”是个体，“是三好学生”是表示个体性质的谓词(2)5大于3“5”和“3”是个体，“大于”是表示个体之间关系的谓词2-1.2谓词的表示：用大写英文字母A,B,C,D,…,表示谓词，用小写字母表示客体。前面的例子可表示为：(1)A(x):x是三好学生，h:他，A(h):他是三好学生(2)G(x,y):x大于y，G(5,3):5大于32-1.3如何利用谓词表达命题：用谓词表达命题必须包括谓词字母和客体两个部分。比如：A(x)可以表示“x是A”类型的命题，表达了客体的性质，称为一元谓词。B(x,y)可以表示“x小于y”类型的命题，表达了客体之间的关系，称为二元谓词，。L(x,y,z)可以表示“点x在y与z之间”类型的命题，表达了客体之间的关系，称为三元谓词。用P(x1,x2,…,xn)表示n元谓词，在这里n个客体变元的顺序不能随意改动。2-2命题函数与量词2-2.1命题函数一般来说，当谓词P给定，x1,x2,…,xn是客体变元，P(x1,x2,…,xn)不是一个命题，因为他的真值无法确定，要想使它成为命题，要用n个客体常项代替n个客体变元。P(x1,x2,…,xn)就是命题函数。比如L(x,y)表示“x小于y”，那么L(2,3)表示了一个真命题“2小于3”。而L(5,1)表示了一个假命题“5小于1”2-2.1命题函数定义1：简单命题函数(simplepropositionalfunction)：由一个谓词，一些客体变元组成的表达式称为简单命题函数。比如：A(x)，B(x,y)，L(x,y,z)简单命题函数不是命题，只有当变元x,y,z等取特定的客体才确定了一个命题。对于n元谓词，当n=0时，称为0元谓词，它本身就是一个命题，故命题是n元谓词的一个特殊情况。2-2.1命题函数比如：L(x,y)表示“x小于y”是二元谓词，L(x,3)表示“x小于3”是一元谓词，L(2,3)表示“2小于3”是0元谓词。因此可以将命题看成n元谓词的一个特殊情况。0元谓词都是命题，命题逻辑中的简单命题都可以用0元谓词表示。2-2.1命题函数定义2：复合命题函数（compoundpropositionalfunction）：由一个或n个简单命题函数以及逻辑联结词组合而成的表达式。命题逻辑中的联结词在谓词逻辑中含义完全相同。举例说明：P56例１，例２2-2.1命题函数定义3：谓词填式单独一个谓词不是完整的命题，把谓词字母后填以客体所得的式子称为谓词填式。例如：P(x)表示x3，则P(1)、P(2)、P(5)分别表示1大于3，2大于3，5大于3，P(1)、P(2)、P(5)即是谓词填式。2-2.1命题函数定义4：谓词表达式简单命题函数与逻辑联结词组合而成。示例分析P59(1)a),b),c)a)设W(x):x是工人，z:小张，则原命题表示为：W(z)b)设S(x):x是田径运动员，B(x):x是球类运动员，h:他，则原命题表示为：S(h)B(h)c)设C(x):x是聪明的，B(x):x是美丽的，a:小莉，则原命题表示为：C(a)B(a)注意：命题函数不是一个命题，只有客体变元取特定客体时，才能成为一个命题。但是客体变元在哪些范围取特定的值，对命题函数以下两方面有极大影响：(1)命题函数是否能成为一个命题；(2)命题的真值是真还是假。2-2.1命题函数个体域(universeofdiscourse)：在命题函数中，命题变元的论述范围称为个体域。全总个体域：个体域可以是有限的，也可以是无限的，把各种个体域综合在一起，作为论述范围的域，称为全总个体域。2-2.2量词例题：符号化以下命题(1)所有人都要死去。(2)有的人的年龄超过百岁。以上给出的命题，除了有个体词和谓词以外，还有表示数量的词，称表示数量的词为量词。量词有两种：全称量词(universalquantifier)存在量词(existentialquantifier)2-2.2量词定义1．全称量词(universalquantifier)用符号“”表示，“x”表示对个体域里的所有个体。(x)P(x)表示对个体域里的所有个体都有属性P。表达“对所有的”，“每一个”，“对任一个”，“凡”，“一切”等词。Theuniversalquantifier,anupside-downA,isusedtobuildcompoundpropositionsoftheform(x)P(x),whichwereadas“forallx,P(x).”Othertranslationsofare“foreach,”“forevery,”“forany.”Thecompoundproposition(x)P(x)isassignedtruthvalueasfollows:(x)P(x)istrueifP(x)istrueforeveryxinU;otherwise(x)P(x)isfalse.2-2.2量词定义2．存在量词(existentialquantifier)用符号“”表示。x表示存在个体域里的个体。(x)P(x)表示存在个体域里的个体具有性质P。符号“”称为存在量词，用以表达“某个”，“存在一些”，“至少有一个”，“对于一些”等词。Theexistentialquantifier,abackwardEisusedtoformpropositionslike（x）P(x),whichwereadas“thereexistsanxsuchthatP(x),”“thereisanxsuchthatP(x),”or“forsomex,P(x).”Thecompoundproposition（x）P(x)hasthesetruthvalues:（x）P(x)istrueifP(x)istrueforatleastonexinU;（x）P(x)isfalseifP(x)isfalseforeveryxinU.2-2.2量词唯一存在量词（uniquequantifier）：“恰好存在一个”，用符号“!”表示。2-2.2量词现在对以上两个命题进行符号化，在进行符号化之前必须确定个体域。第一种情况．个体域D为人类集合。设：F(x)：x是要死的。G(x)：x活百岁以上。则有(x)F(x)和(x)G(x)这两个命题都是真命题2-2.2量词第二种情况．个体域D为全总个体域。不能符号化为(x)F(x)和(x)G(x)，因为:(x)F(x)表示宇宙间一切事物都要死的，这与原命题不符。(x)G(x)表示宇宙间一切事物中存在百岁以上，这与原命题不符。2-2.2量词因此必须引入一个新的谓词，将人分离出来。在全总个体域的情况下，以上两个命题叙述如下：(1)对于所有个体而言，如果它是人，则它要死去。(2)存在着个体，它是人并且活过百岁以上。于是，再符号化时必须引入一个新的谓词M(x)：x是人。称这个谓词为特性谓词。2-2.2量词定义：特性谓词在讨论带有量词的命题函数时，必须确定其个体域，为了方便，可使用全总个体域。限定客体变元变化范围的谓词，称作特性谓词。利用特性谓词，对以上两个命题进行符号化(1)(x)(M(x)→F(x))(2)(x)(M(x)∧G(x))使用量词时应注意的问题：(1)在讨论有量词的命题函数时如果事先没有给出个体域，那么都应以全总个体域为个体域。(2)对全称量词，特性谓词常做蕴含的前件。对存在量词，特性谓词常做合取项。举例说明：例1．“有些人是要死的”.解1：采用全体人作为个体域.设:G(x):x是要死的.原命题符号化成:(x)G(x)解2：采用全总个体域.设:M(x):x是人;G(x):x是要死的.原命题符号化成:(x)(M(x)∧G(x))例2．“凡人都是要死的”.解1:采用全体人作为个体域.设:G(x):x是要死的.原命题符号化成:(x)G(x)解2:采用全总个体域.设:M(x):x是人;G(x):x是要死的.原命题符号化成:(x)(M(x)→G(x))例3:“存在最小的自然数”。解1:采用全体自然数作为个体域.设:G(x,y):x≤y;原命题符号化成:(x)(y)G(x,y)注意量词顺序:(y)(x)G(x,y):“没有最小的自然数”.解2:设:F(x):x是自然数;G(x,y):xy;原命题符号化成:(x)(F(x)∧(y)(F(y)→G(x,y)))例4:“不存在最大的自然数”。解:设:F(x):x是自然数;G(x,y):x＞y;原命题符号化成:(x)(F(x)(y)(F(y)G(x,y)))或:(x)(F(x)(y)(F(y)G(x,y)))例5:“火车比汽车快”。解:设:F(x):x是火车;G(x):x是汽车;H(x,y):x比y快原命题符号化成:(x)(F(x)(y)(G(y)H(x,y)))或:(x)(y)((F(x)G(y))H(x,y))例6:“有的汽车比火车快”。解:设:F(x):x是汽车;G(x):x是火车;H(x,y):x比y快原命题符号化成:(x)(F(x)(y)(G(y)H(x,y)))或:(x)(y)(F(x)G(y)H(x,y))例7:“有些病人相信所有的医生”。解:设:F(x):x是病人;G(x):x是医生;H(x,y):x相信y原命题符号化成:(x)(F(x)(y)(G(y)H(x,y)))例8:“存在唯一的对象满足性质P”。解:设:P(x):x满足性质P原命题符号化成:(!x)P(x)或:设:P(x):x满足性质P;E(x,y):x和y是同一个个体原命题符号化成:(x)(P(x)(y)(P(y)E(x,y)))2-3谓词公式与翻译书上已经给出谓词，命题函数，谓词表达式。在数理逻辑中需要对能够进行谓词演算的公式进行准确的定义。这样以后我们不再说谓词，命题函数，谓词表达式等,而只研究谓词公式。2-3.1谓词逻辑字母表：个体常项:a,b,c,…,a1,b1,c1,…个体变项:x,y,z,…,x1,y1,z1,…函数符号:f,g,h,…,f1,g1,h1,…谓词符号:F,G,H,…,F1,G1,H1,…量词符号:,,!联结词符号:,,,,括号与逗号:(,),，2-3.2谓词公式定义：谓词公式（谓词演算的合式公式）用wff表示（wellformformulation)（1）A(x1,x2,…,xn)称为原子谓词公式，原子谓词公式是谓词公式。（2）若A是谓词公式，则(A)是一个谓词公式。（3）若A和B都是谓词公式，则(A∧B)，(A∨B)，(A→