§ 3 全称量词与存在量词(学案)

选修2-1第一章常用逻辑用语学案虢镇中学高二年级数学备课组1§3全称量词与存在量词（学案）学习目的1、理解全称量词与存在量词的意义，能准确地利用全称量词与存在量词叙述数学内容．2、了解含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，会正确地对含有一个量词的命题进行否定．自主整理1.表示整体或全部的含义的量词叫作,其形式为“所有”“”“任何一个”“”“”等,通常用符号“”表示.读作“任意”.2.含有全称量词的命题,叫作命题,它的一般形式可表示为“x∈M,p(x)”,其中M为给定的集合,p(x)是一个关于x的命题.3.表示个别或一部分的含义的量词叫作,其形式为“有些”“”“”“存在”等,通常用符号“”表示,读作“存在”.4.含有存在量词的命题叫作命题,它的一般形式可表示为“x∈M,p(x)”,其中M为给定的集合,p(x)是一个关于x的命题.5.全称命题的否定是命题.即全称命题p:x∈M,p(x),它的否定非p:x∈M,非p(x).6.特称命题的否定是命题.即特称命题p:x∈M,p(x),它的否定非p:x∈M,非p(x).例题讲解【例1】判断下列命题是否为全称命题,并判断其真假.(1)所有的素数是奇数;(2)x∈N,2x+1是奇数;(3)每一个平行四边形的对角线都互相平分.变式练习1.判断下列全称命题的真假.(1)x∈R,f(x)=x2的值域是(0,+∞);(2)任意两个面积相等的三角形是全等三角形;(3)所有函数的定义域都不是空集.选修2-1第一章常用逻辑用语学案虢镇中学高二年级数学备课组2【例2】判断下列命题是否为特称命题,并判断其真假.(1)存在一个x∈R,使11x=0;(2)存在一组m、n的值,使m-n=1;(3)至少有一个集合A,满足A{1,2,3}.变式练习2.判断下列命题是全称命题还是特称命题?并判断其真假.(1)对数函数都是单调函数;(2)至少有一个整数,它既能被2整除,又能被5整除.(3)x∈{x|x是无理数},x2是无理数;(4)x∈{x|x∈Z},log2x0.【例3】判断下列命题的真假,并写出这些命题的否定.(1)三角形的内角和为180°;(2)每个二次函数的图像都开口向下;(3)存在一个四边形不是平行四边形.变式训练3.写出下列命题p的否定:(1)p:所有能被5整除的整数的末位数字是0或5;(2)p:有的等腰三角形是直角三角形;(3)p:任意两个等边三角形都是相似的;(4)p:x∈R,x2+2x+2=0.选修2-1第一章常用逻辑用语学案虢镇中学高二年级数学备课组3【例4】若全称命题“x∈［-1,+∞)时,x2-2ax+2≥a恒成立”是真命题,求实数a的取值范围.变式训练4.函数f(x)对一切实数x、y均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)·x成立,且f(1)=0.(1)求f(0)的值;(2)当f(x)+2logax,x∈(0,21)恒成立时,求a的取值范围.选修2-1第一章常用逻辑用语学案虢镇中学高二年级数学备课组4基础练习作业1.判断下列命题的真假:(1)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)都对应一点P;(2)存在一个函数,既是偶函数又是奇函数;(3)每一条线段的长度都能用正有理数表示;(4)存在一个实数,使等式x2+x+8=0成立;(5)有一个实数x,使x2+2x+3=0;(6)存在两个相交平面垂直于同一直线;(7)有些整数只有两个正因数.2.判断下列命题的真假:(1)x∈R,|x|+2≥2;(2)x∈［0,2］,sinx0;(3)x∈R,x2+30;(4)x∈N,x4≥1;(5)x∈Z,x31;(6)x∈Q,x2=3;(7)x∈R,x3-3x+2=0;(8)x∈R,x2+1=0.选修2-1第一章常用逻辑用语学案虢镇中学高二年级数学备课组53.为了使下列命题p(x)成为真命题,求x的范围.(1)p(x):x+1x;(2)p(x):x2-5x+60;(3)p(x):sinxcosx.4.设集合S={四边形},p(x):内角和为360°,试用不同的表述写出全称命题“x∈S,p(x)”.5.设q(x):x2=x,试用不同的表达方式写出特称命题“x∈R,q(x)”.解析:存在量词、特称命题的不同形式有:“有x,…”“存在x,…”等,要紧扣这些形式表述特称命题.6.若特称命题“x∈R,使log2(ax2+x+2)0”为真命题,求a的取值范围.选修2-1第一章常用逻辑用语学案虢镇中学高二年级数学备课组67.写出下列全称命题的否定:(1)x∈R,x2+x+10;(2)x∈Q,31x2+21x+1是有理数.8.写出下列特称命题的否定:(1)α、β∈R,使sin(α+β)=sinα+sinβ;(2)x、y∈Z,使3x-2y=10.9.写出下列命题的否定.(1)所有的直角三角形都相似;(2)有些无理数的平方是有理数.10.写出下列命题的否定,并判断它们的真假.(1)p:“x∈Q,x∈R”;(2)p:“x∈R,x2+x+10”.选修2-1第一章常用逻辑用语学案虢镇中学高二年级数学备课组711.写出下列命题p的否定,并判断真假.(1)p:有些直线和圆相切;(2)p:任意一个正方形的四条边相等;(3)p:所有对角线相等的四边形都是矩形;(4)p:x∈R,|x|x;(5)p:x、y∈R,x2+y20.12.已知a0,命题p:x∈R,|x-4|+|x-3|a为真命题,求a的取值范围.13.若全称命题p:x∈［1,3］,x2-2mx-10为真命题,求实数m的取值范围.14.若命题p:x∈R,(a-2)x2+2(a-2)x-4≥0是假命题,求实数a的取值范围.15.若命题“x∈R,关于x的不等式(a2-1)x2+(a-1)x-10都成立”为真命题,求a的取值范围.选修2-1第一章常用逻辑用语学案虢镇中学高二年级数学备课组816.已知特称命题“存在c0,使y=cx在R上为减函数”为真命题,同时全称命题“x∈R,x+|x-2c|1”为真命题,求c的取值范围.课后总结1.对于全称量词和全称命题要注意以下两点:(1)将含有变量x的语句用p(x),q(x),r(x),…表示,变量x的取值范围用M表示,那么全称命题“对M中任意一个x,都有p(x)成立”,可简记为“x∈M,p(x)”.(2)全称命题就是陈述某集合所有元素都具有某些性质的命题.2.对于存在量词和特称命题要注意以下两点:(1)特称命题“存在M中的一个x,使p(x)成立”可用符号简记为“x∈M,p(x)”.(2)特称命题就是陈述在某集合中有(存在)一些元素具有某些性质的命题.3.全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题,即它们互为否定形式.在写出两种命题的否定时,要牢固掌握形式上有两个变化,全称量词与特称量词的变化,条件p(x)和非p(x)的变化.4.如何判断全称命题的真假?解析:要判断全称命题“x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中每个元素x,证明p(x)成立.如果在集合M中找到一个元素x0,使得p(x0)不成立,那么这个全称命题就是假命题.5.如何判断特称命题的真假?解析:要判断特称命题“x∈M,p(x)”是真命题,只需在集合M中找到一个元素x0,使p(x0)成立即可.如果在集合M中,使p(x)成立的元素x不存在,那么这个特称命题是假命题.6.如何写出一个全称命题的否定?解析:一般地,对于含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论:全称命题p:x∈M,p(x),它的否定非p是:x∈M,非p(x).全称命题的否定是特称命题,x∈M变为x∈M,p(x)变为非p(x),要注意形式上的变化.7.如何写出一个特称命题的否定?解析:一般地,对于含有一个量词的特称命题的否定,有下面的结论:特称命题p:x∈M,p(x),它的否定非p是:x∈M,非p(x).特称命题的否定是全称命题,x∈M变为x∈M,p(x)变为非p(x),要注意形式上的变化.选修2-1第一章常用逻辑用语学案虢镇中学高二年级数学备课组9§3全称量词与存在量词学习目的1、理解全称量词与存在量词的意义，能准确地利用全称量词与存在量词叙述数学内容．2、了解含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，会正确地对含有一个量词的命题进行否定．自主整理1.表示整体或全部的含义的量词叫作全称量词,其形式为“所有”“每一个”“任何一个”“任意一条”“一切”等,通常用符号“”表示.读作“任意”.2.含有全称量词的命题,叫作全称命题,它的一般形式可表示为“x∈M,p(x)”,其中M为给定的集合,p(x)是一个关于x的命题.3.表示个别或一部分的含义的量词叫作存在量词,其形式为“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”等,通常用符号“”表示,读作“存在”.4.含有存在量词的命题叫作特称命题,它的一般形式可表示为“x∈M,p(x)”,其中M为给定的集合,p(x)是一个关于x的命题.5.全称命题的否定是特称命题.即全称命题p:x∈M,p(x),它的否定非p:x∈M,非p(x).6.特称命题的否定是全称命题.即特称命题p:x∈M,p(x),它的否定非p:x∈M,非p(x).例题讲解【例1】判断下列命题是否为全称命题,并判断其真假.(1)所有的素数是奇数;(2)x∈N,2x+1是奇数;(3)每一个平行四边形的对角线都互相平分.解析:依据全称命题的概念来判定.要判定全称命题“x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中每个元素x,证明p(x)成立,要判定全称命题是假命题,只需找到M中一个元素x0,使得p(x0)不成立即可.答案:(1)是全称命题.由于2是素数,但2不是奇数,所以全称命题:“所有的素数是奇数”是假命题.(2)是全称命题.因为x∈N,2x+1都是奇数,所以全称命题:“x∈N,2x+1是奇数”是真命题.(3)是全称命题.显然它是真命题.小结若全称命题为真命题,可由相关数学知识推证.若全称命题为假命题,只需举出一反例说明即可.变式练习1.判断下列全称命题的真假.(1)x∈R,f(x)=x2的值域是(0,+∞);(2)任意两个面积相等的三角形是全等三角形;(3)所有函数的定义域都不是空集.答案:(1)因为x=0时,f(x)=0(0,+∞),所以此命题为假命题.(2)一个正三角形与一个直角三角形可以做到面积相等,但它们不是全等三角形.故此命题是假命题.选修2-1第一章常用逻辑用语学案虢镇中学高二年级数学备课组10(3)由函数的概念,可知此命题是真命题.【例2】判断下列命题是否为特称命题,并判断其真假.(1)存在一个x∈R,使11x=0;(2)存在一组m、n的值,使m-n=1;(3)至少有一个集合A,满足A{1,2,3}.解析:用特称命题的概念来判定.要判定特称命题“x∈M,p(x)”是真命题,只需在集合M中找到一个x0,使p(x0)成立即可,如果在集合M中,使p(x)成立的元素不存在,那么它是假命题.答案:(1)是特称命题.不存在x∈R,使11x=0成立,所以该命题是假命题.(2)是特称命题.当m=4,n=3时,使m-n=1成立,所以该命题是真命题.(3)是特称命题.存在A={3},使A{1,2,3}成立,所以该命题是真命题.小结只需找到命题中满足条件的一个元素就可以说明特称命题是真命题,如果这样的元素不存在,那么这个特称命题就是假命题.变式练习2.判断下列命题是全称命题还是特称命题?并判断其真假.(1)对数函数都是单调函数;(2)至少有一个整数,它既能被2整除,又能被5整除.(3)x∈{x|x是无理数},x2是无理数;(4)x∈{x|x∈Z},log2x0.答案:(1)全称命题,真命题;(2)特称命题,真命题;(3)全称命题,假命题;(4)特称命题,真命题.【例3】判断下列命题的真假,并写出这些命题的否定.(1)三角形的内角和为180°;(2)每个二次函数的图像都开口向下;(3)存在一个四边形不是平行四边形.解析:全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定