大一-高等数学函数

返回上页下页广义地说，初等数学之外的数学都是高等数学.通常大学里非数学专业开设的高等数学课程包括微积分学，概率论与数理统计，线性代数等。另外，我们这里也把微积分称为高等数学（B).什么是高等数学?微积分是近代数学中最伟大的成就,对它的重要性无论做怎样的估计都不会过分.返回上页下页初等数学研究的是常量，高等数学研究的是变量。高等数学有其固有的特点：高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性。抽象性是数学最基本、最显著的特点—有了高度抽象和统一，我们才能深入地揭示其本质规律，才能使之得到更广泛的应用。严密的逻辑性是指在数学理论的归纳和整理中，无论是概念和表述，还是判断和推理，都要运用逻辑的规则，遵循思维的规律。初等数学与高等数学（广义）的区别返回上页下页另外，人类社会的进步，与数学这门科学的广泛应用是分不开的。尤其是到了现代，电子计算机的出现和普及使得数学的应用领域更加拓宽，现代数学正成为科技发展的强大动力，同时也广泛和深入地渗透到了社会科学领域。因此，学好高等数学对我们来说相当重要。所以说，数学也是一种思想方法，学习数学的过程就是思维训练的过程。返回上页下页首先，理解概念。数学中有很多概念。概念反映的是事物的本质,弄清楚了它是如何定义的、有什么性质，才能真正地理解一个概念。要想学好高等数学，至少要做到以下四点:其次，掌握定理。定理是一个正确的命题，分为条件和结论两部分。对于定理除了要掌握它的条件和结论以外，还要搞清它的适用范围，做到有的放矢。返回上页下页第三,在弄懂例题的基础上做适量的习题。要特别提醒的是，课本上的例题都是很典型的，有助于理解概念和掌握定理，要注意不同例题的特点和解法，在理解例题的基础上做适量的习题。做题时要善于总结----不仅总结方法，也要总结错误。这样，做完之后才会有所收获，才能举一反三。返回上页下页第四，理清脉络。对所学的知识要有一个整体的把握，及时总结知识体系，这样不仅可以加深对知识的理解，还会对进一步的学习有所帮助。返回上页下页微积分是近代数学发展的里程碑微积分的建立是人类头脑最伟大的创造之一，一部微积分发展史，是人类一步一步顽强地认识客观事物的历史，是人类理性思维的结晶。它给出的一整套科学方法，开创了科学的新纪元，并因此加强与加深了数学的作用。恩格斯说:“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和惟一的功绩，那就正是在这里。”返回上页下页返回上页下页微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的。函数是微积分研究的对象,所以我们的讨论将从函数开始。极限的思想是微积分的基础，一步就是要理解到“极限”引入的必要性：学习微积分学，首要的极限思想贯穿整个微积分的始终，极限思想的把握关系到对微积分思想的确立，微积分理论的掌握和运用，以及数学思维的建立。第一节函数的概念及其基本性质第二节初等函数第三节经济学中常见的函数返回上页下页若a属于集合A的元素，则称a属于A，记作;否则称a不属于A,记作（或）。AaAa第一节函数的概念及其基本性质含有限元素的集合称为有限集，不含任何元素的集合称为空集；用表示空集。不是有限集也不是空集的集合称为无限集。一.集合及其运算集合：具有某种确定性质的对象的全体，简称集。集合的元素：组成集合的各个对象。用大写的英文字母A、B、C……表示集合，用小写的英文字母a、b、c……表示集合的元素。返回上页下页表示集合的方法:(1)列举法将集合的元素一一列举出来，写在一个花括号内；(2)描述法在花括号内指明集合元素所具有的性质。一般，用N表示自然数集，用Z表示整数集，用Q表示有理数集，用R表示实数集．返回上页下页子集设A，B是两个集合，若A的每个元素都是B的元素，则称A是B的子集，记作AB(或BA),读作A包含于B包含（或B包含A）.若AB，且有元素a∈B，但aA，则说A是B的真子集.规定:A.相等若AB，且BA，则称A与B相等,记作A=B.返回上页下页并集由属于A或属于B的所有元素组成的集合称为A与B的并集记作A∪B，即A∪B={x|x∈A或x∈B}交集由同时属于A与B的元素组成的集称为A与B的交集，记作A∩B，即A∩B={x|x∈A且x∈B}ABAB差集由属于A但不属于B的元素组成的集称为A与B的差集，记作A–B即}|{BxAxxBA但ABBA\或返回上页下页..:UI或积为成的集合称为全集又所研究的全部事物构全集.)\(,,_cAAAAIAIIAI或记为的补集，称为即则对于任意集合记为集，考虑对象的全体看作全若研究某一问题时将所niniAAAA121定义121iniAAAAniniAAAA121121iniAAAA返回上页下页(1)A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；(交换律)(2)(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)；(结合律)(3)(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)，(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)，(A-B)∩C=(A∩C)-(B∩C)；(分配律)(4)集合运算的基本规律：.).)().)(_________________________摩根律德或（或（ccccCcBABABABABABABABA返回上页下页二.区间与邻域设a和b都是实数，将满足不等式axb的所有实数组成的数集称为开区间，记作(a,b)即(a,b)={x|axb},a和b称为开区间(a,b)的端点,这里a(a,b)且b(a,b).数集[a,b]={x|a≤x≤b}为闭区间,a和b也称为闭区间[a,b]的端点,a∈[a,b]且b∈[a,b].数集[a,b)={x|a≤xb}和(a,b]={x|ax≤b}为半开半闭间.以上这些区间都称为有限区间,数b-a称为区间长度.返回上页下页无限区间.}.|{),(}.|{),[}.|{),(}.|{],(,}|{),(正无穷大与负无穷大分别表示与记号xaxaxaxabxxbbxxbRxx返回上页下页为这邻域的半径。的中心为这邻域称点记作邻域的为点称数集是某一正数是一个给定的实数设,),,(,}|{:,,000000xxUxxxxxx00x()0x0xx}||0|{),(),,(,}{),(00000000xxxxUxUxxxU即记作邻域的去心为称.)(),(,00000的某去心邻域的某邻域和分别表示用径时当不需要指出邻域的半xxxUxU返回上页下页三.映射定义定义设A和B是两个非空集合，若存在一个确定的规则f，使是集合则称与之对应都有唯一确定的按照fByfAx,,)).((}),(,{)(,.),(),(|::AfRfAxxfyByyxfxADfAfyxxfyxffxyyxfBAfBAff或的值域，记作称为映射的集合的像的所有元素作的定义域，记称为映射集合下的原像在映射为而称即下的像，记为在映射为并称或的一个映射，记为到集合返回上页下页的满射；到为则称若的映射到对于BAfBAffBA,)(,的单射；到为则称都有（若BAfxfxfxxAxx),()(),212121.映射为双射，双射也叫一一称既是满射又是单射，则若ff}0,),0{(,},),{12yRyyBRxxyyxA且（设例..2是单射这个映射是满射，但不的一个映射到轴上就建立了上的每一点投影到将平面上抛物线BAyxy返回上页下页逆映射四.))((|:|1ffyxfxygBAyxf的逆映射，记为为一个双射，称映射的到是：设定义.,11ffffDRRD这时yxyffRyyyBRxxxAxyxf|:},0|{},0|{|:212的逆映射为的一个双射，则到是设例.1.6.585pp作业：返回上页下页复合映射五..|:,|:,|:的复合映射则称且设定义yxgfDRuxgyuffg))(())((xgfxgfy其中.sin:,0()1,1(,sin|:,|:22xyxgfDRxuxguyuffg复合映射，所以有）因为设例返回上页下页.)(,000处的函数值为函数在点称时当xxfDx.}),({称为函数的值域函数值全体组成的数集DxxfyyW数集D叫做这个函数的定义域上的函数，称为定义在的一个映射到，则为非空实数集设定义DRDfRDD:.),(Dxxfy函数记为为演算方便起见，常将.为因变量为自变量，称yx函数五.返回上页下页约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.21xy例如，]1,1[:D211xy例如，)1,1(:D表达的函数，我们对于一个仅由数学试子返回上页下页要使数学式子有意义，x必须满足.1142的定义域求函数xxy21,1,2,01,042xxxxx由此有即因此函数的定义域为(1,2]．例1解返回上页下页例2.)3(,212101)(的定义域求函数设xfxxxf解23121301)3(xxxf212101)(xxxf122231xx]1,3[:fD故返回上页下页函数的图形:.)(}),(),{(的图形称为函数点集xfyDxxfyyxCoxy),(yxxyWD.解析式也不同的函数的不同取值范围内，函数分段函数：在自变量的返回上页下页反函数六..1的反函数为是双射，则称其逆映射若函数定义fff.)(),).(),(,),(11的反函数表示（因变量，故约定用表示表示自变量，由于习惯上常用字母其反函数表示为对于函数fDfxxfyyxDfyyfxDxxfy.)()(),()())(1111-对称图形关于直线的图形与内则在同一坐标系对换成和的变量若将内它们是同一图形，但关系，故在同一坐标系之间的相互对应与表示（和由于xyxfyxfyxfyyxyfxyxyfxxfy返回上页下页)(xfy直接函数xyo),(abQ),(baP反函数xfy1返回上页下页例1设函数,求f-1(x+1).,0,1)(uuuuf令u=x+l则0,1)1(11)1(,11)(11xxxxfuufy因此所以解.-11,1-)1-(yuyu从而,0,1uuuy即返回上页下页221,101,02xxxx,,例2求下列函数的反函数f(x)=,21x21y1y21,011,15yyyy21,011,15xxxx当1≤x＜0时，由y=得x=当时，由y=x2+1得x=．交换x,y的位置，得反函数，０≤y＜1．于是，有xy20x解51,y返回上页下页,uy如由,12xu21xy可得复合函数定义:设函数)(ufy的定义域fD,而函数)(xu的值域为Z,若ZDf,则称函数)]([xfy为x的复合函数..,为因变量为中间变量，为自变量称yux七.复合函数.11-x其定义域为返回上页下页注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;,arcsinuy例如;22xu)2arcsin(2xy2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成..2,cot,,2cot复合而成的可以看成是由例如xvvuuyxy交集为空集，故的定义域的的值域与由于uyxuarcsin22返回上页下页21xx211x例设f(x)＝，(x)＝求复合函数f((x))和(f(x))．2222111121()1xxx222211121()1xxxx