选修专题：极坐标与参数方程归纳教师版

选修专题：第二部分极坐标与参数方程1．极坐标系的概念记作M(ρ，θ)2．直角坐标与极坐标的互化直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则x＝ρcosθ，y＝ρsinθ或ρ2＝x2＋y2，tanθ＝yxx≠0.知识点1直角坐标系与己坐标系点、方程互相转化（1）点的转化1、①直角坐标为(－2，2)、（0，2）那么它的极坐标分别表示为________、答案2，3π4、（2，2）②极坐标为（2，3）、（1，0）那么他们的直角坐标表示为、（2）方程的转化2、在极坐标系中，直线l:ρsinθ＋π4＝2，则直线在直角坐标系中方程为在极坐标系中,圆O:ρ＝4,则在直角坐标系中，圆的方程直线l与圆O相交，所截得的弦长为________．3、若曲线的极坐标方程为ρ＝2sinθ＋4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．4、求满足条件的曲线极坐标方程(1)直线过点M(1，0)且垂直于x轴(2)直线过M（0，a）且平行于x轴(3)当圆心位于M(a,0)，半径为r(4)当圆心位于M），（21，半径为2：知识点2：常见曲线的参数方程的一般形式(1)经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)．(其中参数t是以定点P（x0，y0）为起点，对应于t点M（x，y）为终点的有向线段PM的数量，又称为点P与点M间的有向距离．)○1．设A、B是直线上任意两点，它们对应的参数分别为tA和tB，则AB＝ABtt＝BAABtttt4)(2．○2．线段AB的中点所对应的参数值等于2BAtt．③定点P（x0，y0）为线段AB中点，则ABtt=0(2)圆的参数方程x＝rcosθ，y＝rsinθ(θ为参数)．(3)椭圆x2a2＋y2b2＝1的参数方程为x＝acosθ，y＝bsinθ(θ为参数)．题型1、直线与圆位置关系例：已知直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数），，ttytx(33.以直角坐标系xOy中的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，圆C的极坐标方程为03cos42，(Ⅰ)求l的普通方程及C的直角坐标方程；(Ⅱ)P为圆C上的点，求P到l距离的取值范围.解：l的普通方程0333yx，C的直角坐标方程为03422xyx.…4分C的标准方程为1)2(22yx，圆心C(2，0)，半径为1，点C到l的距离为235233032d，……………………………………6分∴P到l距离的取值范围是]12351235[，.………………………………………7分题型2：椭圆上的点到直线上的距离（求椭圆上的动点到直线距离，参数方程形式切入）例：在直接坐标系xOy中，直线l的方程为x-y+4=0，曲线C的参数方程为x3cosysin（为参数）．（I）已知在极坐标（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，2π），判断点P与直线l的位置关系；（II）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．解：（I）把极坐标系下的点(4,)2P化为直角坐标，得P（0，4）。因为点P的直角坐标（0，4）满足直线l的方程40xy，所以点P在直线l上，（II）点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为(3cos,sin)，从而点Q到直线l的距离为2cos()4|3cossin4|62cos()22622d，由此得，当cos()16时，d取得最小值，且最小值为2.题型3：直线参数方程几何意义例1．在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为23,2252xtyt（t为参数）。在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为25sin。（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为(3,5)，求|PA|+|PB|。【解析】（Ⅰ）由25sin得22250,xyy即22(5)5.xy（Ⅱ）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得2222(3)()522tt，即23240,tt由于2(32)4420，故可设12,tt是上述方程的两实根，所以121232,(3,5),4ttlPtt又直线过点故由上式及t的几何意义得：|PA|+|PB|=12|t|+|t|=12t+t=32。例题2.（龙岩一中月考）已知极点与原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．若曲线1C的极坐标方程为：2253cos280，直线的参数方程为：x13tyt（t为参数）.（Ⅰ）求曲线1C的直角坐标方程；（Ⅱ）直线上有一定点(1,0)P，曲线1C与交于M，N两点，求.PMPN的值．解：（Ⅰ）由2253cos280得222253(cossin)80即2222253cos3sin80，从而22225(xy)3x3y80整理得2214xy…………………………………3分（Ⅱ）把直线的参数方程代入到曲线1C的直角坐标方程，得272330tt1237tt.由t的几何意义知1212.(2).(2)7PMPNtt………………7分练1：练2：