二叉树与BS方程的一致性

在第十一章中，我们得到了期权价值所满足的偏微分方程，并解出了特定条件下的期权解析定价公式。但在很多情形中，我们无法得到期权价值的解析解，这时人们经常采用数值方法（NumericalProcedures）为期权定价，主要包括二叉树方法（BinomialTrees）、蒙特卡罗模拟（MonteCarloSimulation）和有限差分方法（FiniteDifferenceMethods）。在这一章里，我们将介绍如何借助上述三种数值方法来为期权定价。为了便于表达，本章中统一假设当前时刻为零时刻。1Copyright©ZhengZhenlong&ChenRong,2008pSuS1-pSd1、从开始的上升到原先的倍，即到达；SuSu把期权的有效期分为很多很小的时间间隔，并假设在每一个时间间隔内证券价格只有两种运动的可能：2、下降到原先的倍，即dSdtt相应地，期权价值也会有所不同，分别为和。ufdf2Copyright©ZhengZhenlong&ChenRong,2008二叉树模型的思想实际上是在用大量离散的小幅度二值运动来模拟连续的资产价格运动相同期限下步长越小精确度越高3Copyright©ZhengZhenlong&ChenRong,2008无套利定价法：构造投资组合包括份股票多头和1份看涨期权空头当时,股票价格的变动对组合无影响则组合为无风险组合udSufSdf此时udffSuSd因为是无风险组合，可用无风险利率贴现，得rtuSfSufe将代入上式就可得到：udffSuSd1rtudfepfpf其中dudeptr4Copyright©ZhengZhenlong&ChenRong,2008在风险中性世界里：（1）所有可交易证券的期望收益都是无风险利率；（2）未来现金流可以用其期望值按无风险利率贴现。在风险中性的条件下,参数值满足条件：SdppSuSetr)1(dppuetr)1(假设证券价格遵循几何布朗运动，则：222222222222(1)[(1)](1)(1)StpSupSdSpupdtpupdpupd再设定：（第三个条件的设定则可以有所不同，这是Cox、Ross和Rubinstein所用的条件）1ud由以上三式可得，当很小时：tdudeptrteutde从而1rtudfepfpf以上可知，无套利定价法和风险中性定价法具有内在一致性。5Copyright©ZhengZhenlong&ChenRong,2008得到每个结点的资产价格之后，就可以在二叉树模型中采用倒推定价法，从树型结构图的末端T时刻开始往回倒推，为期权定价。如果是欧式期权，可通过将时刻的期权价值的预期值在时间长度内以无风险利率贴现求出每一结点上的期权价值；如果是美式期权，就要在树型结构的每一个结点上，比较在本时刻提前执行期权和继续再持有时间，到下一个时刻再执行期权，选择其中较大者作为本结点的期权价值。（见书本案例12.1）Ttrt倒推定价法6Copyright©ZhengZhenlong&ChenRong,2008二叉树一般定价过程假设把该期权有效期划分成N个长度为的小区间，同时用表示结点处的证券价格可得：，其中。若期权不被提前执行，则：所以实际上表示在时间时第j个结点处的美式看跌期权的价值若有提前执行的可能性，则这样推至即为当前期权的价格。tjijdSu),(jimax(,0)jNjNjfXSud，0,1,,jN1,11,[(1)]rtijijijfepfpf)0,0(ijNifijti1,11,max{,[(1)]}jijrtijijijfXSudepfpf00f7Copyright©ZhengZhenlong&ChenRong,2008当标的资产支付连续收益率为的红利时，在风险中性条件下，证券价格的增长率应该为，因此：qrqdppuetqr)1()(dudeptqr)(teuted对于股价指数期权来说，为股票组合的红利收益率；对于外汇期来说，为国外无风险利率，因此以上式子可用于股价指数和外汇的美式期权定价。qq8Copyright©ZhengZhenlong&ChenRong,2008可通过调整在各个结点上的证券价格，算出期权价格；如果时刻在除权日之前，则结点处证券价格仍为：ijdSujij,,1,0,ti如果时刻在除权日之后，则结点处证券价格相应调整为：tijijduS)1(0,1,,ji若在期权有效期内有多个已知红利率，则时刻结点的相应的证券价格为：jijiduS)1(ti（为0时刻到时刻之间所有除权日的总红利支付率）iti9Copyright©ZhengZhenlong&ChenRong,2008SSuSdSu2-DS-DSd2-D除权日如何解决节点不重合的问题10Copyright©ZhengZhenlong&ChenRong,2008假设在期权有效期内只有一次红利，除息日在0到τ之间，则在iΔt时刻不确定部分的价值为：*()()SitSit当时it*()()()ritSitSitDe当时（表示红利）it综上可得在时刻：当时，这个树上每个结点对应的证券价格为：tiit*()0jijritSudDe0,1,,ji当时，这个树上每个结点对应的证券价格为：ti*0jijSud0,1,,ji（为零时刻的的值）*0S*S在已知红利额的情况下,为了使得二叉树的节点重合减少计算量,我们可以将证券价格分为两个部分：一部分是不确定的；另一部分是期权有效期内所有未来红利的现值。11Copyright©ZhengZhenlong&ChenRong,2008（一）的二叉树图（二）三叉树图（三）控制方差技术（四）适应性网状模型0.5p12Copyright©ZhengZhenlong&ChenRong,2008的二叉树图0.5p在确定参数、和时，不再假设，而令，可得：pud1ud0.5p222rqttue222rqttde该方法优点在于无论和如何变化，概率总是不变的。t13Copyright©ZhengZhenlong&ChenRong,2008三叉树图每一个时间间隔内证券价格有三种运动的可能：1、从开始的上升到原先的倍，即到达；2、保持不变，仍为；3、下降到原先的倍，即tSuSuSdSSSdSuSu2Su3Su2SuSuSSSdSdSd3Sd2Sd2Sd14Copyright©ZhengZhenlong&ChenRong,2008一些相关参数：3tue1du2211226dtprq2211226utprq23mp15Copyright©ZhengZhenlong&ChenRong,2008控制方差技术基本原理：期权A和期权B的性质相似，我们可以得到期权B的解析定价公式，而只能得到期权A的数值方法解。假设：,代表期权B的真实价值，表示关于期权A的较优估计值，和表示用同一个二叉树、相同的蒙特卡罗模拟或是同样的有限差分过程得到的估计值）则期权A的更优估计值为：ˆBBffˆAAffBfAfˆAfˆBfˆAAffˆBBff16Copyright©ZhengZhenlong&ChenRong,2008适应性网状模型在使用三叉树图为美式期权定价时，当资产价格接近执行价格时和接近到期时，用高密度的树图来取代原先低密度的树图。即在树图中那些提前执行可能性较大的部分，将一个时间步长进一步细分，如分为，每个小步长仍然采用相同的三叉树定价过程t4t17Copyright©ZhengZhenlong&ChenRong,2008二叉树图模型的基本出发点：假设资产价格的运动是由大量的小幅度二值运动构成，用离散的随机游走模型模拟资产价格的连续运动可能遵循的路径。模型中隐含导出的概率是风险中性世界中的概率，从而为期权定价。p取当前时刻为，在给定参数、和的条件下，当时，二叉树公式：ttpud0t,,1,rtfSttpfSutpfSdte可以在进行泰勒展开，最终可以化简为：,St22221,,,,02fffStrSStSStrfStottSS在时，二叉树模型收敛于布莱克－舒尔斯偏微分方程。0t二叉树与B-S方程的一致性18Copyright©ZhengZhenlong&ChenRong,2008MonteCarlo:BasedOnProbability&Chance基本思路：由于大部分期权价值实际上都可以归结为期权到期回报(payoff)的期望值的贴现；因此，尽可能地模拟风险中性世界中标的资产价格的多种运动路径，计算每种路径结果下的期权回报均值，之后贴现就可以得到期权价值。19Copyright©ZhengZhenlong&ChenRong,2008随机路径：在风险中性世界中，为了模拟路径，我们把期权的有效期分为N个长度为时间段，则上式的近似方程为dSrqSdtSdz2lnln2SttStrqtt2exp2SttStrqtt或（是从标准正态分布中抽取的一个随机样本）重复以上的模拟至足够大的次数，计算回报值的平均值，折现后就得到了期权的期望值。特别地，当我们要用蒙特卡罗模拟为欧式期权定价时，由于期权回报只与期权到期时刻的股票价格有关，，因此我们就可以让t＋=T并直接利用公式（12.11）来求T时刻的股票价格。这样可以大大节省计算时间。t20Copyright©ZhengZhenlong&ChenRong,2008随机样本的产生和模拟运算次数的确定：1.的产生是服从标准正态分布的一个随机数。如果只有一个单变量，则可以通过下式获得：其中是0到1的相互独立的随机数。2.模拟运算次数的确定如果对估计值要求95％的置信度，则期权价值应满足（是进行运算的次数，为均值，是标准差）1216iiRiR112i1.961.96fMMM21Copyright©ZhengZhenlong&ChenRong,2008主要优点：1.在大多数情况下，人们可以很直接地应用蒙特卡罗模拟方法，而无需对期权定价模型有深刻的理解2.蒙特卡罗模拟的适用情形相当广泛主要缺点：1.只能为欧式期权定价，难以处理提前执行的情形。2.为了达到一定的精确度，一般需要大量的模拟运算。22Copyright©ZhengZhenlong&ChenRong,2008222212fffrSSrftSS转化为一系列近似的差分方程，即用离散算子逼近、和各项，之后用迭代法求解，得到期权价值。具体地说，有限差分方法就是用有限的离散区域来替代连续的时间和资产价格在坐标图上，有限差分方法则体现为格点（Grids）ftfS22fS主要思想是：应用有限差分方法将衍生证券所满足的偏微分方程23Copyright©ZhengZhenlong&ChenRong,2008可以理解为从格点图内部向外推知外部格点的期权价值。如图所示：ijf,1ijf1,ijf,1ijf下面介绍一下、和的差分近似。ftfS22fS24Copyright©ZhengZhenlong&ChenRong,20081.的近似对于坐标方格内部的点，期权价值对资产价格的一阶导数可以用三种差分来表示：、和2.的近似对于点处的，我们则采取前向差分近似以使时刻的值和时刻的值相关联：3.的近似这个二阶差分也是中心差分，其误