2015-2016学年高中数学 1.1.3正、余弦定理综合课件 新人教A版必修5

1．1.3正、余弦定理综合学习目标预习导学典例精析栏目链接1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．2．能够利用已知的数量和关系判断三角形的形状．学习目标预习导学典例精析栏目链接题型1余弦定理的应用学习目标预习导学典例精析栏目链接例1设x，x＋1，x＋2是钝角三角形的三边长，求实数x的取值范围．解析：由三角形任意两边和大于第三边可知：x＋x＋1＞x＋2即x＞1，要使该三角形为钝角三角形必须使长度为x＋2的边所对的角为钝角，即该角余弦为负数，由余弦定理得：x2＋（x＋1）2－（x＋2）22x（x＋1）＜0，即x2－2x－3＜0，解得：－1＜x＜3，综合可得：1＜x＜3.学习目标预习导学典例精析栏目链接点评：本题型是用余弦定理确定三角形的形状，常有两种思路，一是通过三角形的边的关系，二是通过三角形的角的关系，这都可以用正弦定理和余弦定理来实现转化．学习目标预习导学典例精析栏目链接1．△ABC中，若(sinA＋sinB＋sinC)(sinA＋sinB－sinC)＝sinAsinB，则C＝________．解析：由(sinA＋sinB＋sinC)(sinA＋sinB－sinC)＝sinAsinB⇒(sinA＋sinB)2－sin2C＝sinAsinB⇒sin2A＋sin2B－sin2C＝－sinAsinB.由正弦定理，sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R，代入上式得：a2＋b2－c2＝－ab，∴cosC＝a2＋b2－c22ab＝－12，∵0°C180°，∴∠C＝120°.答案：120°题型2正、余弦定理的综合应用学习目标预习导学典例精析栏目链接例2在△ABC中，b∶a＝2∶1，B＝A＋60°，求A.解析：由正弦定理可知：asinA＝bsinB，所以sinB＝2sinA，sin(A＋60°)＝2sinA，得32cosA＝32sinA，tanA＝33，因为0°＜A＜180°，所以A＝30°.学习目标预习导学典例精析栏目链接点评：在三角形中，正、余弦定理可以实现边角转化，通过正、余弦定理就搭建起了边和角关系的桥梁，结合三角知识，既可以求边也可以求角．学习目标预习导学典例精析栏目链接2．在△ABC中，已知AB＝463，cosB＝66，AC边上的中线BD＝5，求sinA.解析：将已知条件集中到某一个三角形中，为此构造△BDE，求出BC，然后用正弦定理求sinA.设E为BC的中点，连接DE，则DE∥AB，且DE＝12AB＝263，设BE＝x.在△BDE中，利用余弦定理可得：学习目标预习导学典例精析栏目链接BD2＝BE2＋ED2－2BE·EDcos∠BED.5＝x2＋83＋2×263×66x，解得x＝1，x＝－73(舍去)，故BC＝2，从而AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝283，即AC＝2213.又sinB＝306，故2sinA＝2213306，sinA＝7014.学习目标预习导学典例精析栏目链接题型3正弦定理与余弦定理的恰当选择例3在△ABC中，若∠B＝30°，AB＝23，AC＝2，则△ABC的面积是________．分析：思路一由于∠B为AC的对角，因此可先由正弦定理求出AB的对角∠C，再求出∠A，代入面积公式S＝12AB·AC·sinA.思路二由于∠B是AB与BC的夹角，因此，只需求出BC的长，代入面积公式S＝12AB·BC·sinB即可，这就需要使用余弦定理．学习目标预习导学典例精析栏目链接解析：方法一∵AB＝23，AC＝2，∠B＝30°.∴根据正弦定理，有sinC＝AB·sinBAC＝32.由已知ABAC，所以∠C∠B，则∠C有两解．(1)当C为锐角时，C＝60°，A＝90°.根据三角形面积公式，得S＝12AB·AC·sinA＝23.(2)当C为钝角时，C＝120°，A＝30°.∴S＝12AB·AC·sinA＝12×23×2sin30°＝3.学习目标预习导学典例精析栏目链接方法二设BC＝a，AC＝b，AB＝c，由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB，∴22＝a2＋(23)2－2a×23cos30°，即a2－6a＋8＝0，解得a＝2或a＝4.当a＝2时，S＝12acsinB＝12×2×23×sin30°＝3，当a＝4时，S＝23.答案：23或3学习目标预习导学典例精析栏目链接点评：1.余弦定理是三角形边角之间关系的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例．2．用余弦定理可以解决两种解三角形的题型：(1)已知三边解三角形．(2)已知两边及一角解三角形．3．已知两边及其中一边所对角用余弦定理求解时可能有两个解，注意用边与角之间的关系特点进行取舍．学习目标预习导学典例精析栏目链接3．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足cosA2＝255，AB→·AC→＝3.(1)求△ABC的面积；(2)若b＋c＝6，求a的值．学习目标预习导学典例精析栏目链接3．解析：(1)因为cosA2＝255，∴cosA＝2cos2A2－1＝35，sinA＝45，又由AB→·AC→＝3，得bccosA＝3，∴bc＝5，∴S△ABC＝12bcsinA＝2.(2)由于bc＝5，又b＋c＝6，∴b＝5，c＝1或b＝1，c＝5，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝20，∴a＝25.