教师版中考总复习二次函数知识讲解基础

第1页共19页中考总复习：二次函数—知识讲解（基础）【考纲要求】1．二次函数的概念常为中档题．主要考查点的坐标、确定解析式、自变量的取值范围等；2．二次函数的解析式、开口方向、对称轴、顶点坐标等是中考命题的热点；3．抛物线的性质、平移、最值等在选择题、填空题中都出现过，覆盖面较广，而且这些内容的综合题一般较难，在解答题中出现．【知识网络】【考点梳理】考点一、二次函数的定义一般地，如果2yaxbxc（a、b、c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数．要点诠释：二次函数2yaxbxc(a≠0)的结构特征是：(1)等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．(2)二次项系数a≠0．考点二、二次函数的图象及性质1.二次函数2yaxbxc(a≠0)的图象是一条抛物线，顶点为24,24bacbaa．2.当a＞0时，抛物线的开口向上；当a＜0时，抛物线的开口向下．3.①|a|的大小决定抛物线的开口大小．|a|越大，抛物线的开口越小，|a|越小，抛物线的开口越大．②c的大小决定抛物线与y轴的交点位置．c＝0时，抛物线过原点；c＞0时，抛物线与y轴交于正半轴；c＜0时，抛物线与y轴交于负半轴．③ab的符号决定抛物线的对称轴的位置．当ab＝0时，对称轴为y轴；当ab＞0时，对称轴在y轴第2页共19页左侧；当ab＜0时，对称轴在y轴的右侧．4.抛物线2()yaxhk的图象，可以由2yax的图象移动而得到．将2yax向上移动k个单位得：2yaxk．将2yax向左移动h个单位得：2()yaxh．将2yax先向上移动k(k＞0)个单位，再向右移动h(h＞0)个单位，即得函数2()yaxhk的图象．函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时开口向上当时开口向下(轴)(0，0)(轴)(0，)(，0)(，)()要点诠释：求抛物线2yaxbxc（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．考点三、二次函数的解析式1.一般式：2+yaxbxc(a≠0)．若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为2yaxbxc，将已知条件代入，求出a、b、c的值．2.交点式（双根式）：12()()(0)yaxxxxa．若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(x1，0)，(x2，0)，设所求二次函数为12()()yaxxxx，将第三点(m，n)的坐标(其中m、n为已知数)或其他已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式．3.顶点式：2()(0)yaxhka．第3页共19页若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值)，设所求二次函数为2()yaxhk，将已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式．4.对称点式：12()()(0)yaxxxxma．若已知二次函数图象上两对称点(x1，m)，(x2，m)，则可设所求二次函数为12()()(0)yaxxxxma，将已知条件代入，求得待定系数，最后将解析式化为一般形式．要点诠释：已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(可以看成的图象平移后所对应的函数).已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：（a≠0）.(由此得根与系数的关系：).考点四、二次函数2yaxbxc(a≠0)的图象的位置与系数a、b、c的关系1.开口方向：a＞0时，开口向上，否则开口向下．2.对称轴：02ba时，对称轴在y轴的右侧；当02ba时，对称轴在y轴的左侧．3.与x轴交点：240bac时，有两个交点；240bac时，有一个交点；240bac时，没有交点．要点诠释：当x＝1时，函数y＝a+b+c；当x＝-1时，函数y＝a-b+c；当a+b+c＞0时，x＝1与函数图象的交点在x轴上方，否则在下方；当a-b+c＞0时，x＝-1与函数图象的交点在x轴的上方，否则在下方．考点五、二次函数的最值1.当a＞0时，抛物线2yaxbxc有最低点，函数有最小值，当2bxa时，244acbya最小．2.当a＜0时，抛物线2yaxbxc有最高点，函数有最大值，当2bxa时，244acbya最大．要点诠释：在求应用问题的最值时，除求二次函数2yaxbxc的最值，还应考虑实际问题的自变量的取值范围．考点六、二次函数与一元二次方程的关系函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.第4页共19页(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：的图象的解方程有两个不等实数解方程有两个相等实数解方程没有实数解要点诠释：二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定.(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.【典型例题】类型一、应用二次函数的定义求值1．二次函数y=x2-2（k+1）x+k+3有最小值-4，且图象的对称轴在y轴的右侧，则k的值是．【思路点拨】因为图象的对称轴在y轴的右侧，所以对称轴x=k+1＞0，即k＞-1；又因为二次函数y=x2-2（k+1）x+k+3有最小值-4，所以y最小值=442（k+3）-(2k+2)=-4，可以求出k的值．【答案与解析】解：∵图象的对称轴在y轴的右侧，∴对称轴x=k+1＞0，解得k＞-1，∵二次函数y=x2-2（k+1）x+k+3有最小值-4，第5页共19页∴y最小值=442（k+3）-(2k+2)=k+3-（k+1）2=-k2-k+2=-4，整理得k2+k-6=0，解得k=2或k=-3，∵k=-3＜-1，不合题意舍去，∴k=2．【总结升华】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．举一反三：【变式】已知24(3)kkykx是二次函数，求k的值．【答案】∵24(3)kkykx是二次函数，则242,30kkk，由242kk得260kk，即(3)(2)0kk，得13k，22k．显然，当k＝-3时，原函数为y＝0，不是二次函数．∴k＝2即为所求．类型二、二次函数的图象及性质的应用2．把抛物线2yx向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为()．A．2(1)3yxB．2(1)3yxC．2(1)3yxD．2(1)3yx【思路点拨】抛物线的平移问题，实质上是顶点的平移，原抛物线y=-x2顶点坐标为（0，0），向左平移1个单位，然后向上平移3个单位后，顶点坐标为（-1，3），根据抛物线的顶点式可求平移后抛物线的解析式．【答案】D；【解析】根据抛物线的平移规律可知：2yx向左平移1个单位可变成2(1)yx，再向上平移3个单位后可变成2(1)3yx．【总结升华】(1)2yax图象向左或向右平移|h|个单位，可得2()yaxh的图象(h＜0时向左，h＞0时向右)．(2)2yax的图象向上或向下平移|k|个单位，可得2yaxk的图象(k＞0时向上，k＜0时向下)．第6页共19页举一反三：【变式】将二次函数2yx的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得图象的函数表达式是()A．2(1)2yxB．2(1)2yxC．2(1)2yxD．2(1)2yx【答案】按照平移规律“上加下减，左加右减”得2(1)2yx．故选A.类型三、求二次函数的解析式3．已知二次函数2yaxbxc的图象经过点(1，0)，(-5，0)，顶点纵坐标为92，求这个二次函数的解析式．【思路点拨】将点（1，0），（-5，0）代入二次函数y=ax2+bx+c，再由4942aca2-b，从而求得a，b，c的值，即得这个二次函数的解析式．【答案与解析】解法一：由题意得0,2550,942,2abcabcabc解得1,22,5.2abc所以二次函数的解析式为215222yxx．解法二：由题意得(1)(5)yaxx．把2x92y代入，得9(21)(25)2a，解得12a．所以二次函数的解析式为1(1)(5)2yxx，即215222yxx．解法三：因为二次函数的图象与x轴的两交点为(1，0)，(-5，0)，由其对称性知，对称轴是直线2x．所以，抛物线的顶点是92,2．可设函数解析式为29(2)2yax．即215222yxx．【总结升华】根据题目的条件，有多种方法求二次函数的解析式．第7页共19页举一反三：【变式】已知：抛物线2(1)yxbxc经过点(12)Pb，．（1）求bc的值；（2）若3b，求这条抛物线的顶点坐标；（3）若3b，过点P作直线PAy轴，交y轴于点A，交抛物线于另一点B，且2BPPA，求这条抛物线所对应的二次函数关系式．（提示：请画示意图思考）【答案】解：（1）依题意得：2(1)(1)(1)2bcb，2bc．（2）当3b时，5c，2225(1)6yxxx抛物线的顶点坐标是(16)，．（3）解法1：当3b时，抛物线对称轴112bx，对称轴在点P的左侧．因为抛物线是轴对称图形，(12)Pb，且2BPPA．(32)Bb，122b．5b．又2bc，7c．抛物线所对应的二次函数关系式247yxx．解法2：当3b时，112bx，对称轴在点P的左侧．因为抛物线是轴对称图形，(12)Pb，，且2(32)BPPABb，，yxOBPA第8页共19页2(3)3(2)2bcb．又2bc，解得：57bc，这条抛物线对应的二次函数关系式是247yxx．解法3：2bc，2cb，2(1)2yxbxbBPx∥轴，2(1)22xbxbb即：2(1)20xbxb．解得：121(2)xxb，，即(2)Bxb由2BPPA，1(2)21b．57bc，这条抛物线对应的二次函数关系式247yxx.类型四、二次函数图象的位置与a、b、c的关系4．如图所示是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过A点（3，0），对称轴为x=1，给出四个结论：①b2-4ac＞0；②2a+b=0；③a+b+c=0；④当x=-1或x=3时，函数y的值都等于0．把正确结论的序号填在横线上．【思路点拨】根据函数图象得出抛物线开口向下得到a小于0，且抛物线与x轴交于两个点，得出根的判别式大于0，即选项①正确；对称轴为x=1，利用对称轴公式列出关于a与b的关系式，整理后得到2a+b=0，选项②正确；由图象得出x=1时对应的函数值大于0，将x=1代入抛物线解析式得出a+b+c大于0，故选项③错误；由抛物线与x轴的一个交点为A（3，0），根据对称轴为x=1，利用对称性得出另一个交点的横坐标为-1，从而得到x=-1或x=3时，函数值y=0，选项④正确，即可得出正确的选项序号．【答案与解析】解：由图象可知：抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧，对称轴为x=1，与y轴交点在正半轴，与x轴有两个交点，∴a