条件极值对自变量有附加条件的极值问题

YunnanUniversity§2.条件极值条件极值：对自变量有附加条件的极值问题，称为条件极值问题．,,,fxyuv求在条件,,,0,,,0gxyuvhxyuv.约束下的极值,,,fxyuv下面讨论在点取到极值的必要条件.YunnanUniversity§2.条件极值,,,fMxyuv设在点取到极值，则01ffffdfdxdydudvxyuv02ggggdgdxdydudvxyuv03hhhhdhdxdydudvxyuv11,2,3，然后相加，得YunnanUniversity§2.条件极值04fghfghdxdyxxxyyyfghfghdudvuuuvvv,.称为拉格朗日系数，也称为待定系数,0,,DghDuv由于总能求得不全为零的数和使05fghuuu06fghvvvYunnanUniversity§2.条件极值(4)04fghfghdxdyxxxyyy这时式化为＝,0708dxdyfghdxxxxfghdyyyy由于和是相互独立的要使上式成立，必须＝＝YunnanUniversity§2.条件极值,,,,,,,(5),(6),(7),(8)0,0.fxyuvMxyuvgh所以函数在某点达到条件极值则在该点处应满足及,:L现在引入函数它称为拉格朗日函数,,,,,,,,,,,,LxyuvfxyuvgxyuvhxyuvL函数的直接极值的必要条件为0,0,0,0xyuvLLLL5,6,7,8.00,,,,,.ghfMxyuv这正好是方程从这四个方程再加上和可解出函数的可能有条件极值点和待定系数YunnanUniversity§2.条件极值下面进一步讨论充分条件.,,,0,,,0gxyuvhxyuv设从方程组,,,,uuxyvvxy中确定了唯一一组函数,,,,,,,,,,,,,LLxyuvLxyuxyvxyfxyuxyvxy把它们代入拉格朗日函数中得xyuvdfdLLdxLdyLduLdv由一阶微分形式不变性,有YunnanUniversity§2.条件极值22222xyuuvvdfdLdLdxdLdydLduLdudLdvLdv从而22,,,0,,,,0,dLxyztdLxyzt若有极小值；若有极大值。.n注：该方法可推广到一个函数受个函数约束的条件YunnanUniversity§2.条件极值拉格朗日乘数法要找函数),(yxfz在条件0),(yx下的可能极值点,先构造函数(,)(,)(,)Lxyfxyxy，其中为某一常数，可由(,)(,)0,(,)(,)0,(,)0.xxxxyyLfxyxyLfxyxyxy解出,,yx，其中yx,就是可能的极值点的坐标.YunnanUniversity§2.条件极值拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：要找函数),,,(tzyxfu在条件(,,,)0gxyzt，(,,,)0hxyzt下的极值。(,,,)0,(,,,)0,(,,,)0,(,,,)0,(,,,)0,(,,,)0.xyztLxyztLxyztLxyztLxyztgxyzthxyzt求解方程组解出x,y,z,t即得可能极值点的坐标.1212,,,,,,,,,,,,,Lxyztfxyztgxyzthxyzt构造函数（其中都是常数）YunnanUniversity§2.条件极值,,,,xyzt在可能的极值点22,,,0,,,,0,dLxyztdLxyzt若有极小值；若有极大值。2222222xxyyzzxyxzyzdLLdxLdyLdzLdxdyLdxdzLdydz计算YunnanUniversity§2.条件极值41.fxyztxyztc例求函数在限制条件下的极值.4:Lxyztxyztc解作拉格朗日函数410101010xyztLyztLxztLxytLxyzxyztc令YunnanUniversity§2.条件极值31,.xyzcc解得,,,.cccc于是点是可能的极值点431,Lxyztxyztcc由于31dLdxdydzdtyztdxxztdyxytdzxyzdtc故,,,,ccccL在点处的二阶微分YunnanUniversity§2.条件极值22dLdxdydydzdxdzdtdxdydzc4,,,,0xyztcccccdxdydzdtdtdxdydz将方程两端微分在点处有即2222210dLdxdydzdxdydzc所以YunnanUniversity§2.条件极值,,,,4.fccccc因此函数在点达到极小值极小值为至于实际问题，可由实际意义来判断是否有极值.YunnanUniversity§2.条件极值解2(22)0(22)0(22)02220xyzLyzyzLxzxzLxyyxxyyzxza则例2求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积.设长方体的长、宽、高为x,y，z.体积为V.则问题就是条件求函数的最大值.)0,0,0(zyxxyzV令2(,,)(222),Lxyzxyzxyyzxza02222axzyzxy下，YunnanUniversity§2.条件极值即)4(0222)3()(2)2()(2)1()(22axzyzxyyxxyzxxzzyyz,0,0,0zyx因由(2),(1)及(3),(2)得,zyzxyx,zxyxzy于是，.zyx代入条件，得YunnanUniversity§2.条件极值.02222axxxxxx,622ax解得,66ax,66ay.66az.3666666663maxaaaaV这是唯一可能的极值点。因为由问题本身可知，所以，最大值就在此点处取得。故，最大值最大值一定存在，YunnanUniversity§2.条件极值例3将正数12分成三个正数zyx,,之和使得zyxu23为最大.解令)12(),,(23zyxzyxzyxF,120020323322zyxyxFyzxFzyxFzyx则)4(,12)3(,)2(,2)1(,323322zyxyxyzxzyx由(1)，(2)得(5),32xy由(1)，(3)得(6),31xzYunnanUniversity§2.条件极值即，得唯一驻点)2,4,6(，.691224623maxu将(5)，(6)代入(4)：123132xxx于是，得,6x,4y.2z这是唯一可能的极值点。因为由问题本身可知，最大值一定存在，所以，最大值就在这个可能的极值点处取得。故，最大值YunnanUniversity§2.条件极值解2222042010xyLxxLyyxy则2222(,)21fxyxyxy例4求函数在方程约束条件下的最大与最小值。2222(,)2(1)Lxyxyxy构造拉格朗日函数，01,01,10,10解得可能条件极值点为（，）（，）（，）（，）YunnanUniversity§2.条件极值(0,1)(0,1)2,(1,0)(1,0)1,ffff计算出22222{(,)/1}21xyxyxy由于连续函数在有界闭集上必有最值，所以所求得的最大值为，最小值为。YunnanUniversity§2.条件极值