2013年高考数学(理科)一轮复习课件第62讲：二项式定理

考纲要求考纲研读(1)能用计数原理证明二项式原理．(2)会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.对于二项式定理，主要考查利用通项公式求展开式的特定项、求特定项的系数、利用赋值法求二项式展开式系数问题等.(a＋b)n＝________________________________________，所表示的定理叫做二项式定理．2．通项r＋13．二项式系数式子____叫做二项式系数．C0nanb0＋C1nan－1b1＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cnna0bn1．二项式定理Tr＋1＝Crnan－rbr为第_______项．CrnA．－10B．10C．－5D．5B2．(2010年广东海珠一模)(x－1)10的展开式中第6项的系数是()D3．(2011年重庆)(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n＝()BA．6B．7C.8D.91．在二项式x2－1x5的展开式中，含x4的项的系数是()A.C610B.－C610C．C510D．－C51044．(2011年广东广州二模)若C1n＋3C2n＋32C3n＋…＋3n－2Cn－1n＋3n－1＝85，则n的值为____.解析：依题意，则3(C1n＋3C2n＋32C3n＋…＋3n－2Cn－1n＋3n－1)＝3C1n＋32C2n＋33C3n＋…＋3n－1Cn－1n＋3n＝(1＋3)n－1＝85×3，故4n＝256，所以n＝4.____(结果用数值表示)．175．(2011湖北)在x－13x18展开式中含x15的项的系数为解析：二项式展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr18x18－r－13xr＝Cr18x118--2rr－13r，令18－r－12r＝15⇒r＝2，含x15的项的系数为C218－132＝17.考点1求二项展开式中待定项的系数或特定项(1)求n；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．例1：已知在3312nxx的展开式中，第6项为常数项．解析：(1)通项公式为Tr＋1＝Crnx3nr12rx3r＝Crn12rx23nr，∵第6项为常数项，∴r＝5时，有n－2r3＝0，即n＝10.(2)令n－2r3＝2，得r＝12(n－6)＝2，∴所求的系数为C210212＝454.(3)根据通项公式，由题意得10－2r3∈Z，0≤r≤10，r∈Z，令10－2r3＝k∈Z，则10－2r＝3k.即r＝5－32k.∴x∈Z，∴k应为偶数．∴k可取2,0，－2，即r可取2,5,8.∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为T3＝C210212x2＝454x2，T6＝C510512＝－638，T9＝C810812x－2＝45256x－2.通项Tr＋1＝Crnan－rbr是解决二项式定理问题的重要公式．【互动探究】1．已知(1＋x＋x2)31nxx的展开式中没有常数项，n∈N*，且2≤n≤8，求n的值．解：31nxx的展开式的通项：Tr＋1＝Crnxn－r31rx＝Crnxn－4r(0≤r≤n)，若原式的展开式中有常数项，则n＝4r，n＝4r－1，n＝4r－2，故原式中没有常数项时，则只有n＝4r－3，又2≤n≤8，则n＝5.考点2二项式展开式中的系数与二项式系数例2：①(2011年广东惠州调研)在10212xx的二项展开式中，x11的系数是_____.解析：(1)10212xx的二项式展开的第r＋1项为Tr＋1＝Cr10(x2)10－r(2x)－r，即2－rCr10x20－3r，令20－3r＝11，得r＝3，故系数为2－3C310＝15.15A．10B．20C．30D．120②若1nxx展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为()解析：1nxx展开式的二项式系数之和为C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝2n＝64，则n＝6.故61xx展开式的第r＋1项为Tr＋1＝Cr6x6－r1rx＝Cr6x6－2r，令6－2r＝0⇒r＝3，则常数项为C36＝20.B二项式展开式的二项式系数与系数有区别，以10212xx的展开式为例，展开式的第r＋1项为Tr＋1＝2－rCr10x20－3r，其中Cr10称为该项的二项式系数，而2－rCr10称为该项的系数．在处理系数和与二项式系数时要灵活处理．【互动探究】8解析：令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a12＝0；令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋…＋a12＝24＝16.上面两式相加a0＋a2＋…＋a10＋a12＝8.故答案为8.2．(2010年广东揭阳二模)设(x－1)4(x＋2)8＝a0x12＋a1x11＋…＋a11x＋a12，则a0＋a2＋…＋a10＋a12＝___.考点3二项式展开式中的最值问题(1)求n的值；(2)展开式中二项式系数最大的项；(3)展开式中系数最大的项．解题思路：结合二项式定理的展开式及二项式的系数的特点求解(1)(2)，(3)根据最大的系数必定比前一项和后一项都大来求解．例2：已知x＋12xn的展开式中前三项的系数成等差数列．解析：(1)由题设，x＋12xn的展开式的通项公式为：Tr＋1＝Crnxn－r12xr＝321C2rnrrnx，故C0n＋14C2n＝2×12C1n，即n2－9n＋8＝0.解得n＝8，n＝1(舍去)．∴n＝8.(2)展开式中二项式系数最大的为第五项，则T5＝43844281C2x＝358x2.(3)设第r＋1的系数最大，则12rCr8≥12r＋1Cr＋18，12rCr8≥12r－1Cr－18，即18－r≥12r＋1，12r≥19－r.解得r＝2或r＝3.∴系数最大的项为T3＝7x5，T4＝772x.求最值问题的根据是最值那项比前后的项都大来求．求二项式系数的最大值时，也按上面方法进行，规律是二项式系数的最大值，总在最中间取．若n为偶数，则2nnC最大；当n为奇数，则12nnC＝12nnC最大．【互动探究】则展开式中常数项是()A．－7B．7C．－28D．283．在x2－13xn的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，B解析：根据题意，则只有C4n最大，则n＝8.其展开式的通项公式为Cr88831122rrrxx(－1)rCr8x48-r3，令8－43r＝0，则r＝6.故常数项为128－6(－1)6C68＝7.1．(a＋b)n的展开式中第r＋1项为Tr＋1＝Crnan－rbr.2．二项式系数的性质(1)C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝2n，C0n＋C2n＋…＝C1n＋C3n＋…＝2n－1.(2)对称性：Crn＝Cn－rn.3．处理二项式的展开式的系数和的问题时，可考虑采用赋值法．1．系数与二项式系数的区别．2．二项式展开式中第r＋1项的通项．(3)最值问题①当n为偶数时，中间一项2nnC最大；②当n为奇数时，中间两项12nnC＝12nnC且最大．