圆的尺规作图.

第4讲尺规作图1．(2012·绍兴)如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正三角形ABC，甲、乙两人的作法分别如下：甲：①作OD的中垂线，交⊙O于B，C两点．②连结AB，AC.△ABC即为所求作的三角形．乙：①以D为圆心，OD的长为半径作圆弧，交⊙O于B，C两点．②连结AB，BC，CA.△ABC即为所求作的三角形．对于甲、乙两人的作法，可判断()A．甲、乙均正确B．甲、乙均错误C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确2．(2011·绍兴)如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连结AD.若△ADC的周长为10，AB＝7，则△ABC的周长为()A．7B．14C．17D．20解析：由题可知MN即为AB的垂直平分线，MN上的任意一点到A，B两点的距离相等．∴DA＝DB.又∵DA＋DC＋AC＝10，∴AC＋DC＋DB＝10.∴△ABC的周长为10＋7＝17.答案：C3．(2012·杭州)如图是数轴的一部分，其单位长度为a.已知△ABC中，AB＝3a，BC＝4a，AC＝5a.(1)用直尺和圆规作出△ABC(要求：使点A，C在数轴上，保留作图痕迹，不必写出作法)；(2)记△ABC外接圆的面积为S圆，△ABC的面积为S△，试说明S圆S△π.解：(1)在数轴上确定AC，用直尺和圆规作AB＝3a，BC＝4a，确定点B，所作△ABC如图所示．(2)∵AB＝3a，BC＝4a，AC＝5a，又AB2＋BC2＝AC2，∴∠B＝90°，∴AC是外接圆的直径．∴S△＝12·3a·4a＝6a2，S圆＝(5a2)2π＝25a2π4，∴S圆S△＝25π2424π24＝π.4．(2012·绍兴)如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC的长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于12EF的长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M.(1)若∠ACD＝114°，求∠MAB的度数；(2)若CN⊥AM，垂足为N，求证：△ACN≌△MCN.(1)解：∵AB∥CD，∴∠ACD＋∠CAB＝180°，又∵∠ACD＝114°，∴∠CAB＝66°.由作法知，AM是∠CAB的平分线，∴∠MAB＝12∠CAB＝33°.(2)证明：由作法知，AM平分∠CAB，∴∠CAM＝∠MAB.∵AB∥CD，∴∠MAB＝∠CMA，∴∠CAM＝∠CMA，又∵CN⊥AD，CN＝CN，∴△ACN≌△MCN.1．尺规作图限定作图工具只有圆规和没有刻度的直尺．2．基本作图(1)作一条线段等于已知线段，以及线段的和、差；(2)作一个角等于已知角，以及角的和、差；(3)作角的平分线；(4)作线段的垂直平分线；(5)过一点作已知直线的垂线．3．根据基本作图作三角形(1)已知三边作三角形；(2)已知两边及其夹角作三角形；(3)已知两角及其夹边作三角形；(4)已知底边及底边上的高作等腰三角形；(5)已知一直角边和斜边作直角三角形．知识点几何作图4．与圆有关的尺规作图(1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆)；(2)作三角形的内切圆．5．有关中心对称或轴对称的作图以及设计图案是中考常见类型．6．作图题的一般步骤(1)已知；(2)求作；(3)分析；(4)作法；(5)证明；(6)讨论．其中步骤(5)(6)常不作要求，步骤(3)一般不要求，但作图中一定要保留作图痕迹.作图：请你在下图中作出一个以线段AB为一边的等边△ABC.(要求：用尺规作图并写出已知、求作，保留作图痕迹，不写作法和结论)【思路点拨】以A、B为端点，以AB的长为半径画弧→作交点C→连结AC、BC【解析】已知：如图所示，已知线段AB.求作△ABC，使AC＝BC＝AB.作图如图所示：类型一作三角形四条线段a，b，c，d如图所示，a∶b∶c∶d＝1∶2∶3∶4.选择其中的三条线段为边作一个三角形(尺规作图，要求保留作图痕迹，不必写出作法)．答案：图略如图，有分别过A、B两个加油站的公路l1、l2相交于点O，现准备在∠AOB内建一个油库，要求油库的位置点P满足到A、B两个加油站的距离相等，而且P到两条公路l1、l2的距离也相等．请用尺规作图作出点P(不写作法，保留作图痕迹)【思路点拨】作角平分线→作AB的垂直平分线→确定P点类型二基本作图的应用【解析】到两点距离相等的点，在这两点所连线段的垂直平分线上；到角两边距离相等的点在角的平分线上；这两条线的交点P就是加油站的位置．如图所示．如图所示，直线l表示一条河，P、Q两地相距5千米，P、Q两地到l的距离分别为2千米和4千米，欲在l上的某点M处修建一个供水站，供P、Q两地居民取水，现有如下四种方案(图中的实线表示两地居民取水所走路线)，则两地居民取水所走的路程和最短的是图中的()答案：B对题干中新定义的名词理解不清．如图①凸四边形ABCD，如果点P满足∠APD＝∠APB＝α且∠BPC＝∠CPD＝β，则称点P为四边形ABCD的一个半等角点．(1)在图②的正方形ABCD内画一个半等角点P，且满足α≠β；(2)在图③的四边形ABCD内画一个半等角点P，保留画图痕迹(不需写出画法)．【错因分析】仔细审题，据题干条件明确半等角点的定义是解题的关键．【解析】本题主要考查尺规作图，轴对称和四边形的知识．(1)(2)1.直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货运中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有()A．一处B．两处C．三处D．四处答案：D2.数学活动课上，老师在黑板上画直线l平行于射线AN，如图所示，让同学们在直线l和射线AN上各找一点B和C，使得以A、B、C为顶点的三角形是等腰直角三角形，这样的三角形最多能画3个．3.已知△ABC(如图)，利用直尺和圆规，根据下列要求作图(保留作图痕迹，不要求写作法)，并根据要求填空：(1)作∠ABC的平分线BD交AC于点D；(2)作线段BD的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F.试判断线段EF与线段BD的关系．解：(1)、(2)题作图如图：由图可知线段EF与线段BD的关系为：互相垂直平分．跟踪训练1．如图所示，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A、B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A、B、C为顶点的三角形的面积为2，则满足条件的点C的个数是()A．2B．3C．4D．5答案：C2．下列给出的条件一定能画出唯一的三角形的是()A．两个角和其中一角的对边B．三个角C．两边和其中一边的对角D．任意给出三条线段作三角形的三边答案：A3．尺规作图：请在原图上作一个∠AOC，使其是已知∠AOB的32倍．(要求：写出已知、求作，保留作图痕迹，在所作图中标上必要的字母，不写作法和结论)已知：求作：解：已知：∠AOB.求作：∠AOC＝32∠AOB.作图如下：4．如图，已知正五边形ABCDE，请用无刻度的直尺，准确地画出它的一条对称轴．(保留作图痕迹)解：如图，连结BD、CE交于点K，连结AK并向两端延长，则直线AK即为所求．一、填空题1．如图，△ABC是不等边三角形，DE＝BC，以D，E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出4个．2．(2012·金华第四中学调研)如图所示，已知线段a，c和∠α，求作：△ABC，使BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠α，根据作图把下面空格填上适当的文字或字母．(1)如图①所示，作∠MBN＝∠α；(2)如图②所示，在射线BM上截取BC＝a，在射线BN上截取BA＝c；(3)连结AC，如图③所示，△ABC就是所求作的三角形．二、解答题3．如图所示，在△ABC中，∠A＝90°.(1)用尺规作图的方法，作出△ABC绕点A逆时针旋转45°后的图形△AB1C1；(保留作图痕迹)(2)若AB＝3，BC＝5，求tan∠AB1C1.解：(1)如图，△AB1C1即为所求作的图形．(2)在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝5，∴AC＝52－32＝4.在Rt△AB1C1中，AB1＝AB＝3，AC1＝AC＝4，∴tan∠AB1C1＝AC1AB1＝43.4．(2012·杭州市学军中学模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,8)，点B(6,8)．(1)只用直尺(没有刻度)和圆规，求作一个点P，使点P同时满足下列两个条件：(要求保留作图痕迹，不必写出作法)①点P到A、B两点的距离相等；②点P到∠xOy的两边的距离相等．(2)在(1)作出点P后，写出点P的坐标．解：(1)如图所示，点P即是所求作的点．(2)设AB的中垂线交AB于E，交x轴于F，由作图可得，EF⊥AB，EF⊥x轴，则OF＝3.又∵OP是∠xOy的平分线，∴P(3,3)．