《菱形的性质与判定(2)》名师教案

1/22第一章特殊平行四边形1.菱形的性质与判定（2）一、学情与教材分析1.学情分析上节课，学生已经经历了独立探索发现菱形性质的过程，通过折纸等活动学生体会了“实验—猜想—证明—应用”的科学探索过程，认识了菱形与平行四边形的关系，这些都为本节课进一步探索和发现菱形的判定定理提供了较好的知识基础和活动经验基础。2.教材分析本节课，学生将探究菱形的判定定理，应该说，有了上节课的铺垫，本节课可以更多地让学生自主探索。第一个定理的证明中，需要首先明确判定定理与性质定理的关系，这样为后面一系列定理的证明打下基础；第二个定理教科书中是通过设置一个尺规作图的问题引入的，在学生自行完成尺规作图并明确了作法的可行性后，引导学生自主完成证明过程。本节课中将通过学生的自主证明过程，提升学生的逻辑推理能力，通过经历尺规作菱形提升学生的动手操作能力和规范的语言表达能力.二、教学目标1.经历菱形的判定定理的探究及证明过程及其运用；2.掌握用尺规作菱形的方法；3.经历“探索——猜想——证明”的学习过程，进一步提高推理论证的能力.三、教学重难点重点：菱形判定定理的证明和应用.难点：通过尺规作图法作菱形.四、教法建议采用“展示交流——合作论证——知识运用（训练提升）”的教学模式，引导学生观察、思考、讨论、总结并形成结论，让学生在探究中体会所学知识.五、教学过程（一）课前设计1.预习任务：任务1：制作菱形2/22①在一张纸上用尺规作图做出边长为10cm的菱形；②想办法用一张长方形纸剪折出一个菱形.③利用长方形纸你还能想到哪些制作菱形的方法.任务2：怎样去判定一个四边形是菱形呢？菱形性质定理的逆命题是不是可以作为判定定理呢？请回答下列问题：①：菱形的四条边相等的逆命题是什么？②：①中的两个逆命题是否正确？请尝试证明！对于不正确的命题请添加适当的条件，使它成立.2.预习自测：一、填空题1.如图，如果要是平行四边形是一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是________________.DABC答案：AB=BC，或AC⊥BD（答案不唯一）解析：由定义知，当AB=BC时，平行四边形ABCD是一个菱形；由判定定理知道，当AC⊥BD时，平行四边形ABCD是一个菱形，所以两个答案都可以.点拨：熟练掌握菱形的判定方法即可解答此题.2.如图，等边△ABC中，点D,E,F分别是AB,BC,AC边上的中点，则图中有________个菱形.EFDCAB答案：3解析：∵△ABC是等边三角形，3/22∴AB=AC=BC，∵D、E、F分别是AB、BC、CA边上的中点，∴DF=12BC，DE=12AC，EF=12AB，∴DF=EF=ED=AD=AF=CF=CE=BE=BD，∴有3个菱形：菱形ADEF，菱形BDFE，菱形CFDE．故答案为3．EDFCAB点拨：根据等边三角形和中位线的性质可得DF=EF=ED=AD=AF=CF=CE=BE=BD.再根据菱形的判定定理即可解答此题3.如图，在等腰梯形ABCD中，AB//CD,AD=BC=CD,点E为AB上一点，连接CE.请添加一个你认为合适的条件_______________，使四边形AECD为菱形.ECDAB答案：AD//CE或AD=AE或∠CEB=∠B等解析：当AD//CE，∵AB//CD，∴四边形AECD为平行四边形.又∵AD=CD，∴四边形AECD为菱形.当AD=AE，∵AD=CD，∴AE=CD.又∵AB//CD，∴四边形AECD为平行四边形.∴四边形AECD为菱形.当∠CEB=∠B；4/22∵等腰梯形中，∠A=∠B，∴∠A=∠CEB.∴AD//CE.又∵AB//CD，∴四边形AECD为平行四边形.∴四边形AECD为菱形.点拨：利用平行四边形和菱形的判定定理，先证平行四边形，再证菱形.(或点击“课前预习-名师预习”，选择“《菱形的性质与判定（2）》预习自测”)（二）课堂设计1、知识回顾内容：通过练习复习上节课所探究的菱形的性质.1)菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则菱形的周长是______2)如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC与点F,垂足为点E，连接DF,则∠CDF等于________设计意图：通过课件中的问题回顾上节课探究过的菱形的性质定理，从而为本节课的继续探究，尤其是理论证明做铺垫。注意事项及效果：鼓励学生主动讲解、相互补充完成本部分内容.2、情境引入内容：红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志，人们将红丝带剪成小段，并用别针将折叠好的红色丝带别在胸前，你知道红丝带的折叠部分的形成的图形是怎样的吗？FEACDB图1—15/22学生交流，发言：是菱形.引入除菱形的定义可以判定菱形外，还有其他的条件可以判断一个平行四边形是菱形吗？结合课前做菱形的经历想一想，与同伴交流彼此的看法.设计意图：以问题的形式展开课堂，激发学生对本节知识的学习兴趣和好奇心，同时提出学生的手工操作激发学生的积极性和主动性，学生通过小组交流得到本节课的知识点，也增强了小组交流合作的能力。注意事项及效果：给出学生时间思考讨论，不要流于形式.3、探究发现1.展示交流内容：利用实物投影或者课件，请学生说明自己制作的菱形的过程，教师从中抓住“对角线垂直的平行四边形是菱形”、“四条边相等的四边形是菱形(菱形的尺规作图)”和“利用长方形纸剪折菱形”等的实例资源，引导学生认识到理论证明的必要性，并引导学生思考菱形的判定与菱形的性质之间的关系。用实物投影、课件、板书等方式罗列发现的学生资源:（1）对角线垂直的平行四边形是棱形（2）四条边相等的四边形是菱形（3）菱形的尺规作图（4）利用长方形纸剪折菱形设计意图：菱形的性质学生刚刚学完，也经过了严格的证明，学生对问题证明的分析和格式要求有一定的认知，教师引导学生认识判定定理与性质定理是互逆定理后，可以让学生独立思考，逐步锻炼学生的推理论证能力，最后通过互查的形式让每个学生都能严格的证明，培养严谨的作风。通过小组合作，在合作中让学生相互帮助共同进步。图1—26/22注意事项及效果：（1）在学生的展示过程中教师要能及时扑捉学生资源;（2）展示交流时，应当鼓励学生提出自己的意见，鼓励学生多提“为什么”,鼓励学生质疑，从而使学生认识到证明的必要性。（3）如果学生资源不足，教师可以运用课件展示教材上的课例。通过这种师生活动充分调动学生的积极性，通过深入提问开阔学生思维.2.合作论证内容：组织学生以小组合作的方式独立完成“对角线垂直的平行四边形是菱形”和“四条边相等的四边形是菱形”两个判定定理的证明，并进行全班交流。（一）对角线垂直的平行四边形是菱形已知:如图1-3,在□ABCD中,对角线AC与BD交于点O,AC⊥BD.图1—3求证:□ABCD是菱形证明:∵四边形ABCD是平行四边形∴OA=OC又∵AC⊥BD∴BD是线段AC的垂直平分线∴BA=BC∴四边形ABCD是菱形(菱形定义)（二）四条边相等的四边形是菱形已知:如图,四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA.求证:四边形ABCD是菱形证明:∵AB=CD,AD=BC∴四边形ABCD是平行四边形又∵AB=BC∴四边形ABCD是菱形(菱形定义)设计意图：菱形判定定理的证明首先可以让学生对菱形的性质和判定的关系有一定的认识，再对比性质定理的证明进行.同时，通过教师引导和独立思考，培养学生遇到题目时冷静思考，找到解题思路的良好习惯。在分析思路时，逐步锻炼学生的推理论证能力，最后通过互查的形式让每个学生都能严格的证明，培养严谨的作风。通过小组合作，在合作中让学生相互帮助共同进步。图1-1图1-47/22注意事项及效果：可以通过分组的形式，让学生选择自己要证明的判定定理，加入那个小组，每个小组去证明一个定理，这样不仅有利于学生的合作交流，同时还能合理安排课堂时间，让学生把精力投入到对思想方法的研究上去；同时，采取小组合作时，应当鼓励学生提出自己的意见，鼓励发现更多的方法来证明这些定理，在小组讨论形成结果的时候，由代表为其他同学进行讲解，并把自己组所有想到的方法向大家展示。此时，教师应该关注学生的思路是否清晰、证明是否严谨，对学有余力的学生要关注他们是否有新的想法，对学困生则要关注他们是否掌握了基本的证明思路。4、知识运用内容：小组合作完成教材中的两个习题1.教材P7随堂练习画一个菱形,使它的两条对角线长分别是4cm、6cm.2.教材P7知识技能1已知:如图,在□ABCD中,对角线AC的垂直平分线分别与AD、AC、BC相较于点E、O、F.求证:四边形AECF是菱形设计意图：运用刚刚证明的两个判定定理解决问题，进一步发展学生的推理能力，同时，通过对教材P7随堂练习的解决，让学生找寻不同的解题方法，培养学生的分析能力，深刻体会数学思想的多样性和灵活性。在一题多解的过程中，贯彻分层教学的理念，让学生在思维最活跃的时候，最大化地提高学生能力。注意事项及其效果：（1）在小组合作过程中教师要能及时发现学生资源,及时点明共性的问题;（2）鼓励学生提出自己的意见，采用不同的思路解决问题，并能运用本节课的知识解释其中的道理。（3）强调证明过程书写的规范性；FEODBCA图1-58/22（4）教材P7知识技能1.此题完成证明过程后，应当点明可以采用类似方法用长方形纸制作菱形，与第一环节呼应起来。5、随堂检测一.选择题1．下列命题中正确的是（）A．对角线相等的四边形是菱形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线相等的平行四边形是菱形D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形答案：D解析：对角线互相垂直平分的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故选：D．点拨：根据菱形对角线互相垂直平分的判定方法进行解答．2．如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是（）A．4B．3C．2D．答案：B解析：解：∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD，∠B=∠D=60°，9/22∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴根据等面积有BC×AE=CD×AF，∠BAE=∠DAF=30°，∴AE=AF，∵∠B=60°，∴∠BAD=120°，∴∠EAF=120°﹣30°﹣30°=60°，∴△AEF是等边三角形，∴AE=EF，∠AEF=60°，∵AB=4，∴BE=2，∴AE==2，∴EF=AE=2，过A作AM⊥EF，∴∠EAM=30°，∴EM=AE=，AM=AEEM22222333，∴△AEF的面积是：EF•AM=×2×3=3．故选：B．点拨：首先利用菱形的性质及等边三角形的判定可判断出△AEF是等边三角形，再根据30°角所对的直角边等于斜边长的一半得出所对直角边BE的值，从而得出AE的值。再过A作AM⊥EF，再进一步利用30°角所对的直角边等于斜边长的一半得出EM的长，从而得到AM的长，即可算出三角形的面积．二、填空题3．如图，点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，当四边形ABCD的边至少满足条件时，四边形EFGH是菱形．10/22答案：AB=CD解析：解：需添加条件AB=CD．∵E，F是AD，DB中点，∴EF∥AB，EF=AB，∵H，G是AC，BC中点，∴HG∥AB，HG=AB，∴EF∥HG，EF=HG，∴四边形EFGH是平行四边形，∵E，H是AD，AC中点，∴EH=CD，∵AB=CD，∴EF=EH，∴四边形EFGH是菱形．故答案为：AB=CD．点拨：首先利用三角形的中位线定理证出EF∥AB，EF=AB，HG∥AB，HG=AB，可得四边形EFGH是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，添加条件AB=CD后，证明EF=EH即可．（或点击“随堂训练”，选择“《菱形的性质与判定（2）》随堂检测”）6、课堂小结自由发言谈本节课的困惑、收获和体会。知识点（1）对角线互相垂直的平行四边形是菱形.（2）四条边都相等的四边形是菱形.作业布置（1）教材P7知识技能2（两种方法证明）（2）教材P7数学理解37、分层作业基础型11/22一.选择题1.四个点A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥