《直角三角形》小结与复习

湘教版SHUXUE八年级下本课内容本节内容第一章-----小结与复习(一)1、阅读p27的三项内容。2、根据内容填表：性质判定从角考虑从边考虑有一角为直角(或900)两锐角互余斜边上的中线等于斜边的一半；一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形。直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（勾股定理）性质的逆定理勾股定理逆定理3、直角三角形中300角所对的边的大小性质及逆定理。三角形的三边之间满足怎样数量关系时，此三角形是直角三角形？CBAacb∵△ABC为直角三角形．∴a2＋b2＝c2.∵a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形．4.直角三角形勾股定理的内容：勾股定理逆定理也叫做直角三角形的判定定理。5、直角三角形全等的判定方法：SAS、ASA、AAS、SSS、HL1.在直角三角形中，两个锐角_____。互余2、两条直角边相等的直角三角形叫做。它的两个底角相等，都等于。等腰直角三角形45°3.直角三角形斜边上的中线等于_____。斜边的一半4.直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于。30°6.如果三角形中____的平方和等于边的平方，那么这个三角形是直角三角形，所对的角是直角。5.直角三角形_________的平方和等于_______的平方。如果用字母a，b和c分别表示直角三角形的两条直角边和斜边，那么_____+_____=_____。两直角边斜边c2b2a2两边第三边最大边7.有两条边对应相等的两个三角形全等。直角1.如图,∠ACB=90°∠A=30°，则∠B=___ED30°CBABC=1，则AB的长为____，AC的长为______CD是斜边AB的中线，则CD的长为______CE是斜边AB的高线，则CE的长为______60°2√31√322.若直角三角形的两锐角之差为18°，则较大一个锐角的度数是。54°3.如图，在Rt∆ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠CDA=70°，则∠A=___，∠B=_____。55°DCBA4.如图，在等边三角形ABC中，AD是中线，DE⊥AB，垂足为E。若BC=4cm，则DE的长___cm。∆ABC的面积是cm2。EDCBA√3√3435°1、如图，AC与BD相交于点O，DA⊥AC，DB⊥BC，AC=BD，说明OD=OC成立的理由.ODCBA分析：要证OD=OC，就只要证∠1=∠212只要证明Rt∆BDC≌Rt∆ACD，条件满足吗？∴OD=OC（等角对等边）证明:∵DA⊥ACDB⊥BC∴∠A=∠B=900又∵AC=BD，CD=DC∴∆ACD≌∆BDC（HL）∴∠BDC=∠ACD（全等三角形的对应角相等）2、如图，∆ABC中，AB=AC，D是AB上一点，且BC=25，CD=20，BD=15，求∆ABC的面积。解：∵BC=25，CD=20，BD=15，∴BC2=CD2﹢BD2DCBA∴AB=+15=3561256∴S∆ABC=×20÷2=12566253∴∆BCD为直角三角形，即：CD⊥AB在Rt∆ACD中，设AD=x，则AB=x+BD=x+15∵AB=AC∴AC=x+15∴由勾股定理得：(x+15)2=x2+202356解得：x=∴BD2+CD2=CE2+CD2=DE2EDCBA解：如图，△ACE是将△ABD绕A点逆时针旋转90°而得，连结DE，可得：∠DAE=90°，CE=BD在Rt∆DEC中，CE2+CD2=DE2∴BD2+CD2=CE2+CD2=DE2=2AD23、如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是BC上任意一点，则BD2+CD2=2AD2吗？请说明理由。又∵∠DCE=90°AE=AD，∴在Rt∆ADE中，AD2+AE2=DE2=2AD21、如图，已知AB=AC，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，则图中和C互余的角共有（）A、1个B、2个C、3个D、4个C2、直角三角形斜边的高与中线分别是5cm和6cm，则它的面积是。30EDBCA3、已知三角形两个外角的和是2700，则该三角形是三角形。直角4、如图，AP平分∠BAC，PB⊥AB，PC∥AB，已知∠BAC=300，AC=30，求PB的长。DBCAP解：作CD⊥AB，垂足是D，∵PB⊥AB，PC∥AB，∴CD=PB在Rt△ACD中，∵∠BAC=300，AC=30，∴CD=AC=×30=151212∴PB=155、已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足a2c2-b2c2=a4-b4，你能判断△ABC的形状吗？解：∵a2c2-b2c2=a4-b4即：a4-a2c2+b2c2-b4=0∴a4-a2c2+b2c2-b4=(a4-b4)+(b2c2-a2c2)=0即：(a2+b2)(a2-b2)-c2(a2-b2)=0(a+b)(a-b)(a2+b2-c2)=0a+b≠0a-b=0，a=b或：a2+b2-c2=0，a2+b2=c2△ABC是等腰三角形或直角三角形。作业：p28A1、6、76、若△ABC的三边a、b、c满足条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，试判断△ABC的形状。解：∵a2+b2+c2+50=6a+8b+10c∴a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0即：(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0∴a=3，b=4，c=5∵32+42=52∴△ABC是直角三角形。湘教版SHUXUE八年级下本课内容本节内容第一章-----小结与复习(二)三角形的三边之间满足怎样数量关系时，此三角形是直角三角形？CBAacb∵△ABC为直角三角形．∴a2＋b2＝c2.∵a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形．1.直角三角形勾股定理的内容：勾股定理逆定理也叫做直角三角形的判定定理。（2）300角所对的边等于斜边的一半。2、直角三角形的特殊性质：（1）斜边上的中线等于斜边的一半。4、角平分线的性质和判定：角平分线上的点到角的两边的距离相等到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。3、直角三角形全等的判定方法：SAS、ASA、AAS、SSS、HLOCB1A2PDE∵∠1=∠2，PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PE.∵PD⊥OA，PE⊥OBPD=PE∴∠1=∠2.•角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合.1、有四个三角形，分别满足下列条件：(1)一个内角等于另外两个内角之和；(2)三个内角之比为3∶4∶5；(3)三边之比为5∶12∶13；(4)三边长分别为7、24、25.其中直角三角形有()A.1个B.2个C.3个D.4个C2、在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，CD⊥AB于D，AB=a，则DB等于（）A.B.C.D.以上结果都不对a4a3a2C4、在Rt△ABC中，∠C=90º，∠A=30º，BC=2cm，则AC=_____cm。3、在Rt△ABC中，∠C=90º，CD是AB边上的高，若AC=4，BC=3，则CD=＿＿1252√35．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为_____cm2。ABCD7cm49（面积法）例1、已知：如图，∠A=90°∠B=15°BD=DC.请说明AC=BD的理由.12ABCD证明：∵BD=DC，∠B=15°∴∠DCB=∠B=15°（等角对等边）∴∠ADC=∠B+∠DCB=30°（三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠A=90°∴AC=DC（直角三角形中，30°角所对直角边是斜边的一半）12∴AC=BD12FEDCBA例2：如图：AD是△ABC中BC边上的高，E为AC上一点，BE交AD于F，BF=AC，FD=CD，问BE，AC互相垂直吗？请说明理由答：BE⊥AC证明：∵AD是△ABC中BC边上的高，即：AD⊥BC∴∠ADC=∠BDF=90°又∵BF=AC，FD=CD∴Rt△BDF≌Rt△ADC(HL)∴∠FBD=∠CAD∴∠BFD=∠AFE∵∠BFD+∠FBD=90°∴∠AFE+∠CAD=90°∴∠AEF=90°即：BE⊥ACCABDEF例3、如图，AC⊥BC，AD⊥BD，点E，F分别是AB，CD的中点，求证：EF⊥CD.∵AC⊥BC，AD⊥BD，∴△ACB和△ADB是具有公共斜边AB的直角三角形。证明：连接CE，DE又∵E是AB的中点，∴CE=DE=AB12∴△CED是等腰三角形。又∵F是CD的中点，∴EF⊥CD（三线合一）D分析：A城是否受到这次台风的影响，就看A城与台风中心的距离在200千米以内还是以外。思考：若A城与B地的方向保持不变，为了确保A城不受台风影响，至少离B地多远？例4、如图，A城市气象台测得台风中心，在A城正西方向300千米的B处，正向北偏东600的BF方向移动，已知距台风中心200千米的范围内是受台风影响的区域，那么A城是否受到这次台风的影响？为什么？知识运用解：作AD⊥BF北东B600FAC∵∠CBF=600∴∠FBA=300而150＜200，所以A城会受到台风的影响在Rt∆ABD中，BA=300千米∴AD=AB=150千米。12例5、如图，已知AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D。若点E是BD上一点，能否在AB、CD上分别各找一点F、G，使Rt△FEB≌Rt△CEG？如果能，EF与EG的位置关系和数量关系怎样？DCBAEGF分析：要使Rt△FEB≌Rt△DEG，就有夹直角的两边对应相等。解：在AB上取BF=CE，在CD上取CG=BE，连接EF，EG在Rt△FEB和Rt△DEG中，BF=CE∠FBE=∠ECG=900BE=CG∴Rt△FEB≌Rt△DEG(SAS)∴EF=EG∠BFE=∠CEG∠BFE+∠BEF=900∴∠CEG+∠BEF=900即：∠EFG=900∴EF⊥EG1、如图，已知AB=AC，AD是BC边上的中线，∠EBC=∠BAD，问BE与AC的位置关系怎样？ABCDEBE⊥AC2.如图，△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，M是AB的中点，点N在BC上，MN⊥AB。求证：AN平分∠BAC.NMCBA12可证：Rt△AMN≌Rt△ACN∴∠1=∠23.在△ABC中，BD、CE是高，BD与CE交于点O，且BE=CD，求证:AE=AD.提示：要根据题意画图（如图）先证Rt△OEB≌Rt△ODC(AAS)，再证明Rt△AEO≌Rt△ADO(HL)4.已知如图，在△ABC中，∠BAC=2∠B，AB=2AC，求证:△ABC是直角三角形。CBADE提示：过A作∠CAB的角平分线，交BC于D，过D作DE⊥AB于E，再证明△ACD≌△AED(SAS)ABCDEO5、如图，在△ABC中，AB=6，BC=AC=5（1）求AB边上的高CD；（2）求BC边上的高AE。（3）DF⊥BC，求DFCD=4（2）由面积公式可得：AE=4.8(3)也可由面积公式得：DF=1.26、如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm,现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．ACBEＤ664xx8-x如图，设未知数，在△BED中，由勾股定理列方程，求解。CD=3FEDBCA7.如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E．（1）若BC在DE的同侧（如图①）且AD=CE，说明：BA⊥AC．（2）若BC在DE的两侧（如图②）其他条件不变，问AB与AC仍垂直吗？若是请予证明，若不是请说明理由．BAEDC①EDCBA②还能证明线段DE、BD、CE之间的数量关系。图①中：DE=CE+BD，图②中：DE=CE-BD证明：Rt△ABD≌Rt△CAE(HL)