2013年高考数学一轮复习 7.8 数列求和(一)课件 理

求数列的前n项和Sn，通常要掌握以下解法：(1)公式法：直接由____________________________________求和，注意等比时q≠1的论证；(2)倒序相加法：把数列正着写和倒着写再______(即等差数列求和公式的推导过程的推广)，配对；等差数列、等比数列的求和公式相加(3)分组求和法：通过__________，化归为等差、等比数列求和．(4)裂项相消法：把数列的通项拆成___________________剩下首尾若干项．分组两项之差求和，正负相消示范1已知数列{an}与{bn}满足bn＋1an＋bnan＋1＝(－2)n＋1，bn＝3＋－1n－12(n∈N*)且a1＝2，(1)设cn＝a2n＋1－a2n－1，求cn；(2)求通项an；(3)求数列{an}的前2n项和S2n.【解析】(1)∵bn＝2，n奇，1，n偶.∴a2n－1＋2a2n＝－22n－1＋1①，2a2n＋a2n＋1＝22n＋1②②①得：a2n＋1－a2n－1＝22n＋22n－1＝3×22n－1，∴cn＝3×22n－1(2)a1＝2且a2n＋1－a2n－1＝22n－1＋22n∴a2k＋1＝2＋21＋22＋23＋…＋22k－122k＝22k＋1将a2k＋1＝22k＋1代入②得a2k＝1－22k2，∴an2n，n奇，1－2n2，n偶.(3)S2n＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n＝n.展示1已知在等比数列{an}中，S2＝7，S6＝91，则S4＝()A．28B．32C．35D．49【答案】A【解析】法一由S2＝7，S6＝91，易知q≠1.由a11＋q＝7，a11－q61－q＝91，得q2＝3.故S4＝a11－q41－q＝a1(1＋q)(1＋q2)＝7×4＝28.法二∵数列{an}为等比数列，∴S2，S4－S2，S6－S4也为等比数列，即7，S4－7,91－S4也成等比数列．∴(S4－7)2＝7(91－S4)．解得S4＝28或－21.∵S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋q2(a1＋a2)＝(a1＋a2)(1＋q2)＝S2(1＋q2)S2.∴S4＝28.考点二分组求和示范2(1)求数列{an}的前10项和；(2)求数列{an}的前2k项和．解析(1)只求前10项和，列举易得：6,2,16,4,26,8,36,16,46,32，∴S10＝(6＋16＋26＋36＋46)＋(2＋4＋8＋16＋32)＝192.(2)S2k＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2k－1)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a2k)，由于a2k－1－a2k－3＝10，∴a1，a3，…，a2k－1等差．又a2ka2k－2＝2k2k－1＝2，∴a2，a4，…，a2k等比．所以S2k＝5k2＋k＋2k＋1－2.展示2已知a1＝1，an＋an＋1＝3n＋1(n∈N*)，(1)写出数列{an}的前6项；(2)求S100的值．【解析】(1)1,3,4,6,7,9.(2)由(1)，可猜想奇数项1,4,7，…为等差数列，偶数项3,6,9，…也为等差数列．于是an＋an＋1＝3n＋1，an＋1＋an＋2＝3n＋4，两式相减得an＋2－an＝3，a1＝1，a2＝3，于是可证数列{an}的奇数项1,4,7，…是首项为1、公差为3的等差数列，偶数项3,6，…是首项为3、公差为3的等差数列．从而S100＝50×4＋50×492×6＝7550.方法点拨：对于既非等差又非等比数列的一类数列，若将这样的数列进行适当地拆分，可分成等差、等比或常数列，然后求和，这种求和方法称为分组求和法，一般适用于解决形如{an＋bn}类型的数列.考点三裂项相消法求和示范3求下列数列{an}的前n项和Sn：(1)an＝1nn＋1；(2)an＝1nn＋2；(3)an＝12n－12n＋1.解析(1)an＝1n－1n＋1，∴Sn＝1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝nn＋1.(2)an＝121n－1n＋2，∴Sn＝121－13＋12－14＋13－15＋…＋1n－1n＋2＝121＋12＋…＋1n－13＋14＋…＋1n＋2＝121＋12－1n＋1＋1n＋2＝34－12n＋2－12n＋4.(3)an＝12n－12n＋1，∴Sn＝12－122＋122－123＋…＋12n－12n＋1＝12－12n＋1.展示3(2011全国)已知等比数列{an}的各项均为正数且2a1＋3a2＝1，a23＝9a2a6，(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列1bn的前n项和Sn.【解析】(1)设数列{an}的公比为q，由a23＝9a2a6，得a33＝9a24.所以q2＝19.由条件，可知q＞0.故q＝13.由2a1＋3a2＝1，得2a1＋3a1q＝1.所以a1＝13.故数列{an}的通项公式为an＝13n.(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－(1＋2＋…＋n)＝－nn＋12，故1bn＝－2nn＋1＝－21n－1n＋1，Sn＝1b1＋1b2＋…＋1bn＝－21－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝－2nn＋1.所以数列1bn的前n项和为Sn＝－2nn＋1.展示4设函数f(x)＝1x＋1，点A0(0,0)，An(n，f(n))向量an＝A0A1→＋A1A2→＋…＋An－1An，θn是向量an与i的夹角(i＝(1,0))，设Sn＝tanθ1＋tanθ2＋…＋tanθn，求Sn.【解析】an＝A0A1→＋A1A2→＋…＋An－1An＝A0An→＝(n，f(n))＝n，1n＋1，而i＝(1,0)，∴cosθn＝nn＋1n2n＋12＋1，sinθn＝1n2n＋12＋1.∴tanθn＝1nn＋1.∴Sn＝11×2＋12×3＋…＋1nn＋1＝nn＋1.展示5(2012广州一模)已知等比数列{an}的各项均为正数，2a4，a3,4a5成等差数列且a3＝2a22，(1)求an；(2)设bn＝2n＋52n＋12n＋3an，求数列{bn}的前n项和Sn.【解析】(1)an＝12n；(2)∵bn＝2n＋52n＋12n＋3·12n＝12n＋1·2n－1－12n＋3·2n，∴Sn＝13－15×2＋15×2－17×22＋…＋12n＋1·2n－1－12n＋3·2n＝13－12n＋3·2n.求和的关键是观察数列的前n项，选取适当的方法求解．列举是敲门砖．一般方法：1．题目已知等差或等比数列，直接用公式；2．分段函数形式给出递推公式的数列求和，一般应考虑分组求和或分段求和；3．形如1anan＋1类型的数列求和一般可简单裂项相消．事实上所有数列均可裂项相消，即an＝Sn－Sn－1.1．(2012东莞一模)己知在数列{an}中，a1＝3，a2＝5，其前n项和Sn满足Sn＋Sn－2＝2Sn－1＋2n－1(n≥3)，令bn＝1anan＋1，(1)求数列{an}的通项公式；(2)若f(x)＝2x－1，求证：Tn＝b1f(1)＋b2f(2)＋…＋bnf(n)16(n≥1)．【解析】(1)由题意，知Sn－Sn－1＝Sn－1－Sn－2＋2n－1(n≥3)，即an＝an－1＋2n－1(n≥3)．∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋a2＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋5＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋1＋2＝2n＋1(n≥3)．检验知n＝1,2时，结论也成立．故an＝2n＋1.(2)由于bnf(n)＝12n＋12n＋1＋1·2n－1＝12·2n＋1＋1－2n＋12n＋12n＋1＋1＝1212n＋1－12n＋1＋1，故Tn＝b1f(1)＋b2f(2)＋…＋bnf(n)＝1211＋2－11＋22＋11＋22－11＋23＋…＋12n＋1－12n－1＋1＝1211＋2－12n＋1＋112×11＋2＝16.2．(2010广东)已知Pn12n，14n，设m与k为两个给定的不同的正整数，xn，yn为Pn的横、纵坐标，求证：n＝1sm＋1xn2－k＋1ynms－ks(s＝1,2，…)．【证明】n＝1sm＋1xn2－k＋1yn＝n＝1sm＋1－k＋12n＝n＝1s|m－k|2nm＋1＋k＋1n＝1s|m－k|2nm＋k＝|m－k|·n＝1s12n，又n＝1s12nn＝1s1n＋n－1＝n＝1s(n－n－1)＝1＋(2－1)＋(3－2)＋…＋(s－s－1)＝s.故问题得证．3．(2012揭阳一模)己知x1＝13，xn＋1＝x2n＋xn－a(n∈N*，a为常数)，(1)若a＝14，求证：数列lgxn＋12是等比数列；(2)在(1)的条件下，求证：xn≤56n－12(n∈N*)；(3)若a＝0，试问代数式n＝120111xn＋1的值在哪两个相邻的整数之间？并加以证明．【解析】(1)∵xn＋1＝x2n＋xn－14，∴xn＋1＋12＝x2n＋xn＋14＝xn＋122.∵x1＝13，∴xn＋120.∴则lgxn＋1＋12＝2lgxn＋12.∴数列lgxn＋12是以lg56为首项、2为公比的等比数列．(2)由(1)，知lgxn＋12＝lg56·2n－1.化简，得xn＋12＝562n－1.∵0561，要证56n－12≥xn，只需证2n≥2n.用数学归纳法证明2n≥2n：①当n＝1时，结论显然成立；②假设当n＝k(k≥1)时结论成立，即2k≥2k，当n＝k＋1时，2k＋1＝2·2k≥2·2k2(k＋1)．∴当n＝k＋1时，结论也成立．综合①②，知xn≤56n－12对n∈N*都成立．(3)当a＝0时，xn＋1＝x2n＋xn＝xn(xn＋1)，∴1xn＋1＝1xnxn＋1＝1xn－1xn＋1，即1xn＋1＝1xn－1xn＋1.n＝120111xn＋1＝1x1－1x2＋1x2－1x3＋…＋1x2011－1x2012＝1x1－1x2012＝3－1x2012.又x1＝13，x2＝13×43＝49，x3＝49×139＝5281，x4＝5281×133811，∵xn＋1－xn＝x2n≥0，∴数列{xn}单调递增．∴01x20121.∴23－1x20123，即n＝120111xn＋1的值在2与3之间．